2027年高考数学一轮专题复习考点通关：课时规范练34 平面向量的数量积（含解析）

这是一份2027年高考数学一轮专题复习考点通关：课时规范练34 平面向量的数量积（含解析），共13页。试卷主要包含了已知向量a=,b=等内容，欢迎下载使用。
考点一 平面向量数量积的运算
1.(2026·湖南怀化模拟)已知向量a+2b=(-3,3),a-2b=(-1,-1),则a·(a-b)=( )
A.5B.3C.-1D.12
2.(2026·广西柳州模拟)如图,在4×4的菱形网格(每个小菱形的边长均为1)中,向量a与b的夹角为π3,则c·d=( )
A.1B.2C.3D.4
考点二 平面向量数量积的应用
3.(2026·河北石家庄期中)某智能物流车的“实际配送向量D”“规划路线向量R”“交通拥堵修正向量J”满足关系式:D=3R+2J.已知条件如下:实际配送向量D=(15,9),交通拥堵修正向量J与向量(3,-3)垂直,|J|=32.配送效率等级通过“规划路线向量R的模(单位:km)”判定,标准如下表(一般情况下,认定“停滞”属于无效配送):
若此次配送为有效配送,则此次配送的效率等级为( )
A.超高效B.高效C.常规D.低效
4.(2025·山西阳泉模拟)已知向量a,b,c满足|a|=|b|,a与b的夹角为π3,a+b+c=0,则a与c的夹角为( )
A.π6B.π3C.2π3D.5π6
5.(2020·全国Ⅱ,文5)已知单位向量a,b的夹角为60°,则在下列向量中,与b垂直的是( )
A.a+2bB.2a+b
C.a-2bD.2a-b
考点三 向量的投影及其应用
6.(2026·浙江绍兴模拟)已知向量a=(0,1),b=(1,k).若向量a+b在向量a上的投影向量为32a,则k=( )
A.-1B.12C.1D.32
素能综合练
7.(多选题)(2025·贵州六盘水水城区高三统考)已知向量a=(x,-2),b=(1,2),则下列结论正确的是( )
A.若a-b=(5,-4),则x=6
B.若a⊥b,则x=2
C.若|a|=13,则x=±3
D.若a∥b,则x=1
8.(2024·新高考Ⅰ,3)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x=( )
A.-2B.-1C.1D.2
9.(2026·山东泰安模拟)已知向量a=(-3,1),b=(-1,2),则a-2b在b上的投影向量为( )
A.(12,32)B.(-12,-32)
C.(-1,2)D.(1,-2)
10.(2026·湖南邵阳模拟)已知向量a=(3,m),b=(0,4),若=π3,则实数m=( )
A.0B.1C.2D.3
11.(2026·北京丰台模拟)已知两个单位向量a,b的夹角为60°,若a-b+c=0,则|c|=( )
A.1B.3C.2D.6
12.(2026·安徽蚌埠模拟)如图,在边长为3的正三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且AEEC=CDDB=2,则AD·DE=( )
A.3B.-1C.-2D.-3
13.(2026·广东佛山模拟)已知a,b,c均为单位向量,且a⊥b,则a·c+2b·c的最大值为( )
A.3B.2C.5D.3
14.(多选题)(2026·江苏扬州期中)已知正三角形ABC的边长为3,且D为边BC的中点,则下列结论正确的有( )
A.AB+BC+CA=0
B.AB在BC上的投影向量为BD
C.(AB+AC)·BC=0
D.AB·AD=274
15.(2026·湖北武汉模拟)已知向量a,b满足|a|=2,cs=14,且|a+b|=10,则|b|= .
参考答案
课时规范练34 平面向量的数量积
1.B 解析 由已知得(a+2b)+(a-2b)=(-3,3)+(-1,-1)=(-4,2),即2a=(-4,2),所以a=(-2,1).(a+2b)-(a-2b)=(-3,3)-(-1,-1)=(-2,4),即4b=(-2,4),所以b=(-12,1).因此a-b=(-32,0),于是a·(a-b)=(-2)×(-32)+1×0=3.故选B.
2.A 解析 由题图可知,c=-2a+2b,d=2a+3b,则c·d=(-2a+2b)·(2a+3b)=-4a2-2a·b+6b2=-4×1-2×1×1×csπ3+6×1=1.故选A.
3.B 解析 设交通拥堵修正向量J=(a,b),则3a-3b=0,a2+b2=(32)2,解得a=3,b=3或a=-3,b=-3,即J=(3,3)或J=(-3,-3).当J=(3,3)时,由题意得R=D-2J3,则R=(15,9)-2(3,3)3=(3,1),则|R|=32+12=10,可知2.10,因此m=3.故选D.
11.A 解析 因为a-b+c=0,所以c=b-a,
所以|c|=|b-a|=(b-a)2
=b2-2b·a+a2
=1-2×1×1×cs60°+1
=1-1+1=1.
故选A.
12.D 解析 依题意,由AEEC=CDDB=2可得BD=13BC,DC=23BC,EC=13AC,所以AD=AB+BD=AB+13BC=AB+13(AC−AB)=23AB+13AC,DE=DC+CE=23BC−13AC=23(AC−AB)-13AC=-23AB+13AC,因此AD·DE=(23AB+13AC)·(-23AB+13AC)=19|AC|2-49|AB|2=-3.故选D.
13.C 解析 由题意(a+2b)2=a2+4b2+4a·b=1+4+0=5,则|a+2b|=5,设a+2b与c的夹角为θ,则a·c+2b·c=(a+2b)·c=5×1×cs θ=5cs θ,显然最大值为5,此时θ=0.故选C.
14.ACD 解析 AB+BC+CA=AC+CA=AC+(-AC)=0,故A正确;AB在BC上的投影向量为AB·BC|BC|2·BC=
(-BA)·BC|BC|2·BC=-|BA||BC|cs60°|BC|2·BC=-3×3×129·BC=-12BC=-BD,故B错误;因为D为边BC的中点,所以AB+AC=2AD,又因为AB=AC,所以AD⊥BC,所以(AB+AC)·BC=(2AD)·BC=2(AD·BC)=2×0=0,故C正确;依题意∠BAD=30°,|AB|=3,cs 30°=32,|AD|=32×3=332,所以AB·AD=3×332×32=3×3×34=3×94=274,故D正确.故选ACD.
15.2 解析 由|a+b|=10,得|a|2+2a·b+|b|2=10,即4+2×2·|b|×14+|b|2=10,整理得|b|2+|b|-6=0,解得|b|=2(|b|=-3舍去).
配送效率等级
超高效
高效
常规
低效
停滞
模的范围
0.0—2.0
2.1—4.0
4.1—6.0
6.1—8.0
>8.0