2027届高三数学一轮复习试题规范练34平面向量的数量积（Word版附解析）

这是一份2027届高三数学一轮复习试题规范练34平面向量的数量积（Word版附解析），共5页。
(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)
基础巩固练
1.(2026·山东潍坊月考)已知向量a=(2,1),b=(1,m),若a·(2a+b)=15,则|a-b|=( )
A.3B.5
C.23D.7
2.(2024·新高考Ⅰ,3)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x=( )
A.-2B.-1
C.1D.2
3.(2026·山东泰安模拟)已知向量a=(-3,1),b=(-1,2),则a-2b在b上的投影向量为( )
A.(12,32)B.(-12,-32)
C.(-1,2)D.(1,-2)
4.(2026·湖南邵阳模拟)已知向量a=(3,m),b=(0,4),若=π3,则实数m=( )
A.0B.1
C.2D.3
5.(2026·北京丰台模拟)已知两个单位向量a,b的夹角为60°,若a-b+c=0,则|c|=( )
A.1B.3
C.2D.6
6.(2026·安徽蚌埠模拟)如图,在边长为3的正三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且AEEC=CDDB=2,则AD·DE=( )
A.3B.-1
C.-2D.-3
7.(2026·广东佛山模拟)已知a,b,c均为单位向量,且a⊥b,则a·c+2b·c的最大值为( )
A.3B.2
C.5D.3
8.(多选题)(2026·江苏扬州期中)已知正三角形ABC的边长为3,且D为边BC的中点,则下列结论正确的有( )
A.AB+BC+CA=0B.AB在BC上的投影向量为BD
C.(AB+AC)·BC=0D.AB·AD=274
9.(2026·湖北武汉模拟)已知向量a,b满足|a|=2,cs=14,且|a+b|=10,则|b|= .
10.(2026·湖北武汉期中)在△ABC中,已知AB=(1,3),BC=(1,-3),则△ABC的面积为 .
综合提升练
11.(2026·广东深圳模拟)已知α,β∈R,A(2cs β,2sin β),B(-2cs β,-2sin β),C(cs α,sin α),则AC·BC=( )
A.-3B.3
C.-1D.1
12.(2025·山东临沂三模)在平行四边形ABCD中,AB=3,AD=2,∠BAD=60°,P为边CD上一点,若AP⊥BD,则线段AP的长为( )
A.212B.5
C.3D.23
13.(多选题)(2026·辽宁大连模拟)已知|a|=1,|b|=2,|c|=22,且2a-b-c=0,则下列说法正确的有( )
A.a⊥b
B.若λa+3b(λ∈R)与2b+c共线,则λ=6
C.c在a上的投影向量为52a
D.若t∈R,则|a+tc|的最小值为22
14.(2026·山东济南模拟)设正方形ABCD的边长为4,动点P在以AB为直径的圆弧AB上,如图,则PC·PD的取值范围是 .
15.(2025·北京通州期末)已知a,b,c是同一平面上的三个向量,满足|a|=|b|=2,a·b=-2,则a与b的夹角等于 ;若c-a与c-b的夹角为π3,则|c|的最大值为 .
参考答案
课时规范练34 平面向量的数量积
1.B 解析 由题设2a+b=(5,2+m),又a·(2a+b)=12+m=15,解得m=3,则a-b=(2,1)-(1,3)=(1,-2),故|a-b|=5.故选B.
2.D 解析 ∵a=(0,1),b=(2,x),∴b-4a=(2,x)-4(0,1)=(2,x-4).∵b⊥(b-4a),∴b·(b-4a)=0,即(2,x)·(2,x-4)=4+x(x-4)=0,∴x=2.故选D.
3.D 解析 因为a-2b=(-3,1)-2(-1,2)=(-1,-3),则(a-2b)·b=-1×(-1)+(-3)×2=-5,|b|=(-1)2+22=5,故a-2b在b上的投影向量为(a-2b)·b|b|·b|b|=-55·(-1,2)=(1,-2).故选D.
4.D 解析 由题意知b-a=(-3,4-m),因为cs=b·(b-a)|b||b-a|=16-4m4×3+(4-m)2=12,化简得m2-8m+15=0,解得m=3或m=5,由=π3,得16-4m>0,因此m=3.故选D.
5.A 解析 因为a-b+c=0,所以c=b-a,
所以|c|=|b-a|=(b-a)2
=b2-2b·a+a2
=1-2×1×1×cs60°+1
=1-1+1=1.
故选A.
6.D 解析 依题意,由AEEC=CDDB=2可得BD=13BC,DC=23BC,EC=13AC,所以AD=AB+BD=AB+13BC=AB+13(AC−AB)=23AB+13AC,DE=DC+CE=23BC−13AC=23(AC−AB)-13AC=-23AB+13AC,因此AD·DE=(23AB+13AC)·(-23AB+13AC)=19|AC|2-49|AB|2=-3.故选D.
7.C 解析 由题意(a+2b)2=a2+4b2+4a·b=1+4+0=5,则|a+2b|=5,设a+2b与c的夹角为θ,则a·c+2b·c=(a+2b)·c=5×1×cs θ=5cs θ,显然最大值为5,此时θ=0.故选C.
8.ACD 解析 AB+BC+CA=AC+CA=AC+(-AC)=0,故A正确;AB在BC上的投影向量为AB·BC|BC|2·BC=(-BA)·BC|BC|2·BC=-|BA||BC|cs60°|BC|2·BC=-3×3×129·BC=-12BC=-BD,故B错误;因为D为边BC的中点,所以AB+AC=2AD,又因为AB=AC,所以AD⊥BC,所以(AB+AC)·BC=(2AD)·BC=2(AD·BC)=2×0=0,故C正确;依题意∠BAD=30°,|AB|=3,cs 30°=32,|AD|=32×3=332,所以AB·AD=3×332×32=3×3×34=3×94=274,故D正确.故选ACD.
9.2 解析 由|a+b|=10,得|a|2+2a·b+|b|2=10,即4+2×2·|b|×14+|b|2=10,整理得|b|2+|b|-6=0,解得|b|=2(|b|=-3舍去).
10.3 解析 因为AB=(1,3),BC=(1,-3),所以|AB|=1+3=2,|BC|=1+3=2.
又因为AB·BC=1×1+3×(-3)=-2,
所以cs=AB·BC|AB||BC|=-22×2=-12.
因为0≤≤π,
所以=2π3,
则∠ABC=π-=π3,
所以△ABC的面积为12|AB||BC|·sin∠ABC=12×2×2×32=3.
11.A 解析 因为A(2cs β,2sin β),B(-2cs β,-2sin β),C(cs α,sin α),所以AC=(cs α-2cs β,sin α-2sin β),BC=(cs α+2cs β,sin α+2sin β),所以AC·BC=(cs α-2cs β)(cs α+2cs β)+(sin α-2sin β)(sin α+2sin β)=cs2α-4cs2β+(sin2α-4sin2β)=sin2α+cs2α-4(sin2β+cs2β)=-3.
12.A 解析 设AP=AD+λAB(λ∈R),如图,因为AP⊥BD,所以AP·BD=(AD+λAB)(AD−AB)=AD2-λAB2+(λ-1)AB·AD=0,即4-9λ+(λ-1)×3×2×12=0,解得λ=16,所以AP=AD+16AB,|AP|=(AD+16AB) 2=AD2+136AB2+13AD·AB=4+14+13×3×2×12=212.
故选A.
13.ABD 解析 对于A,由2a-b-c=0可得2a-b=c,所以(2a-b)2=c2,得4|a|2-4a·b+|b|2=|c|2,又|a|=1,|b|=2,|c|=22,得-4a·b=0,所以a⊥b,故A正确;对于B,因为a⊥b,所以a与b不共线,因为c=2a-b,所以2b+c=2a+b,则λa+3b与2a+b共线,则λ=6,故B正确;对于C,c在a上的投影向量为c·a|a|2a=(2a-b)·a|a|2a=(2a2-a·b)a=2a,故C错误;对于D,|a+tc|=|(2t+1)a-tb|=(2t+1)2a2+t2b2-2t(2t+1)a·b=8t2+4t+1=8(t+14) 2+12,当且仅当t=-14时,|a+tc|取得最小值,最小值为22,故D正确.故选ABD.
14. [0,16] 解析 取CD的中点E,连接PE,则PC·PD=(PE+EC)·(PE+ED)=PE2+PE·(ED+EC)+EC·
ED=PE2+PE·0-EC2=PE2-4,易知|PE|∈[2,25],故PC·PD∈[0,16].
15.2π3 4 解析 因为cs=a·b|a||b|=-22×2=-12,又∈[0,π],所以=2π3.设AB=a,AC=b,则∠BAC=2π3.设AD=c,则CD=c-b,BD=c-a.因为c-a与c-b的夹角为π3,而=2π3,所以点D在两段优弧上(如图),
右上方的弧所在圆的半径为2,左下方的弧所在圆的半径为2且圆心为A,结合图形可得|c|的最大值为直径4.