初中数学北师大版（2024）九年级上册（2024）第一章 特殊平行四边形1 认识特殊平行四边形教课内容课件ppt

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菱形、矩形、正方形的定义特殊平行四边形的一般性质和轴对称性
菱形、矩形、正方形的定义
注意只满足一组邻边相等不保证是菱形，如图1-1-1，“形”ABCD满足一组邻边相等，但它不是菱形。
特别提醒1. 各特殊平行四边形的定义既是它们的判定方法，又是它们的性质。2. 正方形在平行四边形的基础上还必须同时具备两个条件:(1) 一组邻边相等;(2) 一个角是直角。3. 正方形不仅是平行四边形，还是矩形和菱形。
如图1-1-2，在△ ABC 中，CD 平分∠ACB，CD交AB于点D，DE∥AC，且DE交BC于点E，DF∥BC，且DF交AC于点F。四边形DECF 是菱形吗？为什么？
解题秘方：紧扣菱形定义中的“两个条件”进行判断。
解：四边形DECF是菱形。理由如下： ∵DE∥FC，DF∥EC，∴四边形DECF为平行四边形。∵AC∥DE，∴∠ 2= ∠ 3。∵CD平分∠ACB，∴∠ 1= ∠ 2。∴∠ 1= ∠ 3。∴DE=EC。∴ ▱DECF是菱形。
1-1. 如图，在平行四边形ABCD 中，点O 是AD 的中点，连接CO并延长交BA的延长线于点E，连接AC，DE。
(1)求证：四边形ACDE 是平行四边形；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD。∴∠BEC＝∠DCE。∵点O是AD的中点，∴AO＝DO。又∵∠AOE＝∠DOC，∴△AEO≌△DCO(AAS)。∴AE＝DC。又∵AE∥DC，∴四边形ACDE是平行四边形。
(2)若AB=AC，判断四边形ACDE的形状，并说明理由。
解：四边形ACDE是菱形。理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD。又∵AB＝AC，∴CD＝AC。由(1)知四边形ACDE是平行四边形，∴四边形ACDE是菱形。
如图1-1-3，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE， BE。求证：四边形AEBD是矩形。
解题秘方：紧扣矩形定义中的“两个条件”进行证明。
证明：∵O为AB的中点，∴OB=OA。又∵OE=OD，∴四边形AEBD是平行四边形。∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线， ∴AD⊥BC。∴∠ADB=90°。∴四边形AEBD是矩形。
2-1. 如图，在△ABC中，D 是BC 的中点，E 是AD，BF的中点，AB=AC。求证：四边形ADCF是矩形。
如图1-1-4，△ABD和△BCD都是等腰直角三角形， ∠A=∠C=90°。求证：四边形ABCD是正方形。
解题秘方：紧扣定义中“有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形”进行判定。
证明：∵△ABD和△BCD都是等腰直角三角形，∠A=∠C=90°， ∴∠ ADB= ∠ABD=45°，∠ CBD= ∠ CDB=45°，AB=AD。∴∠ ADB= ∠ CBD，∠ ABD= ∠ CDB。∴AD∥BC，AB∥CD。∴四边形ABCD为平行四边形。又∵∠A=90°，AB=AD，∴四边形ABCD是正方形。
3-1. 已知在▱ABCD中，∠ A=90 °，如果再添加一个条件，可使该平行四边形是正方形，那么这个条件可以是( )A. ∠ B=90°B. AB=CDC. AD=BC D. AB=AD
特殊平行四边形的一般性质和轴对称性
1. 特殊平行四边形的一般性质：菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形，它们都具有一般平行四边形的所有性质。2. 四边形、平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的关系如图1-1-5 所示。
3. 特殊平行四边形的轴对称性：菱形、矩形、正方形都是轴对称图形，菱形、矩形都有两条对称轴(菱形：两条对角线所在的直线；矩形：过每一组对边中点的直线)，正方形有四条对称轴(两条对角线所在的直线和过每一组对边中点的直线)。
特别解读1.菱形、矩形、正方形都是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。2.菱形、正方形的每条对角线平分一组对角。
【母题 教材P3 随堂练习T2】如图1-1-6，在菱形ABCD中，AD=CD， ∠B=140°，GE⊥AD。求∠AEG的度数。
解题秘方：紧扣菱形的对角相等和等边对等角解题。
4-1. 如图，在菱形ABCD 中，AB=AC ，∠B=60°，若AC=6, 则AD的长为______。
解题秘方：紧扣矩形具有的一般平行四边形的性质和勾股定理求线段长。
5-1.如图，在矩形ABCD 中，∠ B=90 °，AB=3，BC=6，对角线AC的垂直平分线分别交AD，AC于点M，N，连接CM，则CM的长为_______。
如图1-1-8，在正方形ABCD中，AD=DC，∠A=90°，E是AB延长线上一点，BD=BE，则∠EDC的度数为_______。
解题秘方：紧扣正方形的对边相等及等边对等角解题。
解：∵ 四边形ABCD是正方形， ∴AB=CD，AB∥CD。∴∠EDC= ∠E。∵AD=DC，∴AB=AD。∵∠A=90°，∴∠ABD=45°。∵BD=BE，∴∠BDE= ∠E。∵∠ABD= ∠BDE+ ∠E，∴∠E=22.5°， ∴∠EDC=22.5°。
6-1.如图，在正方形ABCD中，∠D=90°，AD=CD，延长AB到点E，使AE=AC，则∠ BCE=_______。