【浙江专用】2026年高考数学一轮复习课时训练：33　平面向量的数量积（含答案）

这是一份【浙江专用】2026年高考数学一轮复习课时训练：33　平面向量的数量积（含答案），共7页。试卷主要包含了已知平面向量a=,b=,则等内容，欢迎下载使用。
1.(2024·安徽马鞍山期末)已知向量a=(x,-2),b=(2,1),且a⊥b,则x=( )
A.-4B.4
C.-1D.1
2.(2025·上海开学考试)设a,b是非零向量,则“a·b>0”是“为锐角”的( )条件.
A.充要
B.充分不必要
C.必要不充分
D.既不充分也不必要
3.(2024·浙江宁波模拟)已知平面向量a,b满足a=(1,2),|b-2a|=4且(b-2a)⊥a,则|b|=( )
A.5B.5
C.6D.6
4.(2025·浙江开学考试)已知|a|=|b|=1,|2a+b|=2,则a在b上的投影向量为( )
A.32bB.-32b
C.34bD.-34b
5.(2025·浙江丽水模拟)设a,b是单位向量,则(a+b)2-a·b的最小值是( )
A.-1B.0
C.34D.1
6.(多选题)(2024·山东济南模拟)已知平面向量a=(1,3),b=(-2,1),则( )
A.|a|=10
B.(2a-b)⊥b
C.a与b的夹角为钝角
D.a在b上的投影向量的模为55
7.(多选题)(2025·湖南郴州开学考试)设向量a=(3,k),b=(2,-1),则下列说法错误的是( )
A.若a与b的夹角为钝角,则k>6
B.|a|的最小值为9
C.与b共线的单位向量只有一个,为(22,-22)
D.若|a|=3|b|,则k=±6
8.(2024·浙江杭州二模)已知a,b是两个单位向量,若向量a在向量b上的投影向量为12b,则向量a与向量a-b的夹角为( )
A.30°B.60°
C.90°D.120°
9.(2024·山东威海模拟)已知向量a=(2,1),b=(0,1),c=a+tb,若a·c=6,则t= .
10.(2025·广东潮州开学考试)如图,在正八边形ABCDEFGH中,AB=1,O为正八边形的中心,则AB·HD= .
综合提升练
11.(2024·上海宝山模拟)如图是某一自行车的平面结构示意图,已知图中的圆A(前轮),圆D(后轮)的半径均为3,△ABE,△BEC,△ECD均是边长为4的等边三角形.设点P为后轮圆上的一点,则在骑动该自行车的过程中,AC·BP的最大值为( )
A.18B.24
C.36D.48
12.(2024·安徽淮南模拟)在△ABC中,已知∠ACB=2π3,BC=4,AC=3,D是边AB的中点,点E满足AE=34AB+14AC,则CD·DE=( )
A.-58B.-1
C.12D.18
13.(2025·江苏徐州模拟)已知点A(-2,0),B(2,0),若圆(x-a+1)2+(y-a-2)2=1上存在点M满足MA·MB=5,则实数a的取值范围是 .
14.(13分)(2024·浙江宁波期中)已知平面向量OA,OB,OC满足|OA|=|OB|=|OC|=OA·OB=2,且+=π3.若x,y∈R,求|xOA-yOB|+|xOA-OC|+|yOB-OC|的最小值.
15.(13分)(2025·浙江宁波模拟)对于任意两个非零向量a,b,定义新运算:a⊕b=a·bb2.
(1)若向量a=(-1,5),b=(3,4),求(2a-b)⊕b;
(2)若两个单位向量a,b满足(3a+b)⊕(a-2b)=-53,求a+b与b夹角的余弦值.
创新应用练
16.(多选题)(2025·四川巴中开学考试)如图,在边长为3的等边三角形ABC中,AD=23AC,且点P在以AD中点O为圆心,OA为半径的半圆上,包括半圆弧的两个端点.BP=xBA+yBC,则下列说法正确的是( )
A.13≤x≤1
B.BD=13BA+23BC
C.92≤BP·BC≤9
D.x+y的最大值为239+1
答案：
1.D 解析 因为a⊥b,故2x-2=0,即x=1,故选D.
2.C 解析 当为锐角时,a·b=|a|·|b|cs>0,所以“a·b>0”是“为锐角”的必要条件;当a·b=|a|·|b|cs>0时,0≤0”是“为锐角”的不充分条件.所以“a·b>0”是“为锐角”的必要不充分条件.故选C.
3.D 解析 由a=(1,2),得|a|=5,由(b-2a)⊥a,得(b-2a)·a=0,则a·b=2a2=10,
由|b-2a|=4,得(b-2a)2=16,即b2+4a2-4a·b=16,则b2+4×5-4×10=16,所以|b|=6.故选D.
4.D 解析 由|a|=|b|=1,|2a+b|=2,可得|2a+b|2=4a2+b2+4a·b=4+1+4a·b=2,解得a·b=-34,则a在b上的投影向量为a·b|b|·b|b|=-34b.故选D.
5.D 解析 设a,b的夹角为θ,则θ∈[0,π].因为|a|=|b|=1,则a·b=|a|·|b|cs θ=cs θ∈[-1,1],可得(a+b)2-a·b=a2+b2+a·b=2+cs θ,则1≤2+cs θ≤3,当且仅当cs θ=-1时,2+cs θ=1,
所以(a+b)2-a·b的最小值是1.
6.AD 解析 A选项,|a|=12+32=10,A正确;B选项,2a-b=(2,6)-(-2,1)=(4,5),故(2a-b)·b=(4,5)·(-2,1)=-8+5=-3≠0,故2a-b与b不垂直,B错误;C选项,cs=a·b|a||b|=(1,3)·(-2,1)1+9×4+1=152=210>0,故a与b的夹角为锐角,C错误;D选项,a在b上的投影向量的模为|a·b||b|=|(1,3)·(-2,1)|4+1=55,D正确.故选AD.
7.BC 解析 对于A,因为a与b的夹角为钝角,故a·b6,A正确;对于B,|a|=9+k2≥3,当且仅当k=0时,等号成立,故|a|的最小值为3,B错误;对于C,|b|=4+1=5,与b共线的单位向量有2个,为±(25,-15)=±(255,-55),C错误;对于D,若|a|=3|b|,则9+k2=35,解得k=±6,D正确.故选BC.
8.B 解析 因为向量a在向量b上的投影向量为12b,a,b是两个单位向量,所以|a|·cs·b=12b,所以cs=12,又∈[0,π],所以=π3,所以a·(a-b)=a2-a·b=1-1×1×12=12.
又|a|=1,|a-b|=(a-b)2=1+1-2×1×1×12=1,所以cs=a·(a-b)|a|·|a-b|=12,
又∈[0,π],所以向量a与向量a-b的夹角为π3,即60°.
故选B.
9.1 解析 由题意知,c=a+tb=(2,1+t),因为a·c=6,所以a·c=2×2+(1+t)=6,解得t=1.
10.1+2 解析 在正八边形ABCDEFGH中,连接HC,则易知HC∥AB,
而∠ABC=135°,即∠BCH=45°,于是∠HCD=90°.在等腰梯形ABCH中,CH=1+2×1×cs 45°=1+2,所以AB·HD=1×|HD|cs∠CHD=|HC|=1+2.
11.C 解析 骑行过程中,点A,B,C,D,E相对位置不动,只有点P绕点D做圆周运动.
如图,以直线AD为x轴,过点E垂直于AD的直线为y轴,E为坐标原点建立平面直角坐标系.
由题意A(-4,0),B(-2,23),C(2,23),圆D的方程为(x-4)2+y2=3.
设P(4+3cs α,3sin α),其中α是参数,且0≤α≤2π.则AC=(6,23),BP=(6+3cs α,3sin α-23),AC·BP=6(6+3cs α)+23(3sin α-23)=63cs α+6sin α+24=12(12sin α+32cs α)+24=12sin(α+π3)+24,易知当sin(α+π3)=1,即α=π6时,AC·BP取得最大值36.故选C.
12.C 解析 ∵D为AB的中点,∴CD=12(CA+CB),∵AE=34AB+14AC,∴34AE-34AB=14AC-14AE,即34BE=14EC,∴CE=34CB,如图所示.
∴DE=DC+CE=-12(CA+CB)+34CB=14CB-12CA,∴CD·DE=12(CA+CB)·(14CB-12CA)=18CA·CB-14CA2+18CB2-14CA·CB=-14CA2+18CB2-18CA·CB=-14×9+18×16-18×3×4cs2π3=12.
13.[-23+12,23-12] 解析 圆(x-a+1)2+(y-a-2)2=1的圆心为C(a-1,a+2),半径为r=1,MA=MO+OA,MB=MO+OB=MO-OA,其中O为坐标原点.可得MA·MB=(MO+OA)·(MO-OA)=MO2-OA2=MO2-4=5,则|MO|=3.所以点M的轨迹为以O(0,0)为圆心,半径R=3的圆.由题意可知圆C与圆O有公共点,则R-r≤|OC|≤R+r,即2≤(a-1)2+(a+2)2≤4,解得-23+12≤a≤23-12,所以实数a的取值范围是[-23+12,23-12].
14.解 由题意可知OA·OB=|OA|·|OB|cs=4cs=2,
解得cs=12,根据向量夹角的取值范围知=π3.如图所示建立平面直角坐标系,
不妨令A(2,0),B(1,3),以原点为圆心,半径为2作圆.
因为+=π3,则点C在劣弧AB上.设xOA=OD,yOB=OE,则|xOA-yOB|+|xOA-OC|+|yOB-OC|=|ED|+|CD|+|CE|,关于直线OB,OA分别作点C的对称点C',C″,连接C'C″,
易知C',C″在圆上,且∠C'OC″=2π3.
根据对称性可知|ED|+|CD|+|CE|=|ED|+|C″D|+|C'E|≥|C'C″|,当且仅当C',C″,D,E四点共线时取得等号.由余弦定理知|C'C″|=22+22-2×2×2cs2π3=23.
15.解 (1)∵2a-b=(-5,6),∴(2a-b)⊕b=(2a-b)·bb2=(-5,6)·(3,4)25=-15+2425=925.
(2)由(3a+b)⊕(a-2b)=-53,得(3a+b)·(a-2b)(a-2b)2=-53,1-5a·b5-4a·b=-53,则a·b=45.
∵(a+b)·b=a·b+b2=95,|a+b|=(a+b)2=2+2a·b=2+85=3105,
∴cs=(a+b)·b|a+b|·|b|=953105×1=31010,
故a+b与b夹角的余弦值为31010.
16.BCD 解析 对于B,因为AD=23AC,且点P在半圆上,所以在三角形ABC中,OA=OD=DC=13AC=1,则BD=BC+CD=BC+13CA=BC+13(BA-BC)=13BA+23BC,故B正确;
对于C,如图,以O为坐标原点,以直线AC为x轴,以过点O垂直于AC的直线为y轴建立平面直角坐标系,
则A(-1,0),B(12,332),C(2,0).因为点P在以AD的中点O为圆心,OA为半径的半圆上且包括半圆弧的两个端点,所以点P的轨迹方程为x2+y2=1(y≤0).设P(cs α,sin α),α∈[π,2π],则BP=(cs α-12,sin α-332),BC=(32,-332),BA=(-32,-332),所以BP·BC=32cs α-34-332sin α+274=3cs(α+π3)+6.因为α∈[π,2π],所以α+π3∈[4π3,7π3],所以cs(α+π3)∈[-12,1],所以92≤3cs(α+π3)+6≤9,即92≤BP·BC≤9,故C正确;对于A,因为BP=xBA+yBC,所以(cs α-12,sin α-332)=x(-32,-332)+y(32,-332),即(cs α-12,sin α-332)=(-32(x-y),-332(x+y)),所以sin α-332=-332(x+y),cs α-12=-32(x-y),所以x+y=-239sin α+1,x-y=-23cs α+13,则x=-39sin α-13cs α+23=-239sin(α+π3)+23.
因为α∈[π,2π],所以α+π3∈[4π3,7π3],所以sin(α+π3)∈[-1,32],所以13≤-239sin(α+π3)+23≤239+23,即13≤x≤239+23,故A错误;对于D,x+y=-239sin α+1.因为α∈[π,2π],所以当α=3π2时,x+y取得最大值239+1,故D正确.故选BCD.