2027年高考数学一轮专题复习考点通关：课时规范练46 空间向量及其运算（含解析）

这是一份2027年高考数学一轮专题复习考点通关：课时规范练46 空间向量及其运算（含解析），共12页。试卷主要包含了已知空间三点A,B,C等内容，欢迎下载使用。
考点一 空间向量的运算
1.已知a=(2,-3,1),b=(2,0,3),c=(0,1,-2),则a+4b-3c=( )
A.(4,-4,6)B.(-6,-6,-5)
C.(10,0,7)D.(10,-6,19)
2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC的中点.
(1)化简:A1O−12AB−12AD= ;
(2)用AB,AD,AA1表示OC1,则OC1= .
考点二 空间向量有关定理的应用
3.已知向量a=(1,1,0),b=(1,0,2),且ka-b与2a+b互相平行,则k=( )
A.1B.-2C.-1D.2
4.已知O,A,B,C,D,E,F,G,H为空间9个点(如图),并且OE=kOA,OF=kOB,OH=kOD,AC=AD+mAB,EG=EH+mEF.求证:
(1)A,B,C,D四点共面;
(2)AC∥EG;
(3)OG=kOC.
考点三 空间向量的数量积及其应用
5.若a+b=(-2,-1,2),a-b=(4,-3,-2),则a·b=( )
A.-5B.-1C.5D.7
6.如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=CC1=4,∠BCC1=∠ACC1=π3,∠ACB=π4,则CA1·(CB+CA)=( )
A.48B.32
C.32+82D.32-82
7.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).
(1)求∠BAC及以AB,AC为邻边的平行四边形的面积;
(2)若向量a分别与AB,AC垂直,且|a|=3,求向量a的坐标.
素能综合练
8.已知空间向量a=(2,-1,2),b=(1,-2,1),则向量b在向量a上的投影向量是( )
A.(43,-23,43)B.(2,-1,2)
C.(23,-43,23)D.(1,-2,1)
9.设x,y∈R,a=(1,1,1),b=(1,y,z),c=(x,-4,2),且a⊥c,b∥c,则|2a+b|=( )
A.22B.0C.3D.32
10.已知空间向量a=(2,-1,1),b=(m,3,-3),若a与b的夹角是钝角,则m的取值范围是( )
A.(-∞,-6)∪(-6,3)B.(-∞,3)
C.(3,6)∪(6,+∞)D.(3,+∞)
11.(多选题)已知空间向量a=(1,-1,4),则下列说法正确的是( )
A.|a|=32
B.向量a与向量b=(-2,2,-8)共线
C.向量a关于x轴对称的向量为(1,1,-4)
D.向量a关于yOz平面对称的向量为(-1,1,-4)
12.(多选题)下列条件中,使M与A,B,C一定共面的是( )
A.OM=3OA−OB−OC
B.OM=15OA+13OB+12OC
C.MA+MB+MC=0
D.OM+OA+OB+OC=0
13.已知向量b=(-2,1,1),A(-3,-1,4),B(-2,-2,2),若在直线AB上存在一点E,使得OE⊥b(O为原点),则点E的坐标为 .
参考答案
课时规范练46 空间向量及其运算
1.D 解析 a+4b-3c=(2,-3,1)+(8,0,12)-(0,3,-6)=(10,-6,19).
2.(1)A1A (2)12AB+12AD+AA1 解析 (1)A1O−12AB−12AD=A1O−12(AB+AD)=A1O−AO=A1O+OA=A1A.
(2)因为OC=12AC=12(AB+AD),
所以OC1=OC+CC1=12(AB+AD)+AA1=12AB+12AD+AA1.
3.B 解析 由题意得ka-b=(k-1,k,-2),2a+b=(3,2,2).
∵ka-b与2a+b互相平行,
∴k-13=k2=-22,解得k=-2.故选B.
4.证明 (1)因为AC=AD+mAB,所以AC,AD,AB是共面向量.又因为AC,AD,AB有公共点A,所以A,B,C,D四点共面.
(2)因为OE=kOA,OF=kOB,OH=kOD,所以EG=EH+mEF=OH−OE+m(OF−OE)=k(OD−OA)+km(OB−OA)=kAD+kmAB=k(AD+mAB)=kAC,所以AC∥EG.
(3)由(1)及OE=kOA,可得EG=kAC,EO=kAO,所以OG=EG−EO=kAC-kAO=k(AC−AO)=kOC,即OG=kOC.
5.A 解析 ∵a+b=(-2,-1,2),a-b=(4,-3,-2),则2a=(2,-4,0),
∴a=(1,-2,0),b=(-3,1,2),
∴a·b=-3-2+0=-5.故选A.
6.C 解析 CA1·(CB+CA)=(CC1+CA)·(CB+CA)=CC1·CB+CC1·CA+CA·CB+CA2=4×4×csπ3+4×4×csπ3+4×4×csπ4+42=8+8+82+16=32+82.故选C.
7.解 (1)由题知AB=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2),所以|AB|=|AC|=14,AB·AC=-2+3+6=7,
所以cs∠BAC=AB·AC|AB||AC|=714=12.
因为0°≤∠BAC≤180°,所以∠BAC=60°,所以AB,AC为邻边的平行四边形的面积为|AB||AC|sin∠BAC=14×14sin 60°=14×32=73.
(2)设a=(x,y,z),因为向量a分别与AB,AC垂直,所以a·AB=0,a·AC=0,即-2x-y+3z=0,x-3y+2z=0,令y=m,则z=m,x=m.
因为|a|=3,所以x2+y2+z2=9,得3m2=9,则m=±3,解得x=y=z=3或x=y=z=-3,所以a=(3,3,3)或a=(-3,-3,-3).
8.A 解析 b在向量a上的投影向量为a·b|a|·a|a|=a·b|a|2a=2+2+222+(-1)2+22a=23a=(43,-23,43).故选A.
9.D 解析 由a⊥c,得a·c=x-4+2=0,所以x=2,则c=(2,-4,2).由b∥c,得12=y-4=z2,所以y=-2,z=1,所以b=(1,-2,1),故2a+b=(3,0,3),则|2a+b|=32+32=32.故选D.
10.A 解析 由题意可得a·b