2027年高考数学一轮专题复习考点通关：课时规范练33 平面向量基本定理及向量坐标运算（含解析）

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考点一 平面向量基本定理的应用
1.(2026·湖南衡阳模拟)如图,在△ABC中,BM=2MC,N为线段AM上一点,且AN=(1-λ)AB+λ3AC,则实数λ的值为( )
A.34B.25C.56D.67
考点二 平面向量的坐标运算
2.在△ABC中,顶点A的坐标为(3,1),边BC的中点D的坐标为(-3,1),则△ABC的重心坐标为 .
考点三 向量共线的坐标表示及其应用
3.(2026·山东聊城期中)已知α∈(0,π),向量a=(1,3),b=(cs α,sin α),若a∥b,则α=( )
A.2π3B.π3C.π4D.π6
4.(2025·云南玉溪二模)已知a=(x,2),b=(6,x+1),若a,b方向相反,则x= .
5.(2025·上海嘉定期中)已知A(1,1),B(4,0),点P在线段AB的延长线上,且|AP|=3|PB|,则点P的坐标为 .
素能综合练
6.(2025·吉林长春期中)已知向量a=(-1,2),b=(1,0),则3a+b=( )
A.(-2,6)B.(-2,-6)
C.(2,6)D.(2,-6)
7.(2026·天津和平期末)已知向量a=(1,2),b=(4,3),c=(k,2),若3a-b与c共线,则实数k的值为( )
A.23B.-32
C.-23D.32
8.(2025·河南周口模拟)在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段AB上靠近点A的三等分点,F为线段OE的中点,设AB=a,AD=b,则AF=( )
A.512a+12bB.14a+512b
C.56a+14bD.512a+14b
9.(2026·安徽蚌埠期中)已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,则向量c用基底{a,b}表示为( )
A.3a+32b
B.32a+3b
C.3a+52b
D.52a+3b
10.(2026·福建宁德期中)已知{e1,e2}是平面内的一个基底,OA=4e1+3e2,OB=2e1+ke2,OC=5e1-3e2.若A,B,C三点共线,则实数k的值为( )
A.9B.13C.15D.18
11.(2026·河南郑州期中)已知△ABC的边BC的中点为D,点E在△ABC所在平面内,且CD=3CE-2CA.若AC=xAB+yBE,则x+y=( )
A.7B.9C.11D.13
12.(2026·湖南长沙期末)如图,扇形的半径为1,圆心角∠BAC=150°,点P在BC上运动,AP=λAB+μAC,则3λ-μ的最小值是( )
A.2B.3
C.-3D.-1
13.已知M(-2,5),N(10,-1),P是线段MN的一个三等分点且靠近点M,则点P的坐标为 .
14.(2026·北京顺义期末)在△ABC中,点P,Q满足AP=3PB,CQ=4QB.若PQ=λAB+μAC,则λμ= .
15.(2025·福建厦门期中)在平面直角坐标系中,A(1,m),B(-2,2m+1),AC=(-1,m-1),若A,B,C三点能构成三角形,则实数m的取值范围为 .
参考答案
课时规范练33 平面向量基本定理及向量坐标运算
1.D 解析 因为BM=2MC,所以BM=23BC,故AM=AB+BM=AB+23BC=AB+23(AC−AB)=13AB+23AC.因为A,N,M三点共线,所以设AN=tAM(t∈R),则AN=t3AB+2t3AC.又因为AN=(1-λ)AB+λ3AC,由平面向量基本定理得1-λ=t3,λ3=2t3,解得λ=67.故选D.
2.(-1,1) 解析 设△ABC的重心为G(x,y),则AG=23AD.
因为A(3,1),D(-3,1),所以(x-3,y-1)=23(-6,0),
即x-3=23×(-6),y-1=0,解得x=-1,y=1,
即G(-1,1),即△ABC的重心坐标为(-1,1).
3.B 解析 因为α∈(0,π),所以sin α>0.向量a=(1,3),b=(cs α,sin α),若a∥b,则sin α=3cs α>0,可得tan α=3,故α=π3.故选B.
4.-4 解析 因为a,b方向相反,所以a∥b,则x(x+1)-2×6=0,解得x=-4或x=3.
当x=3时,a,b方向相同,当x=-4时,a,b方向相反,所以x=-4.
5.(112,-12) 解析 设O是坐标原点,因为点P在线段AB的延长线上,且|AP|=3|PB|,所以AP=3BP,则AP=32AB=32(3,-1)=(92,-32),所以OP=OA+AP=(1,1)+(92,-32)=(112,-12),所以点P的坐标是(112,-12).
6.A 解析 因为a=(-1,2),b=(1,0),所以3a+b=(-2,6).故选A.
7.C 解析 因为a=(1,2),b=(4,3),所以3a-b=(-1,3).又c=(k,2),3a-b与c共线,所以(-1)×2=3×k,所以k=-23.故选C.
8.D 解析 由题意,AF=12AO+12AE=14AC+16AB=14(AB+AD)+16AB=512AB+14AD=512a+14b.故选D.
9.D 解析 由题图可设a=(2,0),b=(-1,1),c=(2,3),设c=xa+yb=(2x-y,y)=(2,3),则2x-y=2,y=3,故c=52a+3b.故选D.
10.C 解析 因为OA=4e1+3e2,OB=2e1+ke2,OC=5e1-3e2,所以AB=OB−OA=(2e1+ke2)-(4e1+3e2)=-2e1+(k-3)e2,AC=OC−OA=(5e1-3e2)-(4e1+3e2)=e1-6e2.又因为A,B,C三点共线,所以存在实数λ,使得AB=λAC,即-2e1+(k-3)e2=λ(e1-6e2).因为{e1,e2}是平面内的一个基底,所以由平面向量基本定理可得λ=-2,-6λ=k-3,解得λ=-2,k=15.故选C.
11.C 解析 由CD=3CE-2CA,得CE=13CD+23CA=-16BC−23AC.又AC=xAB+yBE,则BE=1yAC−xyAB,则BC=BE−CE=(1y+23)AC−xyAB+16BC,则56BC=(1y+23)AC−xyAB,56AC−56AB=(1y+23)AC−xyAB,故56=1y+23,-56=-xy,解得x=5,y=6,则x+y=11.故选C.
12.D 解析 以点A为坐标原点,AB所在直线为x轴,过点A且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(-32,12).设点P(cs θ,sin θ),其中0≤θ≤5π6,由AP=λAB+μAC可得(cs θ,sin θ)=λ(1,0)+μ(-32,12),即λ-32μ=csθ,12μ=sinθ,故3λ-μ=3(λ-32μ)+12μ=3cs θ+sin θ=2sin(θ+π3).因为0≤θ≤5π6,所以π3≤θ+π3≤7π6,故当θ+π3=7π6时,3λ-μ取最小值2sin7π6=-1.故选D.
13.(2,3) 解析 由题可知MN=3MP,MN=(12,-6),设P(x,y),则MP=(x+2,y-5),3MP=(3x+6,3y-15),
∴3x+6=12,3y-15=-6⇒x=2,y=3⇒P(2,3).
14.14 解析 由CQ=4QB,得CQ=45CB,由AP=3PB,得AP=34AB,则PQ=AQ−AP=AC+CQ−AP=AC+45CB−34AB=AC+45(AB−AC)-34AB=120AB+15AC,得λ=120,μ=15,则λμ=12015=14.
15.(-∞,2)∪(2,+∞) 解析 因为A,B,C三点能构成三角形,所以AB与AC不共线.而AB=(-3,m+1),若AB与AC共线,则有-3(m-1)=-(m+1),解得m=2,所以若A,B,C三点能构成三角形,则m≠2,即实数m的取值范围为(-∞,2)∪(2,+∞).