2027年高考数学一轮复习 突破练习含答案 069-课时作业62 双曲线（教用）

这是一份2027年高考数学一轮复习 突破练习含答案 069-课时作业62 双曲线（教用），共13页。试卷主要包含了已知双曲线C，多选 已知双曲线C，过原点O的直线l与双曲线C等内容，欢迎下载使用。
基础达标练
单选题每小题3分，多选题每小题5分，填空题每小题3分，共35分.
1．（2025·福建泉州模拟）已知双曲线C:x2−y2m=1的一条渐近线的方程为2x−y=0，则m=（ ）
A. 4B. 2C. 12D. 14
【答案】A
【解析】双曲线C:x2−y2m=1的渐近线方程为x2−y2m=0,即mx±y=0，则由题意可得m=2，解得m=4.故选A.
2．已知A(−2,0),B(2,0)，若动点P满足|PA|−|PB|=2，则P的轨迹方程为（ ）
A. x2−y23=1B. x2−y23=1(x≤−1)
C. y23−x2=1D. x2−y23=1(x≥1)
【答案】D
【解析】∵A(−2,0),B(2,0)，动点P满足|PA|−|PB|=24”是“方程x24−m+y2m−2=1表示双曲线”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】方程x24−m+y2m−2=1表示双曲线，则(4−m)(m−2)4时，方程x24−m+y2m−2=1表示双曲线，所以“m>4”是“方程x24−m+y2m−2=1表示双曲线”的充分不必要条件.故选A.
4．已知双曲线经过点A(−7,−62)，B(27,3)，则其标准方程为（ ）
A. x225−y275=1B. x275−y225=1
C. y225−x275=1D. x225−y275=1或y275−x225=1
【答案】A
【解析】设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn0,b>0)，取A1(−a,0)，A2(a,0)，B(0,b)，
因为△A1A2B为直角三角形，且|BA1|=|BA2|，所以∠A1BA2=π2，所以∠OBA2=π4，则|OB|=|OA2|，所以a=b，即C的离心率e=ca=1+b2a2=2.故选A.
6．（2025·广东广州三模）已知双曲线C：x29−y2b2=1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作双曲线C其中一条渐近线的垂线，垂足为A，直线AF2交另一渐近线于点B，若|AB|=b，则双曲线C的焦距为（ ）
A. 32B. 62C. 6D. 12
【答案】D
【解析】如图所示，∵F2到渐近线的距离为b，且|AB|=b,OA⊥BF2,∴△BOF2为等腰三角形，∴∠F2OA=∠BOA,又∠F1OB=∠F2OA，∴∠F2OA=60∘ ，故tan∠F2OA=ba=3,又a=3,∴b=33，c=6，∴ 焦距为12.故选D.
7．多选 已知双曲线C:5y2−4x2=20，则C的（ ）
A. 焦点在y轴上B. 焦距为3
C. 离心率为32D. 渐近线方程为y=±52x
【答案】AC
【解析】由题知双曲线C的标准方程为y24−x25=1，故焦点在y轴上，a2=4,b2=5,c2=a2+b2=9，故焦距为2c=6，离心率为ca=32，渐近线方程为y=±255x，故A，C正确，B，D错误.故选AC.
8．如图1，这是一个落地青花瓷花瓶，其底座和瓶口的直径相等，其外形被称为单叶双曲面，可以看成由双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0，如图2)的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为40cm，最大直径为60cm，双曲线的离心率为6，则该花瓶的高为（ ）
图1图2
A. 90cmB. 100cmC. 110cmD. 120cm
【答案】B
【解析】由该花瓶横截面圆的最小直径为40cm，得a=20，又由双曲线的离心率为6，得c=206,则b=205，所以双曲线的方程为x2400−y22000=1，将x=30代入，可得y=±50，故该花瓶的高为100cm.故选B.
9．（2025·河北秦皇岛模拟）过原点O的直线l与双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)交于A,B两点，D为C的右顶点，直线DA与直线DB的斜率之积为3，则C的渐近线方程为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】y=±3x
【解析】如图，设双曲线的左顶点为E，连接AE,BE，由直线l过原点O，得四边形BDAE为平行四边形，则AE//BD，设点A(m,n)，则kDA⋅kDB=kDA⋅kAE=nm−a⋅nm+a=n2m2−a2=3①，
由m2a2−n2b2=1，得n2=b2(m2a2−1)，将其代入①式，化简可得b2a2=3，则ba=3，故C的渐近线方程为y=±3x.
10．（2025·广东佛山三模）圆锥曲线都有各自的光学性质.在双曲线中，从一个焦点发出的光线经过双曲线反射后，反射光线会散开，但反射光线的反向延长线会经过双曲线的另一个焦点.已知双曲线C的方程为x2−y23=1，一束光线从C的右焦点F射出，经过C反射后到达点Q(6,6)，则光线从F到Q所经过的路径长为_ _ _ _ .
【答案】8
【解析】设光线与双曲线C的交点为P，双曲线C的左焦点为F′,则F′(−2,0).由题意知，F′,P,Q三点共线，
故路径长为|FP|+|PQ|=|F′P|−2+|PQ|=|F′Q|−2=10−2=8.
11．（2025·安徽蚌埠三模）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，点P(1,2)在双曲线C的渐近线上，且PF1⊥PF2，则双曲线C的标准方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】x2−y24=1
【解析】易知双曲线C:x2a2−y2b2=1的渐近线方程为y=±bax,将P点坐标代入y=bax得,ba=2,即b=2a.由PF1⊥PF2,得PF1⋅PF2=0，即(−c−1)⋅(c−1)+(−2)×(−2)=0,解得c2=5,又c2=a2+b2=5a2,所以a2=1,则b2=4,故双曲线的标准方程为x2−y24=1.
能力强化练
多选题每小题5分，填空题每小题5分，共20分.
12．（2025·江西新余模拟）多选 已知F1,F2分别是双曲线C:x2a2−y23=1(a>0)的左、右焦点，M是该双曲线右支上一点，N在线段F1M上，ON=12(OF1+OM),NF1⋅NO=0，离心率为72，则（ ）
A. 实轴长为4B. |NF1|−|NO|=1
C. △F1MF2的面积为3D. |MF1|+|MF2|=210
【答案】ACD
【解析】由题意知，e=ca=a2+3a=72，解得a=2，所以实轴长为4，故A正确；
因为ON=12(OF1+OM)，所以N是线段F1M的中点，因为O是线段F1F2的中点，所以ON//F2M,|ON|=12|MF2|，由双曲线的定义知，|MF1|−|MF2|=2a=4，所以|NF1|−|NO|=12(|MF1|−|MF2|)=2，故B错误；
因为NF1⋅NO=0，所以NF1⊥ON，所以MF1⊥MF2，所以|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2=4c2=28，所以(|MF1|−|MF2|)2=|MF1|2+|MF2|2−2|MF1||MF2|=28−2|MF1||MF2|=16，所以|MF1||MF2|=6，所以△F1MF2的面积为12|MF1||MF2|=3，故C正确；
(|MF1|+|MF2|)2=|MF1|2+|MF2|2+2|MF1||MF2|=28+12=40，所以|MF1|+|MF2|=210，故D正确.故选ACD.
13．（2025·山东青岛模拟）多选 已知双曲线E:x2a2−y23=1(a>0)的渐近线与圆C:x2+(y−2)2=1相切，F1，F2分别为E的左、右焦点，动点P在E的左支上，则（ ）
A. a=2
B. △CF1F2为直角三角形
C. △CF2P的周长的最小值为42+2
D. |CP|的最小值为2
【答案】BC
【解析】双曲线E:x2a2−y23=1(a>0)的渐近线方程为y=±3ax，即3x±ay=0，由圆C:x2+(y−2)2=1，得圆心为C(0,2)，半径r=1，因为渐近线与圆C相切，所以|2a|3+a2=1，所以a=1，故A错误；
因为b2=3，所以c2=a2+b2=4，即c=2，所以F1(−2,0),F2(2,0)，则|CF1|=|CF2|=22,|F1F2|=4，则|CF1|2+|CF2|2=|F1F2|2，即CF1⊥CF2，所以△CF1F2为直角三角形，故B正确；
△CF2P的周长为|CF2|+|PC|+|PF2|=22+|PC|+2a+|PF1|=22+2+|PC|+|PF1|≥22+2+|CF1|=42+2，当且仅当P,C,F1三点共线时等号成立，则△CF2P的周长的最小值为42+2，故C正确；
设P(x0,y0)，x0≤−1，y0∈R，则x02−y023=1，即x02=1+y023，所以|CP|=x02+(y0−2)2=1+y023+y02−4y0+4=43(y0−32)2+2，则当y0=32时，|CP|取得最小值，为2，故D错误.故选BC.
14．（2025·福建泉州模拟）已知F1,F2分别为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，直线l过F1与C交于A,B两点，若|AB|=|BF2|，3F2F1=F2A+2F2B，则C的离心率为_ _ _ _ _ _ .
【答案】213
【解析】由3F2F1=F2A+2F2B，得F2A−F2F1=2F2F1−2F2B⇒F1A=2BF1.
设|BF1|=t，则|AF1|=2t，|BF2|=2a+t，|AF2|=2a+2t.又|AB|=|BF2|，所以t=a，故|BF1|=a，|AF1|=2a，|BF2|=3a，|AF2|=4a.由cs∠BF1F2=−cs∠AF1F2，得a2+4c2−9a22⋅a⋅2c=−4a2+4c2−16a22⋅2a⋅2c，得c2a2=73，即离心率e=213.
15．如图，双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，点A在C的渐近线上，点A关于x轴对称的点为B,OA⋅AF=0(O为坐标原点)，记四边形OAFB的面积为S1，四边形OAFB的外接圆M的面积为S2，则S1S2的最大值为_ _ _ _ _ _ ，S1S2最大时双曲线的离心率为_ _ _ _ .
【答案】2π； 2
【解析】由题意可知,F(c,0)，渐近线OA:y=bax，即bx−ay=0，
则点F(c,0)到渐近线OA的距离d=bca2+b2=b，
因为OA⋅AF=0，
所以OA⊥AF，
则|AF|=b，
可得|OA|=|OF|2−|AF|2=a，
则S1=2S△OAF=2×12ab=ab，
易知四边形OAFB的外接圆M是以OF为直径的圆，
则S2=π(c2)2=πc24，
可得S1S2=abπc24=2π⋅2abc2≤2π⋅a2+b2c2=2π⋅c2c2=2π，当且仅当a=b时，等号成立，
则S1S2的最大值为2π，此时双曲线的离心率e=ca=c2a2=1+(ba)2=2.
思维创新练
16．（5分）将函数y=2x+1x的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于x轴上的双曲线C，则它的离心率是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】10−45
【解析】当x→0时，2x→0；当x→+∞ 时，1x→0，则y=2x+1x图象的两条渐近线方程分别为y=2x，x=0，所以该双曲线的焦点在直线y=2x与直线x=0的夹角的平分线（记为l）上，设l:y=kx(k>2)，α ，β 分别是直线y=kx，直线y=2x的倾斜角，
故tanα=k，tanβ=2，故α−β 为双曲线旋转后其中一条渐近线的倾斜角，
由tan(α−β)=tan(π2−α)=1tanα，
即tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ=k−21+2k=1k，
整理得k2−4k−1=0，解得k=2+5或k=2−5（舍去），
所以绕原点顺时针旋转得到的焦点位于x轴上的双曲线C的一条渐近线的斜率为ba=1k=12+5=5−2，故e=1+b2a2=1+(9−45)=10−45.