2022高考数学一轮复习课时规范练46双曲线（含解析）

课时规范练46　双曲线

基础巩固组

1.(2020山东济南三模,6)已知双曲线C的方程为=1,则下列说法错误的是(　　)

A.双曲线C的实轴长为8

B.双曲线C的渐近线方程为y=±x

C.双曲线C的焦点到渐近线的距离为3

D.双曲线C上的点到焦点距离的最小值为

2.设双曲线C:=1(m>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与双曲线C交于M,N两点,其中M在左支上,N在右支上.若∠F2MN=∠F2NM,则|MN|=              (　　)

A.8 B.8 C.4 D.4

3.(2019全国3,理10)双曲线C:=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点.若|PO|=|PF|,则△PFO的面积为(　　)

A. B. C.2 D.3

4.(2020全国3,理11)设双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为.P是C上一点,且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4,则a=(　　)

A.1 B.2 C.4 D.8

5.(2020陕西安康高新中学检测)设F1,F2分别为双曲线C:=1(a>b>0)的左、右焦点,A为C的左顶点,以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M,N两点,且∠MAN=135°,则双曲线C的渐近线方程为(　　)

A.y=±x B.y=±x

C.y=±x D.y=±2x

6.

(2020山东泰安三模,8)如图,已知双曲线C:=1的左、右焦点分别为F1,F2,M是C上位于第一象限内的一点,且直线F2M与y轴的正半轴交于点A,△AMF1的内切圆在边MF1上的切点为N,若|MN|=2,则双曲线C的离心率为(　　)

A. B. C.2 D.

7.(2020全国2,理8,文9)设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点.若△ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为(　　)

A.4 B.8 C.16 D.32

8.(2020天津,7)设双曲线C的方程为=1(a>0,b>0),过抛物线y2=4x的焦点和点(0,b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行,另一条渐近线与l垂直,则双曲线C的方程为(　　)

A.=1 B.x2-=1 

C.-y2=1 D.x2-y2=1

9.(2020河北唐山模拟)过双曲线E:=1(a>0,b>0)的左焦点F(-,0),作圆(x-)2+y2=4的切线,切点在双曲线E上,则E的离心率等于(　　)

A.2 B. C. D.

10.(2020江苏,6)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线=1(a>0)的一条渐近线方程为y=x,则该双曲线的离心率是　　　　. 

11.(2020北京,12)已知双曲线C:=1,则C的右焦点的坐标为　　　　　;C的焦点到其渐近线的距离是　　　　　. 

综合提升组

12.(2020浙江,8)已知点O(0,0),A(-2,0),B(2,0).设点P满足|PA|-|PB|=2,且P为函数y=3图象上的点,则|OP|=(　　)

A. B. C. D.

13.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点为F,以F为圆心,半实轴长为半径的圆与双曲线C的某一条渐近线交于两点P,Q,若=3(其中O为原点),则双曲线C的离心率为(　　)

A. B. C. D.

14.(2020全国1,理15)已知F为双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点,A为C的右顶点,B为C上的点,且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3,则C的离心率为　　　　　. 

15.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若双曲线的渐近线上存在点P,使得|PF1|=2|PF2|,则双曲线C的离心率的取值范围是　　　　 . 

创新应用组

16.已知双曲线C:-y2=1,直线l:y=kx+m与双曲线C相交于A,B两点(A,B均异于左、右顶点),且以线段AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D,则直线l所过定点为　　　　　. 

参考答案

课时规范练46　双曲线

1.D　由题意a=4,b=3,则c=5,则双曲线C的实轴长为2a=8,故A正确;

双曲线C的渐近线方程为y=±x=±x,故B正确;

取焦点F(5,0),则焦点F到渐近线y=±x的距离d==3,故C正确;

双曲线C上的点到焦点距离的最小值为c-a=5-4=1,故D错误.故选D.

2.A　由∠F2MN=∠F2NM可知,|F2M|=|F2N|.由双曲线定义可知,|MF2|-|MF1|=4,|NF1|-|NF2|=4,两式相加得|NF1|-|MF1|=|MN|=8.故选A.

3.A　由已知可得a=2,b=,

则c=,∴F(,0).

∵|PO|=|PF|,∴xP=.

又P在C的一条渐近线上,不妨设在渐近线y=x上,∴yP=.

∴S△PFO=|OF|·|yP|=.故选A.

4.A　不妨设点P在第一象限,设|PF1|=m,|PF2|=n,则m>n,依题意得,解得a=1.

5.D　设以F1F2为直径的圆与渐近线y=x相交于点M(x0,y0)(x0>0),由对称性得N(-x0,-y0).由

解得M(a,b),N(-a,-b).

∵A(-a,0),∴∠NAF2=90°,

又∠MAN=135°,∴∠MAF2=45°,

∴b=2a,∴渐近线方程为y=±2x.故选D.

6.D　设△AMF1的内切圆在边AF1,AM的切点分别为E,G,则|AE|=|AG|,|EF1|=|F1N|,|MN|=|MG|.

|MF1|-|MF2|=2a,则|EF1|+|MG|-|MF2|=2a,由对称性可知|AF1|=|AF2|,化简可得|MN|=a,则a=2,a+2=4.故双曲线C的离心率为.

7.B　由题意可知,双曲线的渐近线方程为y=±x.因为直线x=a与双曲线的渐近线分别交于D,E两点,

所以不妨令D(a,-b),E(a,b),

所以|DE|=2b.所以S△ODE=×2b·a=ab=8.

所以c2=a2+b2≥2ab=16,当且仅当a=b=2时取等号.

所以c≥4,所以2c≥8.所以双曲线C的焦距的最小值为8.故选B.

8.D　∵双曲线=1的渐近线方程为y=±x,y2=4x的焦点坐标为(1,0),

直线l方程为=1,即y=-bx+b,∴-b=-且-b·=-1,

∴a=1,b=1.故选D.

9.B　设圆的圆心为G,由圆的方程(x-)2+y2=4,知圆心坐标为G(,0),半径R=2,则|FG|=2.

设切点为P,则GP⊥FP,|PG|=2,|PF|=2+2a.

由|PF|2+|PG|2=|FG|2,即(2+2a)2+4=20,

即(2+2a)2=16,得2+2a=4,a=1.

又因为c=,所以双曲线的离心率e=.故选B.

10.　本题考查双曲线的渐近线方程.

由双曲线=1(a>0),得其渐近线方程为y=±x,又因为其中一条为y=x,

所以a=2.所以c2=a2+b2=4+5=9,

所以c=3.则离心率e=.

11.(3,0)　　　在双曲线C中,a=,b=,则c==3,则双曲线C的右焦点坐标为(3,0).因为双曲线C的渐近线方程为y=±x,即x±y=0,所以双曲线C的焦点到其渐近线的距离为d=.

12.D　由条件可知点P在以A,B为焦点的双曲线的右支上,并且c=2,a=1,所以b2=3,所以双曲线方程为x2-=1(x>0).又点P为函数y=3图象上的点,联立方程解得x2=,y2=.

所以|OP|=.

故选D.

13.D　设双曲线的一条渐近线方程为y=x,H为PQ的中点,可得FH⊥PQ,

由F(c,0)到渐近线的距离为|FH|=d==b,∴|PH|=.又=3,

∴|OH|==2,

即7a2=4c2,∴e=,故选D.

14.2　由题意可得A(a,0),F(c,0),其中c=.由BF垂直于x轴可得点B的横坐标为c,代入双曲线方程可得点B的坐标为B.

∵AB的斜率为3,∴B.

∵kAB==e+1=3,∴e=2.

15.　设P(x,y),则(x+c)2+y2=4[(x-c)2+y2],

化简得+y2=c2,

所以点P在以M为圆心,c为半径的圆上.又因为点P在双曲线的渐近线bx±ay=0上,

所以渐近线与圆M有公共点,

所以c,解得5b≤4c,即,所以双曲线离心率的取值范围是.

16.-,0　设点A(x1,y1),B(x2,y2),

由

得(1-4k2)x2-8kmx-4(m2+1)=0,

所以Δ=64k2m2+16(1-4k2)(m2+1)>0,x1+x2=,x1x2=,所以y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=.

因为以线段AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D(-2,0),所以kAD·kBD=-1,

即=-1,

所以y1y2+x1x2+2(x1+x2)+4=0,

即+4=0,所以3m2-16km+20k2=0,解得m=2k或m=.

当m=2k时,直线l的方程为y=k(x+2),此时直线l过定点(-2,0),与已知矛盾;

当m=时,直线l的方程为y=kx+,此时直线l过定点-,0,经检验符合题意.

故直线l过定点-,0.