2027年高考数学一轮复习考点课时巩固练54　直线与圆锥曲线的位置关系（含答案解析）

这是一份2027年高考数学一轮复习考点课时巩固练54　直线与圆锥曲线的位置关系（含答案解析），共8页。试卷主要包含了已知直线l，已知A,B，已知抛物线C，已知椭圆C等内容，欢迎下载使用。
(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)
基础 巩固练
1.已知直线l:kx+y+1=0,椭圆C:x216+y24=1,则直线l与椭圆C的位置关系是( )
A.相离B.相切
C.相交D.无法确定
2.(2025·重庆沙坪坝期末)点A,B的坐标分别是(-2,0),(2,0),直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是-12,则点M的轨迹方程是( )
A.y28+x24=1(x≠±2)
B.x24+y22=1(x≠±2)
C.x24−y22=1(x≠±2)
D.x24−y28=1(x≠±2)
3.(2025·北京通州一模)已知点F为抛物线y2=4x的焦点,过点F且倾斜角为π3的直线与抛物线交于A,B两点,则|AB|=( )
A.16B.6C.163D.4
4.(2025·北京海淀二模)已知A(-2,0),B(2,0).若动点P满足|PA|-|PB|=2,则P的轨迹的方程为( )
A.x2-y23=1
B.x2-y23=1(x≤-1)
C.y23-x2=1
D.x2-y23=1(x≥1)
5.(2025·山东滨州模拟)已知M(4,2)是直线l被椭圆x2+4y2=36所截得的线段AB的中点,则直线l的方程为( )
A.2x+y-8=0B.x+2y-8=0
C.x-2y-8=0D.2x-y-6=0
6.(多选题)(2025·浙江温州期中)在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0),B(1,0),点M是平面内的一个动点,则下列说法正确的是( )
A.若||MA|-|MB||=1,则点M的轨迹是双曲线
B.若|MA|+|MB|=2,则点M的轨迹是椭圆
C.若|MA|=|MB|,则点M的轨迹是一条直线
D.若MA·MB=2,则点M的轨迹是圆
7.(2026·江西模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线与C交于A,B两点,若|FA|=2|FB|=6,则p= .
8.(15分)(2025·全国2,16)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,长轴长为4.
(1)求C的方程;
(2)过点(0,-2)的直线l与C交于A,B两点,O为坐标原点.若△OAB的面积为2,求|AB|.
综 合 提升练
9.(2026·安徽阜阳高三模拟)已知椭圆C:x24+y23=1的左焦点为F1,不经过F1且斜率为3的直线交C于A,B两点.当△F1AB的周长最大时,|AB|=( )
A.85B.835C.165D.1635
10.(2025·浙江宁波期中)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),点F为左焦点,点P为下顶点,平行于FP的直线l交椭圆于A,B两点,且线段AB的中点为M(1,12),则椭圆的离心率为( )
A.22B.12C.14D.32
11.(2025·广东一模)F1,F2分别为双曲线x2-y23=1的左、右焦点,A,C两点在双曲线上且关于原点对称(点A在第一象限),直线CF2与双曲线的另一个交点为点B,若|AF1|-|BF2|=6,则△ABC的面积为 .
12.(17分)(2025·浙江嘉兴一模)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1(-23,0),F2(23,0),并且经过点A(23,4).
(1)求C的方程;
(2)过点F2的直线交双曲线的右支于M,N两点(点M在第一象限),过点M作直线x=233的垂线,垂足为D.
①求证:直线DN经过定点;
②记△ODN的面积为S,求S的取值范围.
创 新 应用练
13.(多选题)(2025·宁夏银川三模)已知椭圆E:x29+y25=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l与E交于A,B两点,则下列说法正确的是( )
A.|AB|∈[103,6]
B.若|AF1|=2|BF1|,则|AB|=5
C.若直线l与y轴的交点P是线段AF1的中点,则△AOF1的面积为53
D.若直线l与y轴的交点P是线段AF1的中点,直线m与椭圆相切于点A,过点A且与直线m垂直的直线n与椭圆的长轴交于点Q,则|QF1|∶|QF2|=13∶5
14.(2025·江苏苏州期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知与双曲线C:x24−y23=1的渐近线不平行的直线l1与C有且仅有一个公共点T(4,3),直线l2∥OT且与C交于A,B两点,l1与l2交于点P,则|PA|·|PB||PT|2= .
参考答案
1.C 解析 由题知直线l恒过定点(0,-1),因为016+140,x≥a),∵|PA|-|PB|=2=2a,解得a=1,c=2,b=3,∴点P的轨迹的方程为x2-y23=1(x≥1).故选D.
5.B 解析 当直线l的斜率不存在时,由对称性可知l被椭圆截得线段AB的中点在x轴上,不合题意,所以直线l的斜率存在,故可设直线l的方程为y-2=k(x-4),代入椭圆方程x2+4y2=36化简得,(1+4k2)x2+(16k-32k2)x+64k2-64k-20=0,易知Δ>0,x1+x2=32k2-16k1+4k2=8,解得k=-12,所以直线l的方程为y-2=-12(x-4),即x+2y-8=0.故选B.
6.ACD 解析 因为A(-1,0),B(1,0),所以|AB|=2.对于A,因为||MA|-|MB||=10,即k2>12.设点A,B的横坐标分别为x1,x2,则x1x2>0,
x1+x2=8k2k2+1,x1x2=42k2+1.则S△OAB=|S△OAP-S△OBP|=12|OP|x1-12|OP|x2=12|OP||x1-x2|=2,即|x1-x2|=2,
所以(x1-x2)2=2,即(x1+x2)2-4x1x2=2,即(8k2k2+1)2-162k2+1=16(2k2-1)(2k2+1)2=2,解得k2=32,符合题意.
则|AB|=1+k2|x1-x2|=1+32×2=5.
9.C 解析 椭圆x24+y23=1的左焦点F1的坐标为(-1,0),则椭圆的右焦点F2的坐标为(1,0),由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=4,|BF1|+|BF2|=4,
所以△F1AB的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=4-|AF2|+4-|BF2|+|AB|=8+|AB|-|AF2|-|BF2|,
又|AF2|+|BF2|≥|AB|,所以|AF1|+|BF1|+|AB|≤8,当且仅当F2在线段AB上时等号成立,所以当直线AB过点F2时,△F1AB的周长最大,又直线AB的斜率为3,所以直线AB的方程为y=3(x-1),联立x24+y23=1,y=3(x-1),消去y可得5x2-8x=0,所以x1=0或x2=85,所以|AB|=1+k2|x2-x1|=1+(3)2×85-0=165,所以当△F1AB的周长最大时,|AB|=165.
故选C.
10.A 解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),
∵线段AB的中点为M(1,12),∴x1+x2=2,y1+y2=1.
∵PF∥l,∴kPF=kl=-bc=y1-y2x1-x2.
由x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,
两式相减得(x1+x2)(x1-x2)a2+(y1+y2)(y1-y2)b2=0,又x1-x2≠0,所以上式可化为y1-y2x1-x2=-b2a2·x1+x2y1+y2,得-bc=-2b2a2,即2bc=a2,两边平方得4b2c2=4c2(a2-c2)=a4,
化为4e4-4e2+1=0,解得e2=12,
又00,得m=1,故直线BC的方程为x=y+2,即x-y-2=0,则x1-y1=2,
由题意A(-x1,-y1),点A到直线BC的距离为d=|-x1+y1-2|2=42=22,则S△ABC=12|BC|×d=12×6×22=62.
12.(1)解 依题意,双曲线半焦距c=23,则a2+b2=12,12a2-16b2=1,解得a=2,b=22,所以双曲线C的方程为x24−y28=1.
(2)①证明 设M(x1,y1),N(x2,y2),直线MN:x=my+23,则D(233,y1),
由x=my+23,2x2-y2=8,消去x得(2m2-1)y2+83my+16=0,
则2m2-1≠0,Δ=64(m2+1)>0,y1+y2=-83m2m2-1,y1y2=162m2-1