2027年高考数学一轮复习考点课时巩固练33　平面向量的数量积及其应用（含答案解析）

这是一份2027年高考数学一轮复习考点课时巩固练33　平面向量的数量积及其应用（含答案解析），共8页。
(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)
基础 巩固练
1.(2025·浙江杭州模拟)已知向量a=(2x,3),b=(2,0),(a-b)·b=0,则x的值为( )
A.-1B.12C.1D.2
2.(2025·浙江金华模拟)已知|a|=1,|a+b|=5,向量a与b的夹角为π4,则|b|=( )
A.1B.2C.3D.22
3.(2024·新高考Ⅰ,3)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x=( )
A.-2B.-1C.1D.2
4.(2025·浙江宁波三模)已知向量a,b满足|a|=2,a·(2a+b)=9,则a·(2a-b)=( )
A.3B.4C.6D.7
5.(2025·河北石家庄模拟)已知向量a=(1,1),b=(3,t),若向量b在向量a上的投影向量为2a,则t=( )
A.2B.-1C.0D.1
6.(2025·黑龙江齐齐哈尔一模)如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,建立如图所示的平面直角坐标系,且A(0,3),C(3,0),B(0,0),AM=12MC,BM=MD,则DA·DC=( )
A.3B.1C.2D.4
7.(多选题)(2025·河北邯郸模拟)已知向量a=(3,-1),b=(2,0),则下列说法正确的是( )
A.|a|=|b|
B.a与b的夹角为π3
C.若a⊥(a+λb),则λ=-233
D.存在c≠0,使得a·c=b·c
8.(2026·北京西城高三检测)已知向量a=(1,-2),b=(k,1),满足a⊥b,则a与a+b的夹角为 .
9.(2025·安徽亳州期末)已知向量a,b为两个相互垂直的单位向量,则= .
综 合 提升练
10.(2025·江苏镇江期中)已知在△ABC中,(BA+BC)·AC=0,AB|AB|+AC|AC|=3,则此三角形为( )
A.等边三角形
B.等腰非等边三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
11.(2025·山东临沂模拟)在平行四边形ABCD中,AB=3,AD=2,∠BAD=60°,P为边CD上一点,若AP⊥BD,则线段AP的长为( )
A.212B.5
C.3D.23
12.(2026·北京高三模拟)如图,圆M为△ABC的外接圆,AB=4,AC=6,N为边BC的中点,则AN·AM= .
创 新 应用练
13.(多选题)(2025·福建漳州质检)已知两个非零向量a,b的夹角为θ,定义运算⊗:a⊗b=|a|·|b|·sin θ,若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则下列说法正确的是( )
A.∃θ∈[0,π2],a⊗b=a·b
B.a在b上投影向量的模为a⊗b|a|
C.若a=(2,0),b=(-1,1),则a⊗b=2
D.a⊗b=|x1y2-x2y1|
参考答案
1.C 解析 因为向量a=(2x,3),b=(2,0),所以a-b=(2x-2,3),所以(a-b)·b=2(2x-2)=0,解得x=1.故选C.
2.B 解析 由题意可得|a+b|2=a2+2a·b+b2=1+2×1×|b|×22+|b|2=|b|2+2|b|+1=5,解得|b|=2或|b|=-22(舍去).故选B.
3.D 解析 ∵a=(0,1),b=(2,x),∴b-4a=(2,x)-4(0,1)=(2,x-4).∵b⊥(b-4a),∴b·(b-4a)=0,即(2,x)·(2,x-4)=4+x(x-4)=0,∴x=2.故选D.
4.D 解析 由a·(2a+b)=2a2+a·b=8+a·b=9,得a·b=1,所以a·(2a-b)=2a2-a·b=8-1=7.故选D.
5.D 解析 由题意,得a·b|a|2a=3+t2a=2a,所以3+t2=2,所以t=1.故选D.
6.C 解析 设M(x,y),因为AM=12MC,A(0,3),C(3,0),B(0,0),所以(x,y-3)=12(3-x,-y),解得x=1,y=2,所以M(1,2),又BM=MD=(1,2),所以D(2,4),所以DC=(1,-4),DA=(-2,-1),所以DA·DC=(-2)×1+(-1)×(-4)=2.故选C.
7.ACD 解析 由题意可知|a|=(3)2+(-1)2=2=|b|,故A正确;
因为a·b=23,cs=a·b|a||b|=234=32,又∈[0,π],所以a与b的夹角为π6,故B错误;
若a⊥(a+λb),则a2+λa·b=0,即4+23λ=0,解得λ=-233,故C正确;
若a·c=b·c,则(a-b)·c=0,则当(a-b)⊥c时,可以使a·c=b·c,故D正确.故选ACD.
8.π4 解析 因为向量a=(1,-2),b=(k,1),满足a⊥b,所以a·b=1×k-2×1=k-2=0,所以k=2,则b=(2,1),所以a+b=(3,-1),所以a与a+b的夹角余弦值为cs=a·(a+b)|a||a+b|=(1,-2)·(3,-1)12+(-2)2×32+(-1)2=3+25×10=22,
又∈[0,π],所以=π4,故a与a+b的夹角为π4.
9.π4 解析 因为a·b=0,|a|=|b|=1,(a-b)2=a2+b2-2a·b=2,即|a-b|=2,所以cs=a·(a-b)|a||a-b|=11×2=22,又∈[0,π],所以=π4.
10.A 解析 若点D是边AC的中点,则BD=12(BA+BC),故(BA+BC)·AC=2BD·AC=0,
所以BD⊥AC,显然△ABC为等腰三角形,即BA=BC.由|AB|AB|+AC|AC||=(AB|AB|+AC|AC|) 2 =1+2csA+1=3,可得cs A=12,又0