2027届高三数学一轮复习试题规范练56直线与圆锥曲线的位置关系（Word版附解析）

这是一份2027届高三数学一轮复习试题规范练56直线与圆锥曲线的位置关系（Word版附解析），共5页。试卷主要包含了若直线l，已知椭圆C，过原点的一条直线与圆C等内容，欢迎下载使用。
(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)
基础巩固练
1.已知直线y=-x+1与椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)相交于A,B两点,若椭圆的离心率为22,焦距为2,则线段AB的长是( )
A.223B.423C.2D.2
2.(2025·江苏常州模拟)若直线l:y=kx(k>0)与双曲线C:y23−x24=1有两个不同的交点,则k的取值范围是( )
A.(0,32)B.(32,+∞)C.(0,233)D.(233,+∞)
3.(2025·北京通州模拟)已知F为抛物线y2=4x的焦点,过点F且倾斜角为π3的直线与抛物线交于A,B两点,则|AB|等于( )
A.16B.6C.163D.4
4.(2025·内蒙古包头模拟)直线l与双曲线x24-y2=1交于P,Q两点,线段PQ的中点为M(4,1),则直线l的方程为( )
A.y=x-3B.y=-x-3
C.y=x+5D.y=-x+5
5.(2023·全国乙,理11)设A,B为双曲线x2-y29=1上两点,下列四个点中,可以为线段AB中点的是( )
A.(1,1)B.(-1,2)C.(1,3)D.(-1,-4)
6.过双曲线x2-y2=2的左焦点作直线l,与双曲线交于A,B两点,若|AB|=4,则这样的直线l有( )
A.1条B.2条C.3条D.4条
7.(2025·河北金科大联考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)与直线y=12x+a相切,则椭圆C的离心率为( )
A.13B.12C.23D.23
8.(2023·新高考Ⅱ,5)已知椭圆C:x23+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x+m与C交于A,B两点,若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍,则m=( )
A.23B.23C.-23D.-23
9.(2023·天津,12)过原点的一条直线与圆C:(x+2)2+y2=3相切,交曲线y2=2px(p>0)于点P,若|OP|=8,则p的值为 .
10.(2025·陕西榆林模拟)若直线y=k(x+2)与抛物线y2=4x相切于第一象限的点P,则实数k= .
综合提升练
11.(多选题)(2023·新高考Ⅱ,10)设O为坐标原点,直线y=-3(x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则( )
A.p=2B.|MN|=83
C.以MN为直径的圆与l相切D.△OMN为等腰三角形
12.(多选题)(2024·新高考Ⅱ,10)抛物线C:y2=4x的准线为l,P为C上的动点,对P作☉A:x2+(y-4)2=1的一条切线,Q为切点,过点P作l的垂线,垂足为B,则( )
A.l与☉A相切B.当P,A,B三点共线时,|PQ|=15
C.当|PB|=2时,PA⊥ABD.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个
13.(多选题)(2025·全国1,10)已知抛物线C:y2=6x的焦点为F,过F的一条直线交C于A,B两点,过A作直线l:x=-32的垂线,垂足为D,过F且与直线AB垂直的直线交l于点E,则( )
A.|AD|=|AF|B.|AE|=|AB|C.|AB|≥6D.|AE|·|BE|≥18
14.(多选题)(2025·全国2,11)双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A1,A2,以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M,N两点,且∠NA1M=5π6,则( )
A.∠A1MA2=π6B.|MA1|=2|MA2|
C.C的离心率为13D.当a=2时,四边形NA1MA2的面积为83
15.(15分)(2024·新高考Ⅰ,16)已知A(0,3)和P(3,32)为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上两点.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)若过点P的直线l交椭圆C于另一点B,且△ABP的面积为9,求直线l的方程.
参考答案
课时规范练56 直线与圆锥曲线的位置关系
1.B 解析 由条件知c=1,e=ca=22,所以a=2,b=1,椭圆方程为x22+y2=1.联立直线方程与椭圆方程可得交点坐标为(0,1),(43,-13),所以|AB|=423.
2.B 解析 双曲线C:y23−x24=1的渐近线方程为y=±32x,直线l:y=kx(k>0)与双曲线C:y23−x24=1有两个不同的交点,又直线l过原点,则k>32,则k的取值范围是(32,+∞).故选B.
3.C 解析 由题意可得,抛物线的焦点F(1,0),由直线的倾斜角为π3,可知直线AB的斜率为3,故直线AB的方程为y=3(x-1).
设A(x1,y1),B(x2,y2),联立y=3(x-1),y2=4x,可得3x2-10x+3=0,解得x1=3,x2=13.
由抛物线的定义可知,|AB|=|AF|+|BF|=x1+1+x2+1=163.故选C.
4.A 解析 设P(x1,y1),Q(x2,y2),
因为线段PQ的中点为M(4,1),所以x1+x2=8,y1+y2=2.
又x124-y12=1,x224-y22=1,两式相减可得x124−x224=y12−y22,即(x1+x2)(x1-x2)4=(y1+y2)(y1-y2),所以y1+y2x1+x2·y1-y2x1-x2=14,即y1-y2x1-x2=1,所以直线l的斜率为1,所以直线l的方程为y-1=x-4,
即y=x-3,经检验符合题意.故选A.
5.D 解析 (方法1)依题意可设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为(x0,y0),根据选项中点与双曲线的位置关系可知,若为线段AB的中点,则直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx+m,与双曲线方程联立可得(9-k2)x2-2kmx-m2-9=0,则9-k2≠0,Δ=4k2m2+4(9-k2)(m2+9)>0,即k≠±3,且-k2+m2+9>0.由点A,B在双曲线上可得x12-y129=1,x22-y229=1,两式作差可得(x1+x2)(x1-x2)-(y1-y2)(y1+y2)9=0,整理得x1+x2y1+y2=19·y1-y2x1-x2,即9·x0y0=y1-y2x1-x2.对于A,直线AB的斜率为y1-y2x1-x2=9,则直线AB的方程为y-1=9(x-1),即y=9x-8,-k2+m2+9=-81+64+922,结合图形可知存在4条直线满足条件.
7.B 解析 联立x2a2+y2b2=1,y=12x+a,消去y后整理为(14a2+b2)x2+a3x+a4-a2b2=0,有Δ=a6-4(14a2+b2)·(a4-a2b2)=a4b2-4a4b2+4a2b4=-3a4b2+4a2b4=0,整理可得a2=43b2.
由c2=a2-b2=43b2-b2=13b2,有a2=4c2,可得e=ca=12.故选B.
8.C 解析 如图所示,椭圆x23+y2=1的左、右焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0),
设点F1,F2到直线y=x+m的距离分别为d1,d2,由点到直线的距离公式可知d1=|-2+m|2,d2=|2+m|2.
由x23+y2=1,y=x+m,消去y可得4x2+6mx+3m2-3=0.
∵y=x+m与椭圆C交于A,B两点,
∴Δ=36m2-16(3m2-3)>0,即-2