2027届高三数学一轮复习试题规范练54双曲线（Word版附解析）

这是一份2027届高三数学一轮复习试题规范练54双曲线（Word版附解析），共5页。试卷主要包含了已知双曲线C，设双曲线C，若双曲线C1，∴2a=c,则e=ca=2等内容，欢迎下载使用。
(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)
基础巩固练
1.已知双曲线C:x216−y29=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线C的右支上,则|PF2|-|PF1|=( )
A.-8B.8
C.10D.-10
2.(2025·北京,3)双曲线x2-4y2=4的离心率为( )
A.32B.52
C.54D.5
3.(2024·全国甲,理5)已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,-4),点(-6,4)在该双曲线上,则该双曲线的离心率为( )
A.4B.3
C.2D.2
4.已知双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,若左支上的两点A,B与左焦点F1三点共线,且△ABF2的周长为8,则|AB|=( )
A.2B.3
C.4D.6
5.(2025·广西柳州模拟)在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别是(-5,0),(5,0),直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是49,则点M的轨迹方程为( )
A.x225−9y2100=1(x≠±5)B.x225−3y2100=1(x≠±5)
C.y225−3x2100=1(x≠±5)D.y225−9x2100=1(x≠±5)
6.(2025·河南南阳模拟)已知双曲线C的中心为坐标原点,焦点在坐标轴上,且双曲线的渐近线方程为y=±3x,则双曲线C的离心率为( )
A.2B.3
C.3或322D.2或233
7.(2025·四川自贡模拟)双曲线y2-x2b2=1的离心率为5,则该双曲线的焦点到它的渐近线的距离为( )
A.1B.2
C.5D.3
8.(2020·全国Ⅲ,理11)设双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为5.P是C上一点,且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4,则a=( )
A.1B.2C.4D.8
9.(2025·江西八所重点中学联考)若双曲线C1:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线与圆C2:(x-2)2+y2=3有公共点,则双曲线C1的离心率的取值范围为( )
A.(0,233]B.(1,233]C.(0,2]D.(1,2]
10.(2025·安徽江淮十校模拟)设双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线的倾斜角分别为α,β,若α=3β,则双曲线C的离心率为 .
综合提升练
11.(2026·浙江宁波高三上学期高考模拟)双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是以F1F2为直径的圆与双曲线E的一个交点,若|PF1|+|PF2|=54|F1F2|,则双曲线E的离心率为( )
A.3916B.394C.167D.477
12.(2025·天津,9)已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F2为焦点的抛物线y2=2px(p>0)与双曲线在第一象限的交点为P.若|PF1|+|PF2|=3|F1F2|,则双曲线的离心率为( )
A.2B.5C.2+12D.5+12
13.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.过点F2作直线l与双曲线C的右支交于A,B两点.若△F1AB的周长为10b,则双曲线C的离心率的取值范围是( )
A.[52,5]B.[32,3]C.[12,2]D.[2,+∞)
14.(多选题)已知点P在双曲线C:x216−y29=1上,F1,F2分别是双曲线C的左、右焦点,若△PF1F2的面积为20,则下列说法正确的有( )
A.点P到x轴的距离为203B.|PF1|+|PF2|=503
C.△PF1F2为钝角三角形D.∠F1PF2=π3
15.P为双曲线x2-y215=1右支上一点,M,N分别是圆(x+4)2+y2=4和(x-4)2+y2=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为 .
16.(2023·新高考Ⅰ,16)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点A在C上,点B在y轴上,F1A⊥F1B,F2A=-23F2B,则C的离心率为 .
参考答案
课时规范练54 双曲线
1.A 解析 因为双曲线C的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线C的右支上,所以|PF2|-|PF1|=-2a=-8.
2.B 解析 由题意得双曲线的标准方程为x24-y2=1,∴a2=4,b2=1,c2=a2+b2=5,∴a=2,c=5,则e=ca=52.故选B.
3.C 解析 设点P(-6,4),F1(0,-4),F2(0,4),则e=|F1F2||PF1|-|PF2|=2.故选C.
4.A 解析 因为双曲线C:x2-y2=1,所以a=1.由双曲线的定义得|AF2|-|AF1|=2a=2,|BF2|-|BF1|=2a=2,两式相加得|AF2|+|BF2|-|AB|=4a=4.△ABF2的周长为8,即|AF2|+|BF2|+|AB|=8,两式相减得|AB|=2.
5.A 解析 设点M(x,y),由kAM·kBM=yx+5·yx-5=y2x2-25=49(x≠±5),可得4x2-9y2=100(x≠±5),即得点M的轨迹方程为x225−9y2100=1(x≠±5).故选A.
6.D 解析 由题意,双曲线的渐近线方程为y=±3x,当双曲线C的焦点在x轴上时,可得ba=3,所以e=ca=1+(ba) 2=4=2;当双曲线C的焦点在y轴上时,可得ba=13,所以e=ca=1+(ba) 2=1+13=233.
综上,双曲线C的离心率为2或233.故选D.
7.B 解析 在y2-x2b2=1中,a=1,故ca=c=5,故b2=c2-a2=5-1=4,故b=2,所以双曲线的焦点坐标为(0,±5),渐近线方程为y=±12x,即x±2y=0,所以该双曲线的焦点到它的渐近线的距离为|±25|1+4=2.故选B.
8.A 解析 不妨设点P在第一象限,设|PF1|=m,|PF2|=n,则m>n,依题意得,ca=5,12mn=4,m2+n2=4c2,m-n=2a,解得a=1.
9.D 解析 ∵双曲线的渐近线为bx±ay=0,且与圆(x-2)2+y2=3有公共点,
∴圆心到渐近线的距离不大于半径,即2ba2+b2≤3,∴b2≤3a2,∴b2=c2-a2≤3a2,∴10,b>0)的两条渐近线方程分别为y=±bax,若α=3β,则y=bax的倾斜角为β,y=-bax的倾斜角为α,即tan β=ba=c2-a2a2=e2-1=1,又e>1,所以可得e=2,则双曲线C的离心率为2.
11.D 解析 如图,不妨令点P在y轴右侧,则|PF1|-|PF2|=2a.
因为|PF1|+|PF2|=54|F1F2|=52c,所以|PF1|=54c+a,|PF2|=54c-a.
因为点P在以F1F2为直径的圆上,所以△PF1F2是直角三角形,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,
即(54c+a)2+(54c-a)2=4c2,化简得a2=716c2,所以离心率e=ca=477.故选D.
12.A 解析 由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2a,而|PF1|+|PF2|=3|F1F2|=6c,
∴|PF1|=a+3c,|PF2|=3c-a.又p2=c,∴p=2c,即y2=4cx.
如图,设P(x0,y0),过点P作PH垂直于准线x=-p2,H为垂足.
由抛物线定义得|PF2|=x0+c=3c-a,∴x0=2c-a.
又|PH|=|PF2|,|PH|2+y02=|PF1|2,∴|PF2|2+y02=|PF1|2,∴y0=|PF1|2-|PF2|2=12ac.代入方程y2=4cx,得12ac=4c(2c-a).∴2a=c,则e=ca=2.故选A.
13.A 解析 由双曲线的定义可得|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|=2a,两式相加可得|AF1|+|BF1|=4a+|AB|,则△F1AB的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=4a+2|AB|=10b,即|AB|=5b-2a.由|AB|≥2b2a,可得5ab-2a2≥2b2,解得12≤ba≤2.故e=ca=1+(ba) 2∈[52,5].故选A.
14.BC 解析 设点P(xP,yP).因为双曲线C:x216−y29=1,所以c=16+9=5.又S△PF1F2=12×2c|yP|=12×10×|yP|=20,所以|yP|=4,故A错误.将|yP|=4代入x216−y29=1得xP216−429=1,得|xP|=203.由双曲线的对称性,不妨取点P的坐标为(203,4),得|PF2|=(203-5) 2+42=133.由双曲线的定义得|PF1|=|PF2|+2a=133+8=373,所以|PF1|+|PF2|=373+133=503,故B正确.在△PF1F2中,|PF1|=373>2c=10>|PF2|=133,且cs∠PF2F1=|PF2|2+|F1F2|2-|PF1|22|PF2||F1F2|=-513