第二十五章 一元二次方程 数学活动（课件）2026年人教版九年级数学上册

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数学活动第二十五章 一元二次方程R·九年级数学上册学习目标1.理解并推导含公共系数的三个一元二次方程恰有一个公共解的条件，掌握公共解的通用求解方法.2.能利用一元二次方程解决线段分割的代数+几何综合问题，掌握对应尺规作图的规范步骤.3.提升一元二次方程的综合应用能力，体会方程思想、数形结合思想在代数与几何问题中的应用．活动1 探究方程有公共解的条件探索新知已知 abc≠0，方程ax2+bx+c=0，①bx2+cx+a=0，②cx2+ax+b=0. ③恰有一个公共解.给出 a，b，c 满足的条件，并求出方程①②③的解.am2+bm+c=0，①bm2+cm+a=0，②cm2+am+b=0. ③解：设三个方程的公共解为m，根据方程解的定义，将m代入三个方程，等式均成立：由①+②+③，合并同类项可得：(a+b+c)m2+(a+b+c)m+(a+b+c)=0.提取公因式 (a+b+c)，化简得：(a+b+c)(m2+m+1)=0.(a+b+c)(m2+m+1)=0对于二次式 m2+m+1，其根的判别式Δ=12– 4×1×1= –30.要使等式成立，只能满足 a+b+c=0，这就是 a，b，c 需要满足的核心条件.ax2+bx+c=0，①bx2+cx+a=0，②cx2+ax+b=0. ③由 a+b+c=0，得 c= –(a+b)，代入①，②，③得ax2+bx–(a+b)=0，①bx2–(a+b)x+a=0，②–(a+b)x2+ax+b=0. ③(x–1)[ax+(a+b)]=0，①(x–1)(bx–a)=0，②(x–1)[(a+b)x+b]=0. ③(x–1)[ax+(a+b)]=0，①(x–1)(bx–a)=0，②(x–1)[(a+b)x+b]=0. ③   因此，三个方程的公共解为 x=1.知识要点公共解问题通用方法： 设公共解，代入所有方程联立，通过加减消元、因式分解简化推导.活动2 神奇的线段分割问题1：王芳：你能把任意一条线段分成两两不等的三条线段，使其中最长的线段等于另外两条线段的和吗?解：设线段全长为 l，分成的三条线段为 a，b，c，且 a>b>c>0，两两不等. 这条线段如图所示. 解：设线段全长为 l，分成的三条线段为 a，b，c，且 a>b>c>0，两两不等. 所以 bc+ac=ab，(a+b)c=ab. ①(a+b)c=ab. ①因为 a=b+c，代入①，得 (b+c+b)c=(b+c)b，移项，合并同类项得 b2–bc–c2=0. ②将②看作关于 b 的一元二次方程，c 为常数，用求根公式求解：      黄金分割数请你用直尺和圆规作出这条线段中的两个分点.1.作中点（找到第一个分点）： ② 过交点作AB的垂线，这条垂线与AB的交点即为中点 M.③ 此时AM=BM=a.作图步骤：2.在MB上找第二个分点：① 用上述同样的方法作出MB的中点P；② 过点B作MB的垂线，在垂线上截取点C，使BC=PB，连接MC.③ 以点C为圆心，CB长为半径画弧，交线段MC于点D.④ 以点M为圆心，MD长为半径画弧，交线段MB于点N.⑤ 此时MN=b，NB=c.生活中的黄金分割正五角星 生活中的黄金分割鹦鹉螺外壳的截面生活中的黄金分割优选法 华罗庚先生推广的优选法，也称 0.618 法，认为在测试区间使用黄金分割位进行试验，筛选效率最佳，并从理论上进行了严格的证明.课堂小结通过本节数学活动的研究，你有什么收获？