2027年高考数学一轮专题复习考点通关：课时规范练51 圆的方程（含解析）

这是一份2027年高考数学一轮专题复习考点通关：课时规范练51 圆的方程（含解析），共12页。试卷主要包含了若△PAB是圆C，已知圆C，圆心为且与x轴相切的圆的方程是等内容，欢迎下载使用。
考点一 求圆的方程
1.(2022·全国甲,文14)设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,则☉M的方程为 .
考点二 与圆有关的轨迹问题
2.若△PAB是圆C:(x-2)2+(y-2)2=4的内接三角形,且|PA|=|PB|,∠APB=120°,则AB的中点D的轨迹方程为( )
A.x2+y2=1
B.(x-2)2+(y-2)2=2
C.(x-2)2+(y-2)2=3
D.(x-2)2+(y-2)2=1
3.已知圆C:x2+y2+6x-4y+9=0,A是圆C上一动点,点B(3,0),M为线段AB的中点,则动点M的轨迹方程为( )
A.x2+(y-1)2=4B.x2+(y-2)2=1
C.x2+(y-1)2=1D.(x-1)2+y2=1
4.已知A(-3,0),B(3,0),动点C(x,y)满足|CA|=2|CB|,则点C的轨迹方程为 .
考点三 与圆有关的最值问题
5.(2023·全国乙,文11)已知x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大值是( )
A.1+322B.4C.1+32D.7
6.在平面直角坐标系中,已知(x1-2)2+y12=5,x2-2y2+4=0,则(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值为( )
A.55B.15C.1215D.1155
素能综合练
7.若方程x2+y2+2y+2a-1=0表示圆,则实数a的取值范围为( )
A.(-∞,1)B.(1,+∞)
C.(-∞,0]D.(0,+∞)
8.(2025·北京海淀模拟)圆心为(-1,2)且与x轴相切的圆的方程是( )
A.(x-1)2+(y+2)2=2
B.(x+1)2+(y-2)2=2
C.(x-1)2+(y+2)2=4
D.(x+1)2+(y-2)2=4
9.(2024·北京,3)圆x2+y2-2x+6y=0的圆心到x-y+2=0的距离为( )
A.2B.2C.3D.32
10.已知三点A(1,0),B(0,3),C(2,3),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( )
A.53B.213C.253D.43
11.已知PA是圆C:x2+(y-1)2=1的切线,A为切点,若|PA|=2,则点P的轨迹方程是( )
A.(x-1)2+y2=5
B.x2+(y-1)2=5
C.y2=2x
D.x2=2y
12.(2020·北京,5)已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为( )
A.4B.5
C.6D.7
13.(多选题)已知圆M的标准方程为(x-4)2+(y+3)2=25,则下列说法正确的有( )
A.圆M的圆心为(4,-3)
B.点(1,0)在圆内
C.圆M的半径为5
D.点(-3,1)在圆内
14.如果圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0,那么当圆的面积最大时,圆心坐标为 ,圆的面积的最大值为 .
15.已知△ABC的三个顶点分别是点A(2,0),B(4,0),C(3,2+1),记△ABC的外接圆为圆M,则圆M关于原点对称的圆的标准方程为 .
16.已知等腰三角形ABC,其中顶点A的坐标为(0,0),底边的一个端点B的坐标为(1,1),则另一个端点C的轨迹方程为 .
参考答案
课时规范练51 圆的方程
1.(x-1)2+(y+1)2=5 解析 (方法1)设A(3,0),B(0,1),则线段AB的垂直平分线方程为y-12=3(x-32),即y=3x-4.由y=3x-4,2x+y-1=0,解得x=1,y=-1,
即圆心M的坐标为(1,-1).
设☉M的半径为r,则r2=(3-1)2+12=5.故所求☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.
(方法2)设圆心M(a,1-2a),☉M的半径为r,则r2=(a-3)2+(1-2a)2=(a-0)2+(1-2a-1)2,整理可得-10a+10=0,即a=1.则圆心M(1,-1),故所求☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.
2.D 解析 由题意,|PA|=|PB|,∠APB=120°,∴∠ACB=120°.
∵|CB|=2,∴|CD|=1,∴线段AB的中点的轨迹是以C为圆心,1为半径的圆,∴线段AB的中点的轨迹方程是(x-2)2+(y-2)2=1.故选D.
3.C 解析 设M(x,y),∵M为线段AB的中点,B(3,0),∴A(2x-3,2y),而A是圆C上一动点,故(2x-3)2+4y2+6(2x-3)-8y+9=0,整理得x2+y2-2y=0,即x2+(y-1)2=1,故动点M的轨迹方程为x2+(y-1)2=1.故选C.
4.(x-5)2+y2=16 解析 |CA|=(x+3)2+y2,|CB|=(x-3)2+y2,
由题意得(x+3)2+y2=2(x-3)2+y2,
所以(x+3)2+y2=4[(x-3)2+y2],
整理可得x2+y2-10x+9=0,
即(x-5)2+y2=16.
5.C 解析 (方法1)由x2+y2-4x-2y-4=0,得(x-2)2+(y-1)2=9,该方程表示圆心为(2,1),半径为3的圆.设x-y=u,则x-y-u=0,且由题意知直线x-y-u=0与圆(x-2)2+(y-1)2=9有公共点,则|1-u|2≤3,解得1-32≤u≤1+32,所以x-y的最大值为1+32.
(方法2)由x2+y2-4x-2y-4=0,整理得(x-2)2+(y-1)2=9,令x=3cs θ+2,y=3sin θ+1,其中θ∈[0,2π],则x-y=3cs θ-3sin θ+1=32cs(θ+π4)+1.因为θ∈[0,2π],所以θ+π4∈[π4,9π4],则当θ+π4=2π,即θ=7π4时,x-y取得最大值32+1.
(方法3)令x-y=k,则x=k+y,代入原式化简得2y2+(2k-6)y+k2-4k-4=0,因为存在实数y,所以Δ≥0,即(2k-6)2-4×2(k2-4k-4)≥0,化简得k2-2k-17≤0,解得1-32≤k≤1+32,故x-y的最大值是32+1.
6.B 解析 由已知得点(x1,y1)在圆(x-2)2+y2=5上,点(x2,y2)在直线x-2y+4=0上,故(x1-x2)2+(y1-y2)2表示圆(x-2)2+y2=5上的点到直线x-2y+4=0上点的距离的平方,而距离的最小值为|2+4|1+4−5=55,故(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值为15.
7.A 解析 由题意22-4(2a-1)>0,解得a0,易得当k=0时,r最大,此时圆的面积最大,圆的方程即可化为x2+(y+1)2=1,所以圆心坐标为(0,-1),半径r=1,圆的面积最大值为π.
15.(x+3)2+(y+1)2=2 解析 设圆M的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,代入A,B,C三点的坐标得
(2-a)2+(0-b)2=r2,(4-a)2+(0-b)2=r2,(3-a)2+(2+1-b)2=r2,解得a=3,b=1,r2=2,
故圆M的标准方程为(x-3)2+(y-1)2=2.
圆M的圆心(3,1)关于原点对称的点为(-3,-1),
故所求圆的标准方程为(x+3)2+(y+1)2=2.
16.x2+y2=2(除去点(1,1)和点(-1,-1)) 解析 设C(x,y),根据在等腰三角形ABC中|AB|=|AC|,可得(x-0)2+(y-0)2=(1-0)2+(1-0)2,即x2+y2=2.考虑到A,B,C三点要构成三角形,因此点C的坐标不能为(1,1)和(-1,-1).所以点C的轨迹方程为x2+y2=2(除去点(1,1)和点(-1,-1)).