人教版（2024）八年级下册（2024）第二十一章 四边形21.3 特殊的平行四边形优秀第2课时教学设计

这是一份人教版（2024）八年级下册（2024）第二十一章 四边形21.3 特殊的平行四边形优秀第2课时教学设计，共4页。教案主要包含了类比导入，教学建议，对应训练，随堂训练，课堂总结，知识结构，作业布置等内容，欢迎下载使用。

教学目标
课题
21.3.2 第2课时 菱形的判定
授课人

素养目标
1.理解并掌握菱形的判定方法，体会类比数学思想方法的作用.
2.引导学生从边和对角线探究菱形的判定定理，养成主动探索的学习习惯.
3.运用菱形的判定方法进行证明或计算，发展学生的推理能力.
教学重点
菱形的判定方法的理解与应用.
教学难点
选择合适的方法判定四边形为菱形.
教学活动
教学步骤
师生活动
活动一：类比推理，导入新课

【类比导入】
前面我们学习平行四边形和矩形时，都可以用性质得出相应的判定，那么我们学习菱形的判定时是否也可以反推菱形的性质来得到它的判定呢?我们大家一起来尝试一下吧！
【教学建议】
引导学生进行类
比、思考、分析，由平行四边形和矩形的判定推断菱形的判定，并回忆上一课时菱形的概念.
设计意图


通过类比学习，激发学生的好奇心和求知欲，引入本节课要研究的内容.
图形
性质定理
判定定理

平行四边形
对边平行
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
对边相等
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
对角相等
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
对角线互相平分
对角线互相平分的四边形是平行四边形

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
矩形
四个角都是直角
有三个角是直角的四边形是矩形
对角线相等
对角线相等的平行四边形是矩形

有一个角是直角的平行四边形是矩形
菱形
四条边都相等
?
两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

活动二：动手操作，探究新知
探究点1 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
如图，用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，在四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形.
(1)转动木条，这个四边形总有什么特征?它是什么四边形?
答：这个四边形的对角线总是互相平分，它是平行四边形.
(2)继续转动木条，观察橡皮筋围成的四边形什么时候变成菱形?
答：当这个四边形的对角线互相垂直时变成菱形.
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
下面我们来尝试证明：
已知:如图,▱ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,且BD⊥AC.求证:□ABCD 是菱形.
证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AO=CO.∵BD⊥AC,∴BD 垂直平分AC,∴AB=BC.∴▱ABCD 是菱形.
【教学建议】
让学生动手实践
得到菱形的判定方法，教师注意提醒学生：这里对角线互相垂直的前提条件是在平行四边形内，如果是一般的四边形，则应满足对角线互相垂直且平分.
设计意图
通过图形的变化，让学生感受四边形是菱形时对角线的特征，引导学生得出菱形的判定方法.
教学步骤
师生活动

归纳总结：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
几何语言:∵四边形ABCD是平行四边形,且AC⊥BD,∴▱ABCD 是菱形.
例1 (教材 P74 例 4)如图,在▱ABCD 中,对角线AC 的垂直平分线与边AD，BC 分别相交于点E，F.求证:四边形 AFCE 是菱形.
分析：已知AC⊥EF，由“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，只需证明四边形 AFCE 是平行四边形.由题意可知AO=CO，还需证明 EO=FO.
证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AE∥CF.∴∠1=∠2.
又∠AOE=∠COF,AO=CO,
∴△AOE≌△COF.∴EO=FO.
∴四边形 AFCE 是平行四边形.
又 AC⊥EF,
∴四边形 AFCE 是菱形.
【对应训练】
1.如图，□ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O，若添加一个条件，可推出□ABCD 是菱形，则该条件可以是(C)
A. AB=ACB. AC=BD
C. AC⊥BDD. AB⊥AC
2.教材 P75 练习第1题.

设计意图
探究点 2 四条边相等的四边形是菱形
老师拿四根长度一样的新粉笔，首尾顺次相接拼成一个四边形，在黑板上画出相应的图形并标上字母(如图)，得到的四边形ABCD 是菱形吗? 是 .
猜想：四条边相等的四边形是菱形.
下面我们来尝试证明：
如图,在四边形ABCD 中,AB=BC=CD=AD.求证:四边形 ABCD 是菱形.
证明:∵AB=CD,BC=AD,∴四边形 ABCD 是平行四边形.
又 AB=BC,∴四边形ABCD 是菱形.
归纳总结：四条边相等的四边形是菱形.
几何语言:∵AB=BC=CD=AD,∴四边形ABCD 是菱形.
【对应训练】
1.如图,在矩形ABCD 中,E,F,G,H 分别是AB,BC,CD,AD 的中点.求证:四边形 EFGH 是菱形.
证明:∵四边形 ABCD 是矩形,
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AD=BC,AB=CD.
∵E,F,G,H 分别是AB,BC,CD,AD 的中点,
∴AH=DH=BF=CF,AE=BE=CG=DG.
∴△AHE≌△BFE≌△CFG≌△DHG(SAS),
∴HE=FE=FG=HG,
∴四边形 EFGH 是菱形.
2.尝试利用“四条边相等的四边形是菱形”证明前面的例1.
3.教材P75练习第2题.
【教学建议】
提醒学生：若已知邻边相等，要证明这个四边形是菱形，可用两种方法：(1)先证明这个四边形是平行四边形，再利用邻边相等得到菱形；(2)直接证明四条边都相等.
通过动手操作让学生感受菱形四条边都相等的特征，引导学生得出菱形的判定方法.
教学步骤
师生活动
活动三：综合运用，巩固提升
例2 如图,在▱ABCD 中,BF 平分∠ABC 交AD 于点F,AE⊥BF 于点O,交 BC 于点E,连接EF.
(1)求证:四边形 ABEF 是菱形;
(2)若AE=6,BF=8,CE=3,求□ABCD 的面积.
(1)证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AD∥BC,∴∠EBF=∠AFB.
∵BF 平分∠ABC,∴∠ABF=∠EBF,∴∠ABF=∠AFB,∴AB=AF.
∵AE⊥BF,∴∠AOB=∠EOB=90°.
又BO=BO,∴△ABO≌△EBO(ASA),∴AB=BE.∴BE=AF.
又 BE∥AF,∴四边形 ABEF 是平行四边形.
又AB=AF,∴四边形 ABEF 是菱形.
(2)解:如图,过点 F 作FG⊥BC 于点G.
∵四边形 ABEF 是菱形, AE=6,BF=8,∴OE=12AE=3,OB=12BF=4.在 Rt△BOE 中, BE=OB²+OE²=4²+3²=5.
S棱锥侧ABEF=12AEBF=BEFG,12×6×8=5FG,FG=245.
:BC=BE+CE=5+3=8,S□ABCD=BCFG=8×245=1925.
【对应训练】
教材P75练习第3题.
【教学建议】
学生独立思考并完成例题，教师点评.提醒学生注意：(1)已知角方面的条件可考虑利用其得到边的相等关系，为证明菱形创造条件；(2)进行第(2)问计 算 时,求□ABCD 的面积,可利用第(1)问的结论，先由菱形的两种面积计算方法求得关键的线段长.
设计意图
巩固学生对菱形的判定的认识.
活动四：随堂训练，课堂总结
【随堂训练】见《创优作业》“随堂作业”册子相应课时训练.
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
菱形的判定方法有哪几种?
矩形和菱形小结：
【知识结构】
【作业布置】
1.教材P79~80习题21.3第5,10题.
2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.
板书设计
21.3.2 菱形
第2课时 菱形的判定
1.菱形的概念.
2.菱形的判定定理 1.
3.菱形的判定定理 2.
教学反思
新课导入时让学生动手制作菱形，感知菱形判定的条件，让学生在轻松愉快的氛围中水到渠成地得到菱形的判定定理.
在运用判定时，要遵循先易后难的原则，让学生先会运用判定解决简单的证明题，再由浅入深，学会灵活运用.
备课素材
解题大招 根据题设条件灵活选择菱形的判定方法
(1)用边来判定：①先说明四边形是平行四边形，再说明有一组邻边相等；②说明四边形的四条边都相等.
(2)用对角线进行判定：①先说明四边形是平行四边形，再说明四边形的对角线互相垂直；②说明四边形的对角线互相垂直平分.
注意：对角线垂直的四边形不一定是菱形，必须是对角线互相垂直的平行四边形才是菱形.
例1 如图,在四边形ABCD中,AC 为对角线,BA⊥AC,E为BC 的中点,连接AE,若∠BAE+∠CAD=90°,AE∥CD.求证:四边形AECD 是菱形.
证明:∵BA⊥AC,∴∠BAC=90°,∴∠BAE+∠EAC=90°.
∵∠BAE+∠CAD=90°,∴∠CAE=∠CAD.
∵E为BC 的中点,∴AE=CE,
∴∠EAC=∠ACE,∴∠CAD=∠ACE,∴AD∥BC.C
又AE∥CD,∴四边形AECD 是平行四边形.
∵AE=CE,∴四边形AECD 是菱形.
例2 如图,四边形ABCD 是平行四边形,DE∥BF,且分别交对角线AC 于点E,F,连接BE,DF.
(1)求证:AE=CF;
(2)若BE=DE,求证:四边形EBFD 为菱形.
证明:(1)∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD=CB,AD∥CB,∴∠DAE=∠BCF.
∵DE∥BF,∴∠DEF=∠BFE,∴∠AED=∠CFB.
在△ADE 和△CBF 中,∠BBE=∠CHEE,∴ADECACHF(AAS)∴AE=CF.
(2)由(1)知△ADE≌△CBF,∴DE=BF.
∵DE∥BF,∴四边形EBFD 是平行四边形.
又BE=DE,∴四边形EBFD 为菱形.
培优计划
培优点 菱形判定的综合
例1 如图，两张等宽且对边平行的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，AB=3，AC=2，则四边形ABCD 的面积为(A)
A.4 2B.6 2C.8 2D.5
解析:如图,过点A 分别作AE⊥CD 于点E,AF⊥BC 于点F,连接BD 交AC 于点O.
∵两张纸条宽度相等,∴AE=AF.
∵AB∥CD,AD∥BC,∴四边形ABCD 是平行四边形.
∵S▱ABCD=BC·AF=CD·AE,∴BC=CD,
∴四边形ABCD 是菱形.
∴AO=CO=12AC=12×2=1,BO=DO,AC⟂BD.
∴BO=AB2−AO2=32−12=22,∴BD=2BO=42.
∴四边形ABCD 的面积 =12BD⋅AC=12×42×2=42.故选 A.