初中数学北师大版（2024）九年级上册（2024）2 菱形的性质与判定课文内容课件ppt

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册（2024）2 菱形的性质与判定课文内容课件ppt，共34页。PPT课件主要包含了课时讲解，课时流程，知识点，菱形的性质，思路导引，菱形的判定，菱形的面积拓展等内容，欢迎下载使用。
菱形的性质菱形的判定菱形的面积(拓展)
菱形除了具有平行四边形的所有性质外，还具有如下性质：
特别提醒1.由菱形的性质与勾股定理的联系，可得对角线与边之间的关系，即边长的平方等于两条对角线长一半的平方和。2. 如果菱形的一个内角为60°，那么菱形的两条边与较短的对角线构成的三角形为等边三角形。
如图1-2-1，菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE，∠E=50°，求∠BAO的度数。
解：∵四边形ABCD 是菱形，∴ AB=CD，AB∥ CD.又∵ BE=AB，∴ BE=CD.∴四边形BECD 是平行四边形.∴ BD∥ CE. ∴∠ABO= ∠E=50°.又∵四边形ABCD 是菱形，∴ AC⊥ BD. ∴∠ AOB=90°.∴∠ BAO=180 °－∠ AOB－∠ ABO=40°．
1-1.[期末· 温州]如图，在菱形ABCD 中，AC 与BD交于点O，点E 在AO 上，AE=DE，若∠ ADE=2 ∠ ODE， 则∠ CDE的度数为_______。
如图1-2-2，四边形ABCD 是菱形，对角线AC，BD 相交于点O，AC=6，BD=8，点E 是边AD 上一点，连接OE，若OE=DE，求OE 的长.
解题秘方：紧扣菱形的性质和勾股定理及等角对等边求解。
注意对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，如图1-2-3。
解题秘方：连接BD，根据题意得出AM 为线段BD 的垂直平分线，从而证得四条边相等，进而判定菱形．
证明：如图1-2-4，连接BD.根据题意可得AM 为线段BD 的垂直平分线，∴BD⊥ AE，BE=DE.∵ AD∥ BC，AB=AD，∴∠ ADB= ∠ DBE，∠ ABD= ∠ ADB. ∴∠ ABD= ∠ DBE.∵ BD⊥ AE，∴ AB=BE.∴ AD=AB=BE=DE.∴四边形ABED 为菱形.
3-1. 如图，在△ ABC中，AB=AC， ∠ B=60°，∠ FAC，∠ ECA是△ ABC 的两个外角，AD 平分∠ FAC，CD平分∠ ECA． 求证：四边形ABCD 是菱形.
证明：∵AB＝AC，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形。∴∠BAC＝60°，∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC。∴∠FAC＝120°，∠ACE＝120°。又∵AD平分∠FAC，CD平分∠ECA，∴∠DAC＝60°，∠DCA＝60°。∴∠D＝60°。∴△ADC是等边三角形。∴AD＝AC＝DC。∴AB＝BC＝AD＝DC。∴四边形ABCD 是菱形。
【母题 教材P9习题T6】如图1-2-5，在平行四边形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，过点O 作直线EF⊥ BD，分别交AD，BC 于点E 和点F，连接BE，DF.求证：四边形BEDF 是菱形.
解题秘方：紧扣对角线垂直这一条件，从判定平行四边形入手判定菱形.
证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴ OB=OD，AD∥ BC.∴∠ EDO= ∠ FBO，∠ OED= ∠ OFB.∴△ OED ≌△ OFB(AAS).∴ DE=BF.又∵ DE∥ BF，∴四边形BEDF 是平行四边形.又∵ EF⊥ BD，∴四边形BEDF 是菱形.
4-1.[期中·咸阳]如图，在ABCD 中，过点A作AF ⊥ AB，交CD 于点E，交BC 的延长线于点F，且CF=BC，连接AC，DF. 判断四边形ACFD 的形状，并说明理由．
解：四边形ACFD是菱形。理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC。∵点F在BC的延长线上，且CF＝BC，∴AD∥CF，AD＝CF，∴四边形ACFD是平行四边形。∵CD∥AB，FA⊥AB，∴FA⊥CD，∴四边形ACFD是菱形。
说明：对角线互相垂直的任意四边形的面积都等于两条对角线乘积的一半.
如图1-2-6，在菱形ABCD 中，对角线交于点O，∠ ABC 与∠ BAD 的度数比为1∶2，菱形ABCD 的周长是48. 求：
(1)菱形ABCD 的两条对角线的长；
解题秘方：根据题意及菱形的性质得出AO，BO 的长即可得出答案；
(2)菱形ABCD 的面积.
解题秘方：直接利用菱形面积等于对角线乘积的一半，即可得出答案.
5-1. 如图， 在菱形ABCD 中，对角线AC和BD 相交于点O，E 是BC 的中点，连接AE. 若∠ ABC=60°，BE=2 cm，求：
(1)菱形ABCD 的周长；
解：∵E为BC的中点，BE＝2 cm，∴BC＝2BE＝4 cm.∴菱形ABCD的周长＝4BC＝16 cm.