华东师大版（2024）八年级上册（2024）1. 两数和乘以这两数的差教案

这是一份华东师大版（2024）八年级上册（2024）1. 两数和乘以这两数的差教案，共8页。教案主要包含了设计意图等内容，欢迎下载使用。
（一）教学内容解析
1．教学内容
本节课是华东师大版八年级上册第十一章第3节第1课时的内容，它是在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，是从一般到特殊认知规律的典型范例．对它的学习和研究，不仅给出了具有两数和与差这种特殊多项式乘法的简便算法，也为后续学习两数和或差的完全平方公式建立了学习结构、提供了学习方法，同时为以后因式分解、分式运算等奠定了基础．因此，平方差公式在数与式的教学中具有重要的承前启后作用，是最基本、用途最广泛的公式之一．
2.教学重难点是：平方差公式结构特征的探究、意义的理解和公式的运用．
（二）教学目标设置
1.教学目标
(1) 在探索平方差公式的过程中，感悟从一般到特殊、从特殊到一般的研究方法；在验证平方差公式的过程中，感知数形结合思想．
(2) 掌握平方差公式的结构特征，理解平方差公式的意义，能较熟练运用平方差公式进行计算．
（三）教学过程
（一）问题激趣导入
问题1：在11.2节中，我们学习了整式的乘法，相信大家已经有了一定的熟练度．我们知道单独的数也是整式，出个小题考考你们：计算50.2×49.8，看谁做得又快又好．
师生活动：学生独立完成计算，教师巡视，发现多数学生都用竖式乘法计算．师生共同分析达成共识：竖式乘法计算过程复杂且容易算错．通过本节课的学习，学生就能拥有计算这类问题的诀窍．
【设计意图】引发学生探寻速算方法的兴趣，激发学生的好奇心和求知欲，为本节课的引入作铺垫．
（二）公式探索验证
按照数学研究从一般到特殊的研究思路，我们在前两节课学习了一般的多项式乘法，然后探究了形如(a+b)(a+n)的特殊多项式乘法，实际就是把(a+b)(m+n)中的m特殊化，取作a．若在此基础上，继续特殊化，可以将n也特殊化，取作b，其实就是两数和与这两数和相乘．两个数除了求和，还可以作差．我们还可以把两数和与这两数差相乘，也可以把两数差与这两数差相乘．这些特殊形式的多项式相乘，都是11.3小节将要研究的内容，本节课着重研究(a+b)(a−b)这一类乘法．
在11.1节中，我们学习了整式的乘法,知道了多项式与多项式相乘的法则．
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式中的每一项，再把所得的积相加.即：
可用几何图形解释：
根据多项式乘法法则，类比其研究思路，展开本节课的探究．
【设计意图】回顾一般的多项式乘法法则和研究思路，体会多项式乘法与本节内容的关系：“一般”——“特殊”．渗透从一般到 特殊、类比的数学思想方法．
问题1：计算下列多项式的积．
(1)
(2)
(3)
师生活动：学生计算，师生共同分析结果．
【设计意图】在每个算式的计算过程中进一步巩固多项式乘法法则．且三个算式具有代表性和层次性，可以为抽象概括出一般规律奠定基础．
追问1：等式的左边有什么共同点？
追问2：等式的右边又有什么共同点？
追问3：请你猜想(a+b)(a−b)=？
追问4：你能用所学的知识对发现的规律进行验证吗？
师生活动：学生观察并独立思考，发现等式左边相乘的两个多项式都是某两个数的和与这两个数的差相乘，等式右边它们的积恰好是这两个数的平方差．可以猜想出一般规律为，然后运用多项式乘法法则可以对其进行验证．
【设计意图】让学生经历特殊到一般的过程，即经历观察(每个具体的算式及其结果的特点)、猜想(可能具有的规律)、验证(论证概括的结果)的过程，从中体会数学研究中从特殊到一般的研究思路和基本思想方法．
至此，我们已经从数的角度验证了平方差公式，并认识了公式的结构特征．下面，让我们从形的角度解释平方差公式．
验证2：请观察公式的右边，在几何范畴，我们通常用表示什么？呢？
我们通常用表示边长为a的正方形的面积，同理，可以表示为边长为b的正方形的面积．
学生活动：以小组为单位，剪拼剩余图形，要求拼出一个规则的几何图形，并用其它方式表示该图形的面积．请大胆尝试，看看能探索出多少种剪拼方式．
【设计意图】通过探究活动，让学生认识平方差公式的几何意义，体会数形结合思想，从而更好地理解公式．
有了这个规律，当遇到相同形式的多项式相乘时，就可以直接运用它写出结果，于是我们把它作为一个乘法公式，由于运算结果是平方差的形式，所以我们把它命名为（乘法的）平方差公式．
（三）公式理解辨析
你能用文字语言来表述平方差公式吗？
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
这个公式叫做（乘法的）平方差公式.
师生活动：学生回答问题，相互补充后. 勾画教材37页上相关内容，并标记关键词．
【设计意图】学生将符号语言转化为文字语言，发展学生的数学语言表达能力. 在这个过程中，可以加深对公式结构特征的理解．
我们还可以发现平方差公式中的第一个数a的符号是相同的，第二个数b的符号是相反的，也就是说a与a是相同项，b与-b是相反项．公式的右边是相同项的平方减去相反项的平方，即它们的平方差．这就是平方差公式的结构特征：
【设计意图】让学生熟悉平方差公式的条件，认识平方差公式的结构特征，为正确地运用平方差公式打下基础．
在平方差公式中，字母a，b都可以表示什么呢？
字母a，b既可以表示一个数或字母，也可以表示一个单项式或多项式
【设计意图】强化公式理解，为后面练习做准备.
“辨一辨 ”下列式子能否直接用平方差公式计算？
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
师生活动：学生回答问题，相互补充．师生共同强化认识公式的结构特征．
通过前面的学习我们发现能否用平方差公式关键是要找到相同项与相反项，请同学们找出下面式子的相同项与相反项.
分析：
相同项
相同项
的平方
相反项
的平方
相反项
【设计意图】
通过例题分析，让学生再次强化公式的结构特征，为后面乘法公式中a，b位置与公式不一致的情况做准备.并通过完整书写过程的展示，规范学生书写习惯.
（四）公式应用反馈
问题2：运用平方差公式计算：

师生活动：两名学生板书，其他同学在练习本上完成，教师巡视指导，学生互评，并引导学生分析归纳易错点.
【设计意图】能运用平方差公式进行计算，并对多项式中位置与平方差公式不一一对应的能正确识别相同项与相反项.强调整体思想的运用.
学习反馈： 运用平方差公式计算
（1） （2）
【设计意图】检测学习效果，通过同类型题的练习，帮助学生更好地理解平方差公式，较熟练地运用公式进行有关计算．
运用平方差公式计算引例：
502×498
解 原式=（500+2）×（500-2）

【设计意图】通过本课平方差公式的学习，能运用平方差公式快速解决符合条件的计算问题，从而达到学有所用,学以致用的目的.
（五）小结作业拓展
回顾本节课的学习之旅，请大家根据下面的提示，从某一个方面谈谈自己的收获与感想．
1.这节课我们学习了一个什么乘法公式？
2.我们研究这个公式经历了哪些过程？
三个数学思想
一个乘法公式
类比 数形结合 整体
两种研究方法
特殊 一般 观察→猜想→验证
(a+b)(a-b) = a2-b2 QUOTE −b2
3.通过本节课的学习你体会到了哪些数学思想方法?
师生活动：学生回答，师生交流．
教师小结：本节课，我们从一般的多项式乘法到一类特殊的多项式乘法，发现它的一般规律，得到平方差公式．然后类比前面的研究思路，从数和形两个角度验证了平方差公式．感受了数学知识的来龙去脉,希望同学们在以后的学习中养成严谨的学习习惯,学业更上一层楼.
【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容、研究过程、思想方法等．
思考：
解原式=

= ……
【设计意图】帮助学生理解平方差公式中的字母含义，字母a、b可以是具体的数（正数或负数），也可以是单项式或多项式等式子，让学生再次体会运用公式的关键是识别公式中的相同项和相反项．同时，借助(a+b)2引出另一种特殊形式的多项式乘法，激发学生探索数学新知的欲望，为完全平方公式的教学埋下伏笔．
3.板书设计
（六）教学设计反思
平方差公式是初中数学的核心公式之一,它是特殊的整式乘法,运用这一公式,可以迅速而简捷地计算出符合公式特征的多项式乘法结果.想要学好这个公式,首先是要让学生会判断哪些乘法算式能用平方差公式,是否满足公式特征.其次是通过从数和形两方面验证平方差公式培养学生掌握探究问题的方法以及动手动口的能力.感悟数学的严谨.