2027年高考数学一轮专题复习考点通关：课时规范练54 双曲线（含解析）

这是一份2027年高考数学一轮专题复习考点通关：课时规范练54 双曲线（含解析），共12页。试卷主要包含了已知双曲线C，设双曲线C，故选B等内容，欢迎下载使用。
考点一 双曲线的定义及其应用
1.已知双曲线C:x216−y29=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线C的右支上,则|PF2|-|PF1|=( )
A.-8B.8C.10D.-10
考点二 双曲线的标准方程
2.一条渐近线方程为2x+3y=0,且经过点(33,22)的双曲线的标准方程是( )
A.x29−y24=1
B.y24−x29=1
C.x24−y29=1
D.y29−x24=1
3.(2025·辽宁点石联考)已知A(-3,0),B(3,0),O为坐标原点,N是圆O:x2+y2=4上任意一点,M是圆O外一点,若∠AMN=∠BMN,MN⊥BN,则点M的轨迹方程为( )
A.y24−x25=1(x≠0)B.x24−y25=1(y≠0)
C.x24−y23=1(y≠0)D.y24−x23=1(x≠0)
考点三 双曲线的几何性质
4.(2025·北京,3)双曲线x2-4y2=4的离心率为( )
A.32B.52
C.54D.5
素能综合练
5.(2024·全国甲,理5)已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,-4),点(-6,4)在该双曲线上,则该双曲线的离心率为( )
A.4B.3
C.2D.2
6.已知双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,若左支上的两点A,B与左焦点F1三点共线,且△ABF2的周长为8,则|AB|=( )
A.2B.3
C.4D.6
7.(2025·广西柳州模拟)在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别是(-5,0),(5,0),直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是49,则点M的轨迹方程为( )
A.x225−9y2100=1(x≠±5)
B.x225−3y2100=1(x≠±5)
C.y225−3x2100=1(x≠±5)
D.y225−9x2100=1(x≠±5)
8.(2025·河南南阳模拟)已知双曲线C的中心为坐标原点,焦点在坐标轴上,且双曲线的渐近线方程为y=±3x,则双曲线C的离心率为( )
A.2B.3
C.3或322D.2或233
9.(2025·四川自贡模拟)双曲线y2-x2b2=1的离心率为5,则该双曲线的焦点到它的渐近线的距离为( )
A.1B.2C.5D.3
10.(2020·全国Ⅲ,理11)设双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为5.P是C上一点,且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4,则a=( )
A.1B.2
C.4D.8
11.(2025·江西八所重点中学联考)若双曲线C1:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线与圆C2:(x-2)2+y2=3有公共点,则双曲线C1的离心率的取值范围为( )
A.(0,233]B.(1,233]C.(0,2]D.(1,2]
12.(2025·安徽江淮十校模拟)设双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线的倾斜角分别为α,β,若α=3β,则双曲线C的离心率为 .
参考答案
课时规范练54 双曲线
1.A 解析 因为双曲线C的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线C的右支上,所以|PF2|-|PF1|=-2a=-8.
2.A 解析 由题意设双曲线的方程为4x2-9y2=λ,将点(33,22)代入双曲线方程得λ=4×(33)2-9×(22)2=36,所以双曲线的方程为4x2-9y2=36,即x29−y24=1.故选A.
3.B 解析 由题意知,圆O的半径r=2,延长BN交直线AM于点C,连接ON,
因为∠AMN=∠BMN,且MN⊥BN,所以|MB|=|MC|,且N为BC的中点.
所以ON∥AC,且|ON|=12|AC|.
因此,||MA|-|MB||=||MA|-|MC||=|AC|=2|ON|=40,b>0),可知2a=4,所以a=2.
又c=3,则b2=c2-a2=5,所以方程为x24−y25=1,即|x|≥2,又点M是圆O外一点,所以|x|>2,即|y|≠0,故所求轨迹方程为x24−y25=1(y≠0).故选B.
4.B 解析 由题意得双曲线的标准方程为x24-y2=1,∴a2=4,b2=1,c2=a2+b2=5,∴a=2,c=5,则e=ca=52.故选B.
5.C 解析 设点P(-6,4),F1(0,-4),F2(0,4),则e=|F1F2||PF1|-|PF2|=2.故选C.
6.A 解析 因为双曲线C:x2-y2=1,所以a=1.由双曲线的定义得|AF2|-|AF1|=2a=2,|BF2|-|BF1|=2a=2,两式相加得|AF2|+|BF2|-|AB|=4a=4.△ABF2的周长为8,即|AF2|+|BF2|+|AB|=8,两式相减得|AB|=2.
7.A 解析 设点M(x,y),由kAM·kBM=yx+5·yx-5=y2x2-25=49(x≠±5),可得4x2-9y2=100(x≠±5),即得点M的轨迹方程为x225−9y2100=1(x≠±5).故选A.
8.D 解析 由题意,双曲线的渐近线方程为y=±3x,当双曲线C的焦点在x轴上时,可得ba=3,所以e=ca=1+(ba) 2=4=2;当双曲线C的焦点在y轴上时,可得ba=13,所以e=ca=1+(ba) 2=1+13=233.
综上,双曲线C的离心率为2或233.故选D.
9.B 解析 在y2-x2b2=1中,a=1,故ca=c=5,故b2=c2-a2=5-1=4,故b=2,所以双曲线的焦点坐标为(0,±5),渐近线方程为y=±12x,即x±2y=0,所以该双曲线的焦点到它的渐近线的距离为|±25|1+4=2.故选B.
10.A 解析 不妨设点P在第一象限,设|PF1|=m,|PF2|=n,则m>n,依题意得,ca=5,12mn=4,m2+n2=4c2,m-n=2a,解得a=1.
11.D 解析 ∵双曲线的渐近线为bx±ay=0,且与圆(x-2)2+y2=3有公共点,
∴圆心到渐近线的距离不大于半径,即2ba2+b2≤3,∴b2≤3a2,∴b2=c2-a2≤3a2,∴10,b>0)的两条渐近线方程分别为y=±bax,若α=3β,则y=bax的倾斜角为β,y=-bax的倾斜角为α,即tan β=ba=c2-a2a2=e2-1=1,又e>1,所以可得e=2,则双曲线C的离心率为2.