初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）第二十一章 四边形21.3 特殊的平行四边形获奖第2课时教案

这是一份初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）第二十一章 四边形21.3 特殊的平行四边形获奖第2课时教案，共3页。教案主要包含了情境导入，教学建议，对应训练，随堂训练，课堂总结，知识结构，作业布置等内容，欢迎下载使用。

教学目标
课题
21.3.1 第2课时 矩形的判定
授课人

素养目标
1.理解并掌握矩形的判定方法.
2.通过互逆命题提出猜想，验证矩形的判定定理，培养分析问题和解决问题的能力.
3.能应用矩形的判定方法进行证明和计算.
教学重点
矩形判定定理的理解与应用.
教学难点
选择合适的方法判定四边形为矩形.
教学活动
教学步骤
师生活动
活动一：创设情境，导入新课
【情境导入】
同学们我们首先回忆一下：
1.矩形的概念：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形.
2.矩形的性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等.
矩形的概念可以用于判定矩形，我们来看一看下面这个例子：
工人师傅做铝合金窗框，分下面三个步骤进行：
(1)先截出两对符合规格的铝合金窗料，如图①，使AB=CD，EF=GH；
(2)摆放成如图②所示的四边形，则这时窗框的形状是 平行四边形 ，根据的数学道理是 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ；
(3)将直角尺靠在窗框的一个角上，如图③，调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时，如图④，说明窗框合格，这时窗框是 矩形 ，根据的数学道理是 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形 .
概念可以判定矩形.除此之外，还有没有其他判定方法呢?比照平行四边形的判定，矩形性质定理的逆命题是不是也可以用于矩形的判定呢?我们来看下.
【教学建议】
让学生根据生活情境，清晰地了解到矩形是由平行四边形的一个角转变成直角演变而来的，这是矩形的判定，也是它的概念.
设计意图
通过生活情境引出课题学习.
活动二：动手验证，探究新知
探究点1 对角线相等的平行四边形是矩形
如图，为了防蚊虫，数学老师为自家定制了一扇矩形的纱门.安装师傅上门安装时，数学老师利用卷尺测量了两组对边，发现它们分别相等，又测量了两条对角线，发现它们也相等，于是就知道了该纱门是矩形的.同学们知道这是为什么吗?我们可以这么思考：
1.如果纱门的两组对边分别相等，说明纱门是什么形状?
答：说明纱门是平行四边形，因为两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
2.数学老师又测量了两条对角线是否相等，并在此基础上判断纱门是不是矩形，你猜测数学老师的判断标准是什么?
答：对角线相等的平行四边形是矩形.
数学老师的这个判断标准对不对呢?我们尝试证明一下.
已知:如图,四边形 ABCD 是平行四边形,且AC=BD.
求证：四边形ABCD 是矩形.
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB=DC,AB∥DC.又AC=DB,BC=CB,
【教学建议】
这里教师需提醒学生：对角线相等的四边形不一定是矩形，对角线相等这一条件必须建立在平行四边形的基础上.
设计意图
通过材料引发学生的思考，先想到平行四边形，再想到由对角线相等得到矩形.
教学步骤
师生活动

∴△ABC≌△DCB(SSS),∴∠ABC=∠DCB.
∵AB∥DC,∴∠ABC+∠DCB=180°.
∴∠ABC=90°,∴四边形 ABCD 是矩形.
归纳总结：对角线相等的平行四边形是矩形.
几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD，∴四边形ABCD 是矩形.
【对应训练】
教材P71练习第 2题.

设计意图
探究点2 有三个角是直角的四边形是矩形
我们知道，矩形是四个角都是直角的四边形，它的逆命题成立吗?即四个角都是直角的四边形是矩形吗?进一步，至少有几个角是直角的四边形是矩形?
猜测有三个角是直角的四边形是矩形.我们一起来验证一下：
已知:如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.
求证：四边形ABCD 是矩形.
证明:∵∠A=∠B=∠C=90°,
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.
∴AD∥BC,AB∥CD.
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
又∠A=90°,∴四边形 ABCD 是矩形.
归纳总结：有三个角是直角的四边形是矩形.
几何语言:∵∠A=∠B=∠C=90°,∴四边形ABCD 是矩形.
【对应训练】
1.依据所标数据，下列不一定是矩形的是(B)
2.教材P71练习第 1题.
【教学建议】
引导学生由三个角是直角去判定四边形为矩形，因为如果三个角是直角，由四边形内角和定理很容易知道第四个角也是直角.
另外提醒学生：
“有三个角是直角的四边形是矩形”这一判定定理是在四边形的基础上进行的，另外两个判定方法均是在平行四边形的基础上进行的.
利用逆向思维思考性质，让同学们在解决问题的过程中总结判定定理.
活动三：运用新知，巩固提升
例 (教材P71例2)如图，▱ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G,H.求证:四边形EFGH 是矩形.
分析：根据已知条件，容易证明四边形 EFGH 的一个内角∠F 为直角，同理可证∠H，∠AEB也为直角，从而证明四边形 EFGH 是矩形.
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD.
∴∠BAD+∠ADC=180°.
又AF,DF 分别平分∠BAD,∠ADC,
∴∠DAF+∠ADF=12∠BAD+12∠ADC=12∠BAD+∠ADC=90°.
∴∠F=90°.
同理∠H=∠AEB=90°.
∴∠FEH=∠AEB=90°.
∴四边形 EFGH 是矩形.
【对应训练】
1.教材P71练习第 3题.
【教学建议】
(1)给学生总结
判定矩形的三种类型：①有一个角是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形；③有三个角是直角的四边形.
(2)提醒学生注
意，判定矩形所需的条件，题目往往不会全部给出，有些条件需要结合其他几何知识自己去证得，如证直角，证对角线相等，证平行四边形.
设计意图
巩固学生对矩形判定定理的掌握.
教学步骤
师生活动

2.如图,□ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,AC⊥AB,∠AOB=60°,E,F 分别是OB,OD 的中点,连接AE,CE,CF,AF.
(1)求证:四边形 AECF 为矩形;
(2)若AB=3,求矩形AECF 的面积.
(1)证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD.
∵E,F 分别是OB,OD 的中点, ∴OE=12OB,OF=12OD.
∴OE=OF,∴四边形 AECF 是平行四边形.
∵AC⊥AB,∠AOB=60°,∴∠BAO=90°,∴∠ABO=30°,∴OA= 12OB=OE.
∴AC=EF,∴▱AECF 为矩形.
(2)解:由(1)得OA=OE=OC=OF,∠AOB=60°,∠ABO=30°,
∴△OAE 是等边三角形, ∠OFA=∠OAF=12∠AOB=30°=∠ABO.
∴AE=OA,AF=AB=3.
在 Rt△OAB 中,由勾股定理易得( OA=3,∴AE=OA=3.
∴矩形 AECF 的面积 =AF⋅AE=33.

活动四：随堂训练，课堂总结
【随堂训练】见《创优作业》“随堂作业”册子相应课时训练.
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：矩形的判定方法有哪几种?
【知识结构】
【作业布置】
1.教材P78~79习题21.3第1,2题.
2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.
板书设计
21.3.1 矩形
第2课时 矩形的判定
1.矩形的概念.
2.矩形的判定定理 1.
3.矩形的判定定理 2.
教学反思
本节课的主要任务是探究矩形的三个判定方法，教学过程中应将矩形的判定与平行四边形的判定作比较，让学生之间相互交流，说出矩形与平行四边形的区别与联系，进而更好地掌握知识.
教师安排对应的判定方法训练题巩固新知，学生需要根据已知条件灵活选用判定方法，提升分析问题和解决问题的能力.