2027年高考数学一轮复习考点课时巩固练52　双曲线（含答案解析）

这是一份2027年高考数学一轮复习考点课时巩固练52　双曲线（含答案解析），共8页。试卷主要包含了若双曲线C，已知双曲线C，已知点P在双曲线C，已知F1,F2分别是双曲线W等内容，欢迎下载使用。
(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)
基础 巩固练
1.(2025·八省联考)双曲线x2-y29=1的渐近线方程为( )
A.y=±x
B.y=±2x
C.y=±3x
D.y=±4x
2.(2025·辽宁丹东期末)双曲线x24−y212=1的顶点到其渐近线的距离为( )
A.3B.23
C.2D.1
3.(2025·福建厦门一模)已知等轴双曲线C的焦点到其渐近线的距离为1,则C的焦距为( )
A.2B.2
C.22D.4
4.(2025·河南焦作三模)若双曲线C:x216−y29=1上的点A到点(5,0)的距离为4,则点A到点(-5,0)的距离为( )
A.14B.12
C.10D.8
5.(2025·深圳一调)已知双曲线E的中心为原点,焦点在x轴上,两条渐近线夹角为60°,且点(1,1)在E上,则E的离心率为( )
A.3B.233
C.2D.233或2
6.(多选题)(2025·河北邢台一模)已知双曲线C:x2a2−y23a2=1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若|F1F2|=2e(e为C的离心率),则( )
A.a=1
B.C的虚轴长为23
C.e=2
D.C的一条渐近线的斜率为33
7.(2025·广东佛山二模)焦点分别为(-2,0),(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为 .
8.(2025·广东汕头一模)过双曲线x23−y26=1的右焦点作倾斜角为30°的直线l,直线l与双曲线交于不同的两点A,B,则AB的长为 .
综 合 提升练
9.(2025·广东广州一模)已知点P在双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上,且点P到C的两条渐近线的距离之积等于a22,则C的离心率为( )
A.3B.2
C.3D.2
10.(多选题)(2025·河北承德期末)已知F1,F2分别是双曲线W:y2a2−x29=1(a>0)的上、下焦点,过F1的直线l与双曲线W的上支交于A,B两点,AB的长等于实轴长的2倍,且AB⊥AF2,则( )
A.W的焦距为43
B.W的渐近线方程为y=±33x
C.|AF2|=|BF1|=36
D.△ABF2的周长为126
11.(2025·江西鹰潭二模)已知双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点M在E的左支上,过点M作E的一条渐近线的垂线,垂足为N,则当|MF2|+|MN|取最小值12时,△F1NF2面积的最大值为 .
12.(2025·江苏苏锡常镇二模)在平面直角坐标系xOy中,双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,焦距为43.若C和抛物线y2=x交于A,B两点,且△OAB为等边三角形,则C的离心率为 .
13.(15分)(2026·江苏南京高三模拟)已知双曲线C:x2-y2=a2(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=4.过F2的直线l与C交于A,B两点.
(1)求C的方程;
(2)若A,B均在C的右支上(A在第一象限),且△ABF1的周长为162,求l的方程.
创 新 应用练
14.(多选题)(2025·全国2,11)双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A1,A2,以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M,N两点,且∠NA1M=5π6,则( )
A.∠A1MA2=π6
B.|MA1|=2|MA2|
C.C的离心率为13
D.当a=2时,四边形NA1MA2的面积为83
15.(2025·河南郑州质检)设F1,F2分别为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F2且斜率为-34的直线l与C的右支交于点A,与C的左支交于点B,点D满足BD=12BA,BD·F1D=0,则双曲线C的离心率为 .
参考答案
1.C
2.A 解析 由x24−y212=1,可得其渐近线方程为y=±3x,顶点坐标为(±2,0),由对称性,取顶点(2,0),渐近线3x+y=0,由距离公式可得顶点到其渐近线的距离为232=3.故选A.
3.C 解析 设等轴双曲线的焦距为2c,其中一个焦点坐标为(c,0),渐近线方程为y=bax.因为焦点到其渐近线的距离为bca1+(ba) 2=b=1,又因为a=b,所以c=2,则双曲线的焦距为22.故选C.
4.B 解析 由题意可知,a2=16,b2=9,则c2=25,则双曲线C的左、右焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),由双曲线的定义知|AF2|-|AF1|=8或|AF1|-|AF2|=8,且|AF2|=4,故|AF1|=12.
5.C 解析 由题意,设双曲线E的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0).因为两渐近线的夹角为60°,所以ba=33或ba=3.又点(1,1)在E上,所以1a2−1b2=1,所以b2>a2,所以ba=3,所以e=ca=1+b2a2=2.
6.AB 解析 由C:x2a2−y23a2=1(a>0),知F1(-2a,0),F2(2a,0),e=2aa=2,由|F1F2|=2e,得4a=4,即a=1,3a2=3,所以C的虚轴长为23,故A,B正确,C错误;由C的渐近线方程为y=±3x,得两条渐近线的斜率分别为3,-3,故D错误.故选AB.
7.x2-y23=1 解析 由题意得c2=4,可设双曲线的标准方程为x2a2−y24-a2=1,将点(2,3)代入方程可得22a2−324-a2=1,解得a2=1或a2=16(舍去),从而b2=4-a2=3,所以双曲线的标准方程为x2-y23=1.
8.1635 解析 设双曲线x23−y26=1的右焦点为F2,由题意知F2(3,0),所以直线l的方程为y=33(x-3).由x23-y26=1,y=33(x-3),得5x2+6x-27=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-65,x1x2=-275,所以|AB|=(1+13)[(x1+x2)2-4x1x2]=1+13×(-65) 2-4×(-275)=1635.
9.D 解析 设点P(x0,y0),则x02a2−y02b2=1,即b2x02-a2y02=a2b2.双曲线C的两条渐近线方程分别为bx+ay=0,bx-ay=0,则点P到C的两条渐近线的距离之积为d1·d2=|bx0+ay0|a2+b2·|bx0-ay0|a2+b2=|b2x02-a2y02|a2+b2=a2b2a2+b2,由题得a2b2a2+b2=a22,所以a2=b2,则C的离心率e=ca=1+b2a2=2.故选D.
10.CD 解析 由题意得|AB|=2×2a=4a,由双曲线定义得|AF2|-|AF1|=2a,|BF2|-|BF1|=2a,所以|AF2|+|BF2|=|AF1|+2a+|BF1|+2a=|AB|+4a=8a.
由AB⊥AF2,得|AF2|2+|AB|2=|BF2|2,即|BF2|2−|AF2|2=16a2.
由|AF2|+|BF2|=8a,|BF2|2-|AF2|2=16a2,
解得|AF2|=3a,|BF2|=5a,
所以|AF1|=a.
由|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,得4c2=4a2+36=10a2,得a=6,c=15,所以W的焦距为2c=215,渐近线方程为y=±62x,|AF2|=|BF1|=36,故A,B错误,C正确;
又△ABF2的周长为4a+8a=12a=126,故D正确.
故选CD.
11.18 解析 由题意得|MF2|-|MF1|=2a,故|MF2|=|MF1|+2a,如图,点F1(-c,0)到渐近线bx+ay=0的距离|F1N|=bcc=b,则|MF2|+|MN|=|MF1|+2a+|MN|≥|F1N|+2a≥b+2a,
当且仅当M,F1,N三点共线时等号成立,所以|MF2|+|MN|的最小值为b+2a=12,所以12≥22ab,即ab≤18,当且仅当b=6,a=3时等号成立,又|OF1|=c,故|ON|=c2-b2=a,所以S△F1NF2=2S△F1NO=2×12×|NF1|×|NO|=ab≤18,即△F1NF2面积的最大值为18.
12.2 解析 由对称性知A,B关于x轴对称,不妨设点A在第一象限,△AOB为等边三角形,如图,由等边三角形的对称性可知A,B为y=±33x与抛物线的交点,联立y=33x,y2=x,得x=3或x=0(舍去),当x=3时,y=3,故A(3,3).设双曲线C的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),则2c=43,解得c=23,又(3,±3)在双曲线上,所以9a2-3b2=1,a2=12-b2,所以a2=6,b2=6,故离心率为e=ca=236=2.
13.解 (1)因为|F1F2|=4⇒2c=4,所以c=2,
又c2=2a2,所以a2=2.
所以双曲线C的方程为x2-y2=2.
(2)因为A,B均在C的右支上,且△ABF1的周长为162,所以|AB|+|AF1|+|BF1|=162⇒|AB|+|AF2|+22+|BF2|+22=162⇒|AB|=62.
如图.
因为F2(2,0),设直线l:x=ty+2,代入x2-y2=2得(ty+2)2-y2=2,
整理得(t2-1)y2+4ty+2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),因为A,B均在C的右支上,所以t2-1≠0,且y1y2=2t2-1