华东师大版（2024）九年级数学上册 第22章 图形的相似 章末核心要点分类整合（课件）

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章末核心要点分类整合第22章 图形的相似 3. 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.简称平行线分线段成比例.4. 相似多边形的对应边成比例，对应角相等；各边对应成比例、各角对应相等的两个多边形是相似多边形．5. 相似三角形的判定(1)平行于三角形一边的直线，和其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似；(2)两角分别相等的两个三角形相似；(3)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；(4)三边成比例的两个三角形相似.6. 相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比等于相似比；相似三角形对应边上的高的比、对应角的平分线的比、对应边上的中线的比、周长的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方.7. 画位似图形的一般步骤(1)确定位似中心；(2)作出位似中心与能代表原图的关键点的连线；(3)根据相似比，在连线所在的直线上确定能代表所作的位似图形的关键点；(4)顺次连结上述各点，得到放大或缩小后的图形.8. 图形变换引起的点的坐标变化规律如下表：专题平行线分线段成比例1链接中考>>平行线分线段成比例是三角形相似的基础，也是求线段长的一种方法.中考时，常以选择题或填空题的形式出现.例 1[中考·哈尔滨]如图22－1，在四边形ABCD中，AD∥ BC，点E在AB上，EF∥AD交CD于点F，若AE∶BE＝1∶2，DF＝3，则FC的长为( )A. 6 B. 3 C. 5 D. 9 答案：A专题相似三角形的判定2链接中考>>图形的相似是平面几何中非常重要的内容，也是中考中常见的考点.相似三角形的判定方法有多种，解题时要合理选用判定方法.[中考·上海节选]如图22－2，在矩形ABCD中，E为边CD上一点，且AE⊥BD．求证：AD2＝DE·DC．例 2解题秘方：选择合适的方法判定△ADE∽ △BAD，再利用相似三角形性质和等线段代换即可. 专题相似三角形的性质3链接中考>>相似三角形的性质归纳起来有三点：(1)相似三角形的对应边成比例，对应角相等； (2)相似三角形的对应线段(对应边上的中线、高，对应角的平分线)的比等于相似比；(3)相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方.相似三角形的性质既可以进行线段相等、平行、垂直的证明，也可以进行线段长度和图形面积的计算.例 3   答案：C专题相似三角形的应用4链接中考>>相似三角形的知识在实际生活中有广泛的应用，这一应用是建立在数学建模和数形结合思想基础上的，把实际问题转化为数学问题，通过数学问题达到解决实际问题的目的.在中考中以选择题、填空题和解答题的形式考查.[中考·无锡节选]某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动.【活动主题】测量物体的高度【测量工具】卷尺、标杆例 4【活动过程】南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一，该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶A和塔底中心B均无法到达．经研究，设计并实施了如下测量活动(示意图如图22－4所示)．在地面一条水平步道上的点F处竖立标杆EF，直立在点Q处的小军从点P处看到标杆顶E、塔顶A在同一条直线上．小军沿FQ的方向走到点Q′处，此时标杆E′F′竖立于F′处，从点P′处看到标杆顶E′、塔顶A在同一条直线上．已知AB，EF，PQ，E′F′和P′Q′在同一平面内，点B，F，Q，F′，Q′在同一条直线上，EF＝E′F′＝2.8 m，PQ＝P′Q′＝1.4 m，FQ＝1.2 m，F′Q′＝2.2 m，QQ′＝30 m．求妙光塔AB的高度.解题秘方：构造相似三角形，根据相似三角形的性质列比例式求解．解：如图22－4，过点P′作P′H⊥AB于点H，交EF于点M，交E′F′于点M′. ∵PQ＝P′Q′＝1.4 m，∴点P在线段P′H上.易得四边形PQFM，四边形PQBH，四边形P′Q′F′M′，四边形P′Q′BH均为矩形，∴HP＝BQ，MP＝FQ＝1.2 m，M′P′＝F′Q′＝2.2 m，BH＝MF＝M′F′＝PQ＝P′Q′＝ 1.4 m.∴EM＝E′M′＝2.8－1.4＝1.4(m).  专题位似图形5链接中考>>位似图形是特殊的相似图形，所以位似图形具有相似多边形的所有性质，中考中主要考查根据相似比或相似多边形的性质计算，主要以选择题或填空题的形式考查.例 5  解题秘方：连结AP，根据两点坐标求得AP的长，再根据相似比等于变换后与变换前的图形的对应线段的比得出A1P，A2P，A3P的长，再求得直线AP的表达式，根据点的坐标和线段的长度列方程求解．  专题图形的变换与坐标6链接中考>>图形的变换主要有平移、轴对称、旋转、位似，主要考查图形的不同变换方式下，点的坐标的变化规律，考查形式有选择题、填空题和解答题.如图22－6，在边长为1个单位长度的小正方形网格中：(1)画出△ABC向上平移6个单位长度，再向右平移5个单位长度后的△A1B1C1；(2)以点B为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2BC2，请在网格中画出△A2BC2；(3)求△CC1C2的面积.例 6解题秘方：先确定变换规则，然后根据规则进行作图，作图时，首先确定图形的关键点，依次作出图形关键点的对应点，再顺次连结各关键点的对应点即可. 专题分类讨论思想7专题解读>>在解答有关相似图形的某些问题时，往往需要按某一标准把问题分成若干个部分或若干种情况分别加以研究，逐一解决，从而得到完整的结果.这种分类讨论思想要求对这类问题审题要仔细，分类要注意两点：一是正确选择分类标准；二是分类科学，既不重复也不遗漏.如图22－7，在△ABC中，AB＝8 cm，BC＝16 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以2 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4 cm/s的速度移动.如果点P，Q分别从点A，B同时出发，经过几秒钟，△PBQ与△ABC相似？例 7解题秘方：紧扣公共角两边的关系，分类说明两个三角形相似.  专题方程思想8专题解读>>当两个图形相似时，对应边、周长及面积具有一定的关系，在求线段长、周长或面积 时，利用方程(组)会给解题带来很大的方便. 例 8解题秘方：利用相似三角形的性质得出已知线段与未知线段之间的关系，从而建立方程求解.25 1. 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝BC，点P是边BC上任意一点，以AP为腰作等腰三角形APQ，使AP＝PQ，∠APQ＝∠ABC，连结CQ.求证：PB·AQ＝AP·CQ.类型巧用“三点定形法”证两三角形相似1 2. [中考·安徽]如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2，BD是边AC上的高. 点E，F分别在边AB，BC上 (不与端点重合)，且DE⊥DF.设AE＝x，四边形DEBF的面积为y，则y关于x的函数图象为( )A类型利用相似三角形的判定与性质解与函数的综合问题23. [中考·湖北]如图①，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4 cm，AB＝n cm．动点P，Q均以1 cm/s的速度从点C同时出 发，点P沿折线C→B→A向点A运动，点Q沿边CA向点A运动．当点Q运动到点A时，两点都停止运动．△PCQ的面积S(单位：cm2)与运动时间t(单位：s)的关系如图②所示．(1)m＝______；(2)n＝______.812 类型利用相似三角形的性质解规律探究问题3  5. 在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题：类型 利用图形变换求坐标4(1)作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1，并写出点 C1的坐标；解：如图，△A1B1C1为所求作三角形，点C1的坐标为(－1，2).(2)作出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点C2的 坐标；解：如图，△A2B2C2为所求作三角形，点C2的坐标为(－3，－2).(3)已知△ABC关于直线l对称的△A3B3C3的顶点A3的坐标为 (－4，－2)，请求出直线l的表达式.解：如图，连结AA3，OA，OA3，易知直线l垂直平分AA3.设直线l交AA3于点F,则点F为AA3的中点，∵A(2,4), A3(－4,－2),∴F(－1,1). 6. [中考·自贡节选 ] 九(2)班的学习小组利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度. 方法如下：如图①，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上．类型 利用相似三角形解实际问题5如图②，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线PQ始终垂直于水平地面．如图③，在江姐故里广场上 E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线 DA与标高线交点C，测得标高 CG＝1.8 m，DG＝1.5 m. 将观测点D后移24 m到D′处，采用同样方法，测得C′G′＝1.2 m，D′G′＝2 m．求雕塑高度(结果精确到1 m)．  满分题溯源第22章 图形的相似重点题型   常见的相似三角形的模型模型平行线型1例 1[月考·杭州钱塘区]如图1，在菱形ABCD中，点E在边AD上，连结CE交对角线BD于点F，过点E作EG∥AB交BD于点G.(1)若CD＝CE，∠A＝110°，求∠BCF的度数；解：∵四边形ABCD为菱形，∴CD∥BA，AD∥BC.∵∠A＝110°，∴∠CDA＝180°－∠A＝70°. ∵CD＝CE，∴∠CED＝∠CDA＝70°.又∵AD∥BC，∴∠BCF＝∠CED＝70°.(2)若BD＝15，DE＝2AE，求FG的长； (3)求证：DF2＝FG·BF. 模型相交线型2如图2，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点 E，DB平分∠ADC，且AB2＝BE·BD.求证：例 2(1)△ ABE∽△DCE；证明：∵AB2＝BE·BD，∴AB∶BE＝BD∶AB.又∵∠ABE＝∠DBA，∴△ABE∽△DBA，∴∠BAE＝∠BDA.∵DB平分∠ADC，∴∠BDA＝∠CDE，∴∠BAE＝∠CDE.又∵∠BEA＝∠CED，∴△ABE∽△DCE.(2)AE·CD＝BC·ED.证明：∵△ABE∽△DCE，∴AE∶DE＝ BE∶CE.又∵∠BEC＝∠AED，∴△ADE∽△BCE.∴∠EAD＝∠EBC.又∵∠BDC＝∠ADE，∴△BCD∽△AED，∴BC∶AE＝CD∶ED，∴AE·CD＝BC·ED.模型子母型3例 3如图3，在△ABC中 ，∠ACB＝90°，D为边AB上一 点，且CD＝CA，过 点 D作DE⊥AB，交BC于点E.求证：△CDE∽△CBD.证明:∵∠ACB＝90°，∴ ∠A＋∠B＝90°.∵DE⊥AB，∴∠ADE＝90°，∴∠ADC＋∠CDE＝90°.∵CD＝CA，∴∠A＝∠ADC.∴∠CDE＝∠B.又∵∠DCE＝∠BCD，∴△CDE∽△CBD.模型一线三等角型4如图4，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，点D是BC边上的一个动点，点E在AC上 ，点 D在运动过程中始终保持∠1＝∠B.设BD的长为x(0＜x＜8).例 4(1)求证：△DCE∽△ABD；证明：∵∠ADC＝∠1＋∠CDE＝∠B＋∠BAD，∠1＝∠B，∴∠CDE＝∠BAD. ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△DCE∽△ABD.(2)用含x的代数式表示CE的长；当CE＝2时，求x的值； (3)当x为何值时，△ADE为等腰三角形？  模型旋转型5例 5如图5，△ABC和△ADE的顶点A重合，∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝∠ADE.(1)若AB＝3AD，BC＝4，求DE的长； (2)连结BD，CE，求证：△ABD∽△ACE.