第二十五章 一元二次方程 章末小结 课件 人教版数学九年级上册

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第二十五章 一元二次方程实际问题设未知数，列方程实际问题的答案一元二次方程ax2+bx+c=0 检验解方程知识点1 一元二次方程的有关概念一元二次方程定义： 如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程.一般形式：ax2+bx+c=0 (a≠0)，二次项：ax2，二次项系数：a.一次项：bx，一次项系数：b.常数项：c.知识点1 一元二次方程的有关概念一元二次方程的解（根）：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值. 若方程(m-1)x2-3x-2=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（　　）A．m＞1B．m≠1C．m＞0D．m≠0例1知识点1 一元二次方程的有关概念B 已知m为方程 x2+3x-2 023=0 的根，那么m3+2m2-2 026m+2 023的值为（ ）A. -2 026B. 2 026C. 0D. 4 044例2解析：∵m为方程x2+3x-2 023=0的根，∴m2+3m=2 023,∴原式=m3+3m2-m2-3m-2 023m+2 023=m(m2+3m)-(m2+3m)-2 023m+2 023=2 023m-2 023-2 023m+2 023=0.C知识点1 一元二次方程的有关概念知识点2 解一元二次方程 配方法：把方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的左边配成一个含有未知数的完全平方式、右边是一个常数的形式，进而用直接开平方法求解，这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法.用配方法解一元二次方程的一般步骤一移（移项）：将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边；二化（二次项系数化为 1）：左、右两边同时除以二次项系数；三配（配方）：左、右两边同时加上一次项系数一半的平方；四开（开平方）：利用平方根的意义直接开平方；五解（解两个一元一次方程）：移项、合并同类项.知识点2 解一元二次方程 知识点2 解一元二次方程1.一元二次方程的根的判别式一元二次方程的根的判别式：知识点2 解一元二次方程 知识点2 解一元二次方程因式分解法： 先对方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 的左边分解因式，使方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式，再使这两个一次式分别等于 0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫作 因式分解法.知识点2 解一元二次方程用因式分解法解一元二次方程的步骤：(1)移项：将方程的右边化为0；(2)分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积；(3)转化：令每个一次式分别等于0，得到两个一元一次方程；(4)求解：解这两个一元一次方程，它们的解都是一元二次方程的解.知识点2 解一元二次方程 知识点2 解一元二次方程例3   知识点2 解一元二次方程例3  知识点2 解一元二次方程例3   知识点2 解一元二次方程解一元二次方程的方法的选择技巧 若一元二次方程可化为x² =p (p≥0)或 (mx+n)² =p (p≥0)的形式，则宜选用直接开平方法；若一元二次方程的二次项系数为 1，一次项系数为偶数且常数项较大时，则宜选用配方法；若一元二次方程整理后右边为 0，且左边能进行因式分解，则宜选用因式分解法；若以上三种方法均不简便，则宜选用公式法.知识点2 解一元二次方程例4 已知关于x的方程x2+ax+a-2=0．（1）若该方程有一个根为-2，求a的值；（2）求证：方程总有两个不相等的实数根．解：（1）将x=-2代入方程x2+ax+a-2=0，得（-2）2+（-2）a+a-2=0，解得a=2.（2）证明：∵关于x的方程x2+ax+a-2=0，∴Δ=a2-4（a-2）=a2-4a+8=（a-2）2+4＞0，∴方程总有两个不相等的实数根．知识点2 解一元二次方程例5  知识点2 解一元二次方程知识点3 实际问题与一元二次方程 列方程解实际问题，指的是先把实际问题抽象为数学问题（即建立方程模型），然后通过解决数学问题来解决实际问题. 一般步骤如下：例6 张大叔准备靠着自家旧墙建一个矩形的养鸡场．如图，旧墙长为10米，靠墙的一面不用篱笆．张大叔使用的篱笆总长为25米，平行于墙的一面留有一扇1米宽的位置用来装门．已知矩形养鸡场的面积为80平方米，求矩形养鸡场的两邻边长．解：设AB（与墙垂直的边）长为x米，则AD长为（25-2x+1）米，由题意得，x（25-2x+1）=80.整理得，x2-13x+40=0，解得x1=5，x2=8.当x=5时，与墙平行的边长为25-2×5+1=16＞10，不符合题意，舍；当x=8时，与墙平行的边长为25-2×8+1=10，符合题意.答：矩形养鸡场与墙垂直的边长为8米，与墙平行的边长为10米．知识点3 实际问题与一元二次方程例7根据以下素材，探索完成任务．知识点3 实际问题与一元二次方程（500-10x）知识点3 实际问题与一元二次方程解：(2)根据题意，得（30+x-20）（500-10x）=8 000.整理得x2-40x+300=0，解得x1=10，x2=30.∵要尽可能让顾客得到实惠，∴x=10．答：该木雕每件的售价上涨10元．例8 如图，在矩形 ABCD 中，AB = 16cm，AD = 6cm，动点 P,Q分别从 A,C 两点　同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/s 的速度向点D移动.（1）P，Q两点从出发开始，在几秒时，四边形PBCQ的面积为33 cm² ？（2）P，Q两点从出发开始，在几秒时，点P和点Q之间的距离为10 cm？高：BC=6 cm上、下底：PB=(16-3t)cm, CQ=2t cm知识点3 实际问题与一元二次方程例8 如图，在矩形 ABCD 中，AB = 16cm，AD = 6cm，动点 P,Q分别从 A,C 两点　同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/s 的速度向点D移动.（1）P，Q两点从出发开始，在几秒时，四边形PBCQ的面积为33 cm² ？ 知识点3 实际问题与一元二次方程例8 如图，在矩形 ABCD 中，AB = 16cm，AD = 6cm，动点 P,Q分别从 A,C 两点　同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/s 的速度向点D移动.（2）P，Q两点从出发开始，在几秒时，点P和点Q之间的距离为10 cm？用含t的式子表示QE的长在Rt△PEQ中利用勾股定理列方程过点P作 PE⊥CD解方程讨论解的合理性分类讨论思想知识点3 实际问题与一元二次方程例8 如图，在矩形 ABCD 中，AB = 16cm，AD = 6cm，动点 P,Q分别从 A,C 两点　同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/s 的速度向点D移动.（2）P，Q两点从出发开始，在几秒时，点P和点Q之间的距离为10 cm？(2)设经过t s时，点P和点Q之间的距离是10cm.依题意，得AP=3t cm,CQ=2t cm,DQ=(16-2t)cm.如图，过点P作PE⊥CD,垂足为E.当点P在点Q上方时，QE=DQ-AP=(16-5t) cm；当点P在点Q下方时，QE=AP-DQ=(5t-16)cm.知识点3 实际问题与一元二次方程易错：动点的相对位置不确定时，要进行分类讨论例8 如图，在矩形 ABCD 中，AB = 16cm，AD = 6cm，动点 P,Q分别从 A,C 两点　同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/s 的速度向点D移动.（2）P，Q两点从出发开始，在几秒时，点P和点Q之间的距离为10 cm？ 知识点3 实际问题与一元二次方程