初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）第二十一章 四边形21.3 特殊的平行四边形获奖第1课时教学设计

这是一份初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）第二十一章 四边形21.3 特殊的平行四边形获奖第1课时教学设计，共10页。教案主要包含了学习目标，知识回顾，矩形的定义，矩形的性质，性质推导，典型例题，易错提醒，课堂练习等内容，欢迎下载使用。
第1课时 矩形的性质
教学设计
教学目标
课题
21.3.1 第1课时 矩形的性质
授课人

素养目标
1.理解矩形的概念，明确矩形与平行四边形的区别和联系，体会特殊与一般之间的关系.
2.探究矩形的性质和识别条件，提高学生的推理能力.
3.利用矩形的性质定理进行证明和计算.
4.掌握直角三角形斜边上的中线的性质，会用它求线段长或解决线段的倍分关系问题.
教学重点
矩形的性质定理和直角三角形斜边上的中线的性质的理解与运用.
教学难点
矩形的性质定理和直角三角形斜边上的中线的性质的探究与证明.
教学活动
教学步骤
师生活动
活动一：动态演示，导入新课
【情境导入】
拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，使一个角是直角，这时它除了是平行四边形外，还是什么特殊的图形?(动画演示拉动过程如图)
概念引入：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形，矩形也就是长方形.
如图，门窗框、书桌面、地砖等都有矩形的形象.
与研究平行四边形一样，对于矩形，仍重点研究它的性质和判定.
【教学建议】
学生根据生活经验及图片思考矩形的特征，教师总结矩形的概念.
设计意图
动态演示平行四边形变成矩形的过程，使学生了解矩形的概念.
活动二：动手操作，探究新知
探究点1 矩形的性质
1.平行四边形的对角相等，邻角互补.如图，取一张矩形纸片，用直尺画出它的对角线.
矩形是特殊的平行四边形，它有一个角是直角，它的四个角之间还有没有其他的关系呢?
答：矩形的四个角都相等，都是直角.
2.测量两条对角线的长度，这两个长度有什么关系?
答：两条对角线的长度相等.
下面我们一起来证明一下：
(1)如图,在矩形ABCD 中, ∠A=90°.
求证:∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
证明：∵矩形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD,∠A=∠C.
∵∠A=90°,∴∠C=90°,∠D=180°-∠A=90°.
∴∠B=180°-∠C=90°.∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
(2)如图,四边形ABCD 是矩形.求证:AC=BD.
证明:∵四边形 ABCD 是矩形,
∴∠ABC=∠DCB=90°,AB=DC.
又BC=CB,∴△ABC≌△DCB(SAS).∴AC=BD.
【教学建议】
证明过程可让学生自行完成，教师进行指引和纠正.
设计意图
通过动手操作，让学生在活动中得出矩形的性质，印象更加深刻.
教学步骤
师生活动
设计意图
归纳总结：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等.
3.(1)折叠一下你手中的矩形纸片.它是轴对称图形吗?
答：它是轴对称图形.
(2)它的对称轴在矩形纸片的什么位置?
答：在每组对边中点的连线上.
归纳总结：矩形是轴对称图形，它每组对边中点连线所在的直线就是它的对称轴.
例1 (教材 P69 例1)如图,矩形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,∠AOB=60°,AB=4,求矩形ABCD 的对角线的长.
解:∵四边形 ABCD 是矩形,
∴AC 与 BD 相等且互相平分.∴OA =OB.
又∠AOB=60°,∴△OAB 是等边三角形.
∴OA=AB=4.
∴AC=BD=2OA=8.
【对应训练】
1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是(D)
A.对边平行B.对边相等C.对角相等D.对角线相等
2.如图,在矩形 ABCD 中,E 是AB 的中点,连接DE,CE.求证:△ADE≌△BCE.
证明:∵四边形 ABCD 是矩形,
∴AD=BC,∠A=∠B=90°.
∵E 是AB 的中点,∴AE=BE.
∴△ADE≌△BCE(SAS).
3.教材P70练习.
【教学建议】
给学生说明，矩形一般只有两条对称轴，要防止学生错将对角线所在直线当成矩形的对称轴(只有当矩形同时是正方形时，对角线所在直线才是它的对称轴).
通过折纸，发现矩形的轴对称性.
设计意图
探究点2 直角三角形斜边上的中线的性质
如图,BO 是Rt△ABC 斜边AC 上的中线.
(1)测量一下，BO 与AC 的长度有什么关系?
答： BO=12AC.
(2)你能证明上面的结论吗?
证明：类似于证明三角形中位线定理的过程，如图，延长 BO 到点 D，使OD=OB,连接 AD,CD.
∵OA=OC,OB=OD,∴四边形 ABCD 是平行四边形.
又∠ABC=90°,∴四边形 ABCD 是矩形.
根据矩形的性质， BD=AC.∴BO=12BD=12AC.
归纳总结：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
【对应训练】
1.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AD=BD,CD=4,则AB的长为(A)
A.8B.6C.4D.2
2.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于点 D,若∠ECD=50°,E是斜边AB 的中点,则∠A=(B)
A.10°B.20°C.30°D.40°
【教学建议】
提醒学生：若遇到直角三角形斜边的中点，通常可作出中线解决问题.注意直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成了两个等腰三角形.
引导学生发现直角三角形斜边上的中线的性质.
教学步骤
师生活动
活动三：综合运用，巩固新知
例 2如图,矩形ABCD的对角线AC,BD 相交于点O,AE⊥BD 于点E,且BE:ED=1:3,AD=6cm.求AE的长.
解:∵四边形 ABCD 是矩形,
∴BO=OD=12BD=12AC=OA,∠BAD=90°.
∵BE:ED=1:3,∴BE=OE.
又AE⊥BD,∴AE 垂直平分BO,∴AB=AO=BO.∴△ABO是等边三角形.
∴∠ABO=60°∴∠ADE=90°−60°=30°.∴AE=12AD=12×6=3cm.
【对应训练】
1.如图,矩形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,点 E,F 分别是AO,AD的中点,连接EF.若AB=6cm,BC=8cm,则EF 的长是(D)
C.2.4 cm
2.如图,O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点,M 是AD 的中点.若 AB=5,AD=12,求四边形ABOM 的周长.
解:∵四边形 ABCD 是矩形,
∴BC=AD=12,CD=AB=5,∠ABC=90°.
∴AC=AB²+BC²=5²+12²=13.
∵O 是 AC 的中点, ∴OB=12AC=6.5.
∵M 是 AD 的中点,∴OM 是△ACD 的中位线, AM=12AD=6.
∴OM=12CD=2.5.
∴四边形 ABOM 的周长为AB+OB+OM+AM=5+6.5+2.5+6=20.
【教学建议】
提醒学生：矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，在解题时有时会用到等腰三角形的性质.
设计意图
巩固学生对矩形性质的认知，并加强与其他知识综合运用的能力.
活动四：随堂训练，课堂总结
【随堂训练】见《创优作业》“随堂作业”册子相应课时训练.
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
矩形作为特殊的平行四边形，它的概念是什么?矩形有哪些特殊的性质?直角三角形斜边上的中线的性质是什么?
【知识结构】
【作业布置】
1.教材P79~80习题21.3第3,8,9,12(1),13题.
2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.
板书设计
21.3.1 矩形
第1课时 矩形的性质
1.矩形的概念.
2.矩形的性质:(1)边;(2)角;(3)对角线;(4)轴对称性.
3.直角三角形斜边上的中线的性质.
教学反思
本节课的主要教学任务是矩形的性质及直角三角形斜边上的中线的性质，教学中让学生充分经历从实际生活中抽象出数学图形到深入认识图形特征的过程，更好地理解平行四边形与矩形之间的从属关系和内在联系，在适度的方法训练中加强知识的灵活运用，使学生对于常见的转化方法也能灵活应用.
备课素材
解题大招
解题大招 矩形性质的运用
(1)矩形是特殊的平行四边形，它的特殊性主要表现为四个角都是直角和两条对角线相等；
(2)矩形的性质是求线段的长度、角度的常用手段，它可以用来验证两条线段是否相等，两条直线是否平行，两个角是否相等；
(3)由于矩形的四个角都是直角，则常把关于矩形的问题转化为直角三角形的问题来解决；
(4)矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，并且分成的四个等腰三角形的面积相等，因此在解决相关问题时，常常用到等腰三角形的性质；
(5)矩形的两条对角线的交点到四个顶点的距离相等.
例1 如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6.在边AD上取一点E,使BE=BC,过点C作CF⊥BE,垂足为F,则BF的长为 2 5 .
解析:∵四边形ABCD是矩形,∴BC=AD=6,∠A=∠ABC=90°.又 BE=BC,∴BE=6.∴AE= BE2−AB2=62−42=255.∵CF⊥BE,∠ABC=90°,∴∠BFC=90°,∠ABE=90°-∠EBC=∠FCB.∴∠A=∠BFC.又BE=CB,∴△ABE≌△FCB(AAS).∴BF=AE=2 5.故答案为2 5
例2 如图,∠MON=90°,矩形ABCD 的顶点A,B 分别在边OM,ON上,当点 B 在边ON 上运动时,点 A 随之在边OM上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=6，BC=2，则运动过程中点D 到点O 的最大距离是 3+13.
解析:如图,取线段AB 的中点E,连接OE,DE,OD.∵E是AB 的中点,∠AOB=90°,∴OE=AE= BE=12AB=3.·四边形 ABCD 是矩形,∴AD=BC=2,∠DAB=90°.∴DE= √AE²+AD²= 32+22=13.∵OD≤OE+DE,∴当点D，E，O共线时，OD 的长最大.∴点D 到点O的最大距离= OE+DE=3+13.故答案为 3+13.
培优计划
培优点一 利用矩形性质求线段长
例1 如图,矩形ABCD 的对角线AC与BD 相交于点O,AB=5,AD=12,E为BC边上的一个动点,EF⊥AC,
EG⊥BD,垂足分别为F,G,则EF+EG=6013
分析:连接OE,根据矩形的性质得到 BC=AD=12,AO=CO=BO=DO,∠ABC=90°,再根据勾股定理得到 AC=AB2+BC2=13,求得 OB=OC=132,再根据三角形的面积公式即可求解.
解析:如图,连接OE.∵四边形 ABCD 是矩形,∴∠ABC=90°,BC=AD=12,AO=CO=BO=DO.∴AC= AB2+BC2=32+122=13.∴OB=OC=132.∴S△ABC=S△COE+S△BE=12OC·EF+12OB·EG=12S△ABC=12AB⋅BC.∴12×132EF+12×132EG=12×12×5×12.∴EF+EG=6013故答案为,6013.
培优点二 利用直角三角形斜边上中线的性质解题
例2 如图,在△ABC中,BD⊥AC于点D,CE⊥AB 于点E,连接DE,M,N分别是BC,DE 的中点,连接MN,EM,DM.
(1)求证:MN⊥DE;
(2)若∠A=60°,判断△EMD 的形状,并说明理由.
(1)证明:∵CE⊥AB,BD⊥AC,∴△BCE 和△BCD 都是直角三角形.
又 M 是BC 的中点, ∴EM=12BC,DM=12BC.∴EM=DM.又 N 是DE 的中点,∴MN⊥DE.
(2)解：△EMD 是等边三角形.理由如下：
∵∠A=60°,∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°.由(1)可知 EM=DM=12BC.
又M是BC的中点,∴EM=BM=DM=CM.
∴∠ABC=∠BEM,∠ACB=∠CDM.∴∠BEM+∠CDM=∠ABC+∠ACB=120°.
∴∠BME+∠CMD=360°-(∠ABC+∠ACB)-(∠BEM+∠CDM)=120°.
∴∠EMD=180∘−∠BME+∠CMD=60∘.
又 EM=DM,∴△EMD 是等边三角形.