2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用4.2　简单的三角恒等变换(5大考点+9大)(讲义+精练)(学生版+解析)

这是一份2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用4.2　简单的三角恒等变换(5大考点+9大)(讲义+精练)(学生版+解析)，共11页。
\l "_Tc202442984" 02 落实主干知识 PAGEREF _Tc202442984 \h 3
\l "_Tc202442985" 一、两角和与差公式 PAGEREF _Tc202442985 \h 3
\l "_Tc202442986" 二、二倍角公式 PAGEREF _Tc202442986 \h 3
\l "_Tc202442987" 三、降幂公式 PAGEREF _Tc202442987 \h 3
\l "_Tc202442988" 四、升幂公式 PAGEREF _Tc202442988 \h 3
\l "_Tc202442989" 五、辅助角公式 PAGEREF _Tc202442989 \h 4
\l "_Tc202442990" 常用二级结论 PAGEREF _Tc202442990 \h 4
\l "_Tc202442991" 03 探究核心题型 PAGEREF _Tc202442991 \h 6
\l "_Tc202442992" 题型一：两角和与差的三角函数公式 PAGEREF _Tc202442992 \h 6
\l "_Tc202442993" 题型二：两角和与差的三角函数公式的逆用 PAGEREF _Tc202442993 \h 7
\l "_Tc202442994" 题型三：辅助角公式的多种应用 PAGEREF _Tc202442994 \h 7
\l "_Tc202442995" 题型四：给值求值型问题 PAGEREF _Tc202442995 \h 8
\l "_Tc202442996" 题型五：给角求值型问题 PAGEREF _Tc202442996 \h 8
\l "_Tc202442997" 题型六：给值求角型问题 PAGEREF _Tc202442997 \h 9
\l "_Tc202442998" 题型七：正切恒等式的综合应用 PAGEREF _Tc202442998 \h 10
\l "_Tc202442999" 题型八：三角函数式的化简 PAGEREF _Tc202442999 \h 11
\l "_Tc202443000" 题型九：三角恒等变换的综合应用 PAGEREF _Tc202443000 \h 12
\l "_Tc202443001" 04 好题赏析（一题多解） PAGEREF _Tc202443001 \h 15
\l "_Tc202443003" ①数形结合 PAGEREF _Tc202443003 \h 16
\l "_Tc202443004" ②转化与化归 PAGEREF _Tc202443004 \h 16
\l "_Tc202443005" ③分类讨论 PAGEREF _Tc202443005 \h 17
\l "_Tc202443006" 06 课时精练（真题、模拟题） PAGEREF _Tc202443006 \h 18
\l "_Tc202443007" 基础过关篇 PAGEREF _Tc202443007 \h 18
\l "_Tc202443008" 能力拓展篇 PAGEREF _Tc202443008 \h 20
1、会推导两角差的余弦公式，会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.
2、掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用.
3、能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换.
一、两角和与差公式
①；③；
②；④；
⑤；变形公式：；
⑥；变形公式：．
二、二倍角公式
①；
②；
③
三、降幂公式
①；
②；
③．
四、升幂公式
①，
②；
③，
④．
五、辅助角公式
．
①其中辅助角是由方程，，．决定
②正弦在前，余弦在后（确保系数，不会弄反）
③利用系数算出所填角度的正切，正弦（余弦），决定所填角度的确切象限.
④保证，．
常用二级结论
1、积化和公式
①
②
③
2、和化积公式
①
②
③
④
3、化简小技巧：
①1的代换：；
②．
4、两角互组，两角互补，两角互余
①两角互组：
②两角互补：
③两角互余：
题型一：两角和与差的三角函数公式
【典例1-1】（2025·海南·模拟预测）若，且为锐角，为钝角，则（ ）
A．B．
C．D．
【典例1-2】（2025·高三·云南·期中）已知 ，且 ，则（ ）
A．B．C．D．
【解题总结】
(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.
(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.
【变式1-1】（2025·广东深圳·二模）若，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2025·山东潍坊·二模）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，其终边与圆交于点．若角终边沿逆时针方向旋转角，交圆于点，则角可能为（ ）
A．B．C．D．
题型二：两角和与差的三角函数公式的逆用
【典例2-1】（2025·广西·模拟预测）已知，则 （ ）
A．B．5C．D．
【典例2-2】（2025·云南·模拟预测）下列选项中，值为的是（ ）
A．B．
C．D．
【解题总结】
逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式.
【变式2-1】（2025·江西·二模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】（2025·湖南长沙·三模）已知，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【变式2-3】（2025·四川成都·模拟预测）已知，是第三象限角，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-4】（2025·河北·模拟预测）（ ）
A．2B．1C．0D．-2
题型三：辅助角公式的多种应用
【典例3-1】已知，则 ．
【典例3-2】已知关于的方程在上有两个不同的实数解，则这两个解的和为
【解题总结】
对化简时，要清楚如何求辅助角的值.
【变式3-1】已知，则的值为 .
【变式3-2】（2025·高三·河北·开学考试）已知实数，，，满足：，，，则的最大值为 .
【变式3-3】（2025·高三·辽宁·开学考试）已知均为正数，，则的最大值为 .
题型四：给值求值型问题
【典例4-1】（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知，则的值为 ．
【典例4-2】已知，满足，，则 ．
【解题总结】
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.
(2)当“已知角”有一个时，“所求角”一般表示为“已知角”与特殊角的和或差的形式，或者应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
【变式4-1】（2025·高三·广东深圳·期末）已知，则 ．
【变式4-2】已知，，，，则的值为 ．
【变式4-3】若和都为锐角，，则 .
【变式4-4】已知，，，则 .
题型五：给角求值型问题
【典例5-1】1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割，余割和余切.在某直角三角形中，一个锐角的斜边与邻边的比，叫做的正割，用表示；其斜边与对边的比，叫做的余割，用表示；其邻边与对边的比，叫做的余切，用表示，则（ ）
A．1B．C．2D．
【典例5-2】（2025·湖南永州·模拟预测）的值为（ ）
A．B．C．D．
【解题总结】
给角求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法．
【变式5-1】（2025·重庆·模拟预测）式子化简的结果为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-2】 ．
【变式5-3】求值： ．
【变式5-4】 ．
题型六：给值求角型问题
【典例6-1】已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
【典例6-2】已知，，，，则（ ）
A．B．或C．D．或
【解题总结】
针对给定三角函数值来求解对应角度的问题，其核心解决策略为：首先，依据已知条件计算出该待求角的某一特定三角函数（如正弦、余弦或正切等）的函数值；接着，结合题目所给信息明确待求角所在的取值范围；最后，综合运用三角函数的图象特征以及诱导公式等工具，准确求出该角度的具体数值 。
【变式6-1】设是方程的两根，且，则（ ）
A．B．C．或D．
【变式6-2】已知等差数列中，，，又，，其中，则的值为（ ）
A．或B．C．D．
【变式6-3】（2025·高三·河北·期中）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【变式6-4】已知，且，，则（ ）
A．B．C．D．
题型七：正切恒等式的综合应用
【典例7-1】（2025·陕西安康·模拟预测）计算：（ ）
A．B．1C．D．
【典例7-2】（ ）
A．2B．4C．D．
【解题总结】
当时，
【变式7-1】（2025·江西·一模）化简（ ）
A．B．C．1D．
【变式7-2】在中，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式7-3】（ ）
A．B．1C．D．
【变式7-4】（2025·河南·模拟预测）（ ）
A．B．C．1D．2
【变式7-5】（2025·全国·模拟预测）已知正项等差数列满足，，则值为（ ）
A．B．C．D．
题型八：三角函数式的化简
【典例8-1】（多选题）下列式子化简正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【典例8-2】（多选题）下列选项化简值为1的有（ ）
A．B．
C．D．
【解题总结】
(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征.
(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点.
【变式8-1】（多选题）（2025·广东佛山·模拟预测）下列化简正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式8-2】（多选题）下列化简正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式8-3】（多选题）下列化简结果正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式8-4】（多选题）下列计算或化简正确的是（ ）
A．B．
C．若，则D．若为第二象限角，则
题型九：三角恒等变换的综合应用
【典例9-1】（1）求证：；
（2）已知，，求的值．
【典例9-2】已知，，，，.
(1)求，的值；
(2)求的值.
【解题总结】
进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用.
【变式9-1】已知．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
【变式9-2】已知，且均为锐角．
(1)求的值；
(2)求的值．
【变式9-3】已知，为锐角，，．
(1)求证：；
(2)求的值．
【变式9-4】已知函数（其中）的最小正周期为.
(1)若，求的值；
(2)已知，求的值.
1．已知，是函数在上的两个零点，则（ ）
A．B．C．D．0
2．若，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知，，则
A．3B．C．D．2
4．已知，，则
A．B．C．D．
①数形结合
1．如图所示，
A．B．C．D．
2．在平面直角坐标系xOy中，第一象限内的点和第二象限内的点都在单位图O上，，，其中，，若，则的值为
A．B．C．D．
3．已知正n边形的边长为a，内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则，其中（ ）
A．B．C．D．
②转化与化归
4．已知，则（ ）
A．B．C．2D．3
5．已知，，则
A．B．C．D．
6．若，，则
A．B．C．D．
③分类讨论
7．已知，，则（ ）
A．0B．C．1D．
8．已知，，则
A．0B．C．1D．
9．已知，都是锐角，且，则（ ）
A．B．C．D．
基础过关篇
1．（2025年高考全国二卷数学真题）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知，则（ ）．
A．B．C．D．
5．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知为锐角，，则（ ）．
A．B．C．D．
6．（2022年新高考全国II卷数学真题）若，则（ ）
A．B．
C．D．
7．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 .
8．（2023年上海秋季高考数学试题（网络收集版））已知，则= .
9．（2022年新高考浙江数学高考真题）若，则 ， ．
10．（2025·湖南长沙·模拟预测）若关于的方程在上有个实根，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
11．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知，则（ ）．
A．B．C．D．
12．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
13．（2025·甘肃白银·一模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
14．（2025·吉林长春·模拟预测）已知，则的值是（ ）
A．B．C．D．
15．（2025·安徽蚌埠·三模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
16．（2025·安徽芜湖·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
17．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
18．（多选题）（2025·福建福州·模拟预测）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，β终边经过点， 则（ ）
A．B．β终边在第二象限
C． D．
19．（多选题）（2025·吉林·模拟预测）已知向量，，若，则可能为（ ）
A．B．C．D．
20．（多选题）（2025·山东聊城·三模）已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
21．（多选题）（2025·湖北·模拟预测）已知单位圆的内接正边形的边长、周长和面积分别为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
22．（2025·高三·河南许昌·期中）当时，，则 .
23．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为，若， .
24．（2025·浙江杭州·模拟预测）若，则 .
25．（2025·全国·二模）已知，则 ．
26．（2025·山东青岛·模拟预测）已知，，则 .
27．（2025·山东泰安·模拟预测）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于直线对称.若，则= .
能力拓展篇
28．（2025·广东揭阳·模拟预测）已知定义在实数集上的函数满足，则的取值范围为 ．
29．（2025·陕西汉中·二模）设是关于的方程的一个实根，其中为常数，则 ．
30．（2025·四川德阳·二模）若关于的方程在区间上有且仅有一个实数解，则实数 ．
31．已知集合，，设函数．
(1)当时，证明：函数是常数函数：
(2)已知，写出所有使函数是常数函数的集合．
4.2 简单的三角恒等变换
目录 TOC \ "1-2" \h \z \u
\l "_Tc202442983" 01 课标要求 PAGEREF _Tc202442983 \h 2
\l "_Tc202442984" 02 落实主干知识 PAGEREF _Tc202442984 \h 3
\l "_Tc202442985" 一、两角和与差公式 PAGEREF _Tc202442985 \h 3
\l "_Tc202442986" 二、二倍角公式 PAGEREF _Tc202442986 \h 3
\l "_Tc202442987" 三、降幂公式 PAGEREF _Tc202442987 \h 3
\l "_Tc202442988" 四、升幂公式 PAGEREF _Tc202442988 \h 3
\l "_Tc202442989" 五、辅助角公式 PAGEREF _Tc202442989 \h 4
\l "_Tc202442990" 常用二级结论 PAGEREF _Tc202442990 \h 4
\l "_Tc202442991" 03 探究核心题型 PAGEREF _Tc202442991 \h 6
\l "_Tc202442992" 题型一：两角和与差的三角函数公式 PAGEREF _Tc202442992 \h 6
\l "_Tc202442993" 题型二：两角和与差的三角函数公式的逆用 PAGEREF _Tc202442993 \h 8
\l "_Tc202442994" 题型三：辅助角公式的多种应用 PAGEREF _Tc202442994 \h 10
\l "_Tc202442995" 题型四：给值求值型问题 PAGEREF _Tc202442995 \h 13
\l "_Tc202442996" 题型五：给角求值型问题 PAGEREF _Tc202442996 \h 16
\l "_Tc202442997" 题型六：给值求角型问题 PAGEREF _Tc202442997 \h 18
\l "_Tc202442998" 题型七：正切恒等式的综合应用 PAGEREF _Tc202442998 \h 22
\l "_Tc202442999" 题型八：三角函数式的化简 PAGEREF _Tc202442999 \h 24
\l "_Tc202443000" 题型九：三角恒等变换的综合应用 PAGEREF _Tc202443000 \h 28
\l "_Tc202443001" 04 好题赏析（一题多解） PAGEREF _Tc202443001 \h 32
\l "_Tc202443003" ①数形结合 PAGEREF _Tc202443003 \h 36
\l "_Tc202443004" ②转化与化归 PAGEREF _Tc202443004 \h 38
\l "_Tc202443005" ③分类讨论 PAGEREF _Tc202443005 \h 39
\l "_Tc202443006" 06 课时精练（真题、模拟题） PAGEREF _Tc202443006 \h 41
\l "_Tc202443007" 基础过关篇 PAGEREF _Tc202443007 \h 41
\l "_Tc202443008" 能力拓展篇 PAGEREF _Tc202443008 \h 53
1、会推导两角差的余弦公式，会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.
2、掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用.
3、能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换.
一、两角和与差公式
①；③；
②；④；
⑤；变形公式：；
⑥；变形公式：．
二、二倍角公式
①；
②；
③
三、降幂公式
①；
②；
③．
四、升幂公式
①，
②；
③，
④．
五、辅助角公式
．
①其中辅助角是由方程，，．决定
②正弦在前，余弦在后（确保系数，不会弄反）
③利用系数算出所填角度的正切，正弦（余弦），决定所填角度的确切象限.
④保证，．
常用二级结论
1、积化和公式
①
②
③
2、和化积公式
①
②
③
④
3、化简小技巧：
①1的代换：；
②．
4、两角互组，两角互补，两角互余
①两角互组：
②两角互补：
③两角互余：
题型一：两角和与差的三角函数公式
【典例1-1】（2025·海南·模拟预测）若，且为锐角，为钝角，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意可知，，
所以，，得，
又，且，所以，
.
故选：B．
【典例1-2】（2025·高三·云南·期中）已知 ，且 ，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以，即，
整理得，即；
因为，
由于，，
所以，即，
故选：C．
【解题总结】
(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.
(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.
【变式1-1】（2025·广东深圳·二模）若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，则，
所以，
因此
.
故选：A.
【变式1-2】的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，
故选：D．
【变式1-3】（2025·山东潍坊·二模）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，其终边与圆交于点．若角终边沿逆时针方向旋转角，交圆于点，则角可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为角的终边与圆交于点，
所以由任意角三角函数定义得，，
设旋转后的角为，且旋转后的角交圆于点，
则由任意三角函数的定义得，，
得到，
，
故，当时，，故D正确.
故选：D
题型二：两角和与差的三角函数公式的逆用
【典例2-1】（2025·广西·模拟预测）已知，则 （ ）
A．B．5C．D．
【答案】A
【解析】因为，
所以，
所以，
即，
所以，即
故选：A.
【典例2-2】（2025·云南·模拟预测）下列选项中，值为的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】A、利用二倍角公式，
可得：，A错误.
B、利用余弦和角公式，
得：因此原式为：，B错误.
C、利用正切和角公式，令，
则，C正确.
D、利用递推积化和差公式，结合，得：.
D错误.
故选：C.
【解题总结】
逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式.
【变式2-1】（2025·江西·二模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由有，，即，
由有，，即②，
①+②得，，
即，则，解得.
故选：B.
【变式2-2】（2025·湖南长沙·三模）已知，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
所以，即，
所以，
因为，，所以，，
因为正弦函数在上单调递增，所以，即.
故选：D.
【变式2-3】（2025·四川成都·模拟预测）已知，是第三象限角，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，
，又是第三象限角，．
从而.
故选：B
【变式2-4】（2025·河北·模拟预测）（ ）
A．2B．1C．0D．-2
【答案】C
【解析】，
故选：C.
题型三：辅助角公式的多种应用
【典例3-1】已知，则 ．
【答案】
【解析】因为，所以，
所以，即，
所以，即，解得，
所以，
故答案为：.
【典例3-2】已知关于的方程在上有两个不同的实数解，则这两个解的和为
【答案】
【解析】因为，
所以，
关于的方程在上有两个不同的实数解，
即直线在上的图象有两个不同的交点，
设关于的方程两相异实数根为，
因为函数的图象在区间上的对称轴为，
所以.
故答案为：
【解题总结】
对化简时，要清楚如何求辅助角的值.
【变式3-1】已知，则的值为 .
【答案】
【解析】，
，
故答案为：.
【变式3-2】（2025·高三·河北·开学考试）已知实数，，，满足：，，，则的最大值为 .
【答案】/
【解析】依题可设，，，，
由，可得
而，
可先求的最小值，
设，则，
从而有
，
因此，
解得
则，
可知最大值为
故答案为：
【变式3-3】（2025·高三·辽宁·开学考试）已知均为正数，，则的最大值为 .
【答案】
【解析】因为，
当且仅当，即时，等号成立，
又因为，，设，
则，
其中，
可知的最大值为，其中，即，
可得，
综上所述：的最大值为，其中.
故答案为：.
题型四：给值求值型问题
【典例4-1】（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知，则的值为 ．
【答案】
【解析】因为，
即，解得，
所以
.
故答案为：
【典例4-2】已知，满足，，则 ．
【答案】/
【解析】由，，
有．
故答案为：
【解题总结】
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.
(2)当“已知角”有一个时，“所求角”一般表示为“已知角”与特殊角的和或差的形式，或者应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
【变式4-1】（2025·高三·广东深圳·期末）已知，则 ．
【答案】/
【解析】因为，所以，又，
所以，所以，
所以，
所以.
故答案为：
【变式4-2】已知，，，，则的值为 ．
【答案】/
【解析】，，，，
，，
，.
.
故答案为：.
【变式4-3】若和都为锐角，，则 .
【答案】
【解析】因为和都为锐角，则，
且，可得，
所以.
故答案为：.
【变式4-4】已知，，，则 .
【答案】
【解析】由题意可知，所以，
即，
又，所以，
则，
所以，
所以.
故答案为：
题型五：给角求值型问题
【典例5-1】1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割，余割和余切.在某直角三角形中，一个锐角的斜边与邻边的比，叫做的正割，用表示；其斜边与对边的比，叫做的余割，用表示；其邻边与对边的比，叫做的余切，用表示，则（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【解析】依题意可得，，，
所以
.
故选：B
【典例5-2】（2025·湖南永州·模拟预测）的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】.
故选：D.
【解题总结】
给角求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法．
【变式5-1】（2025·重庆·模拟预测）式子化简的结果为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】原式
.
故选：B.
【变式5-2】 ．
【答案】
【解析】
.
故答案为：.
【变式5-3】求值： ．
【答案】
【解析】方法一：原式
；
方法二：令原式乘以得，
，
则原式．
故答案为：.
【变式5-4】 ．
【答案】
【解析】由正切的和角公式得若，则，再根据此结论求解即可得答案.∵ ，，
∴，
∴ ．
∴
故答案为：
题型六：给值求角型问题
【典例6-1】已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，且，
所以
所以，
所以，
因为，所以，
故选：A．
【典例6-2】已知，，，，则（ ）
A．B．或C．D．或
【答案】C
【解析】由，得，
则，而，解得，
因此，由，，
得或，则，
所以.
故选：C
【解题总结】
针对给定三角函数值来求解对应角度的问题，其核心解决策略为：首先，依据已知条件计算出该待求角的某一特定三角函数（如正弦、余弦或正切等）的函数值；接着，结合题目所给信息明确待求角所在的取值范围；最后，综合运用三角函数的图象特征以及诱导公式等工具，准确求出该角度的具体数值 。
【变式6-1】设是方程的两根，且，则（ ）
A．B．C．或D．
【答案】B
【解析】因为是方程的两根，
所以，
所以，
因为，所以，所以，
则，
所以.
故选：B.
【变式6-2】已知等差数列中，，，又，，其中，则的值为（ ）
A．或B．C．D．
【答案】D
【解析】，
，，
，
，
.又，
，
.
，，，
.
故选：D.
【变式6-3】（2025·高三·河北·期中）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，得，所以，
又，
所以，
所以，
又，所以，
所以.
故选：D.
【变式6-4】已知，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，，
所以，
所以，
，
所以，又，
所以，
又，
所以，
所以，
故
，
因为，，
所以，则．
解法二：因为，
所以，，
∵，
所以，，，
所以，
所以，
所以，
故选：C.
题型七：正切恒等式的综合应用
【典例7-1】（2025·陕西安康·模拟预测）计算：（ ）
A．B．1C．D．
【答案】D
【解析】因为，
所以，
所以
，
故选：D．
【典例7-2】（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】B
【解析】因为，
所以，
所以.
故选：B.
【解题总结】
当时，
【变式7-1】（2025·江西·一模）化简（ ）
A．B．C．1D．
【答案】D
【解析】由两角和的正切公式得
由诱导公式得，
则原式可化为，故D正确.
故选：D.
【变式7-2】在中，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
即，所以，
又因为，所以，于是，
故选：B．
【变式7-3】（ ）
A．B．1C．D．
【答案】B
【解析】因为，
所以，
故选：B.
【变式7-4】（2025·河南·模拟预测）（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【解析】因为
.
故选：B.
【变式7-5】（2025·全国·模拟预测）已知正项等差数列满足，，则值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以，即，
所以，.又，所以，
解得，故.
故选：B.
题型八：三角函数式的化简
【典例8-1】（多选题）下列式子化简正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】对于A，由诱导公式可知，逆用两角和的余弦公式可得
，
故A错误；
对于B，由诱导公式可知，逆用二倍角的正弦公式可得
，故B正确；
对于C，由辅助角公式可知，
故C正确；
对于D，逆用两角和的正切公式可得，故D正确.
故选：BCD.
【典例8-2】（多选题）下列选项化简值为1的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】对于A, ，A错误，
对于B，，B正确，
对于C, ，C正确，
对于D，
，故D错误，
故选：BC
【解题总结】
(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征.
(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点.
【变式8-1】（多选题）（2025·广东佛山·模拟预测）下列化简正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】对于A，，故A错误．
对于B，由
，故B正确；
对于C，∵设，
则，
而，故即，故C正确．
对于D，
，所以D正确.
故选：BCD.
【变式8-2】（多选题）下列化简正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】对于A，因为，
所以，
所以，故A错误；
对于B，因为，
所以
，故B正确；
对于C，设，
因为，
所以，
因为，
所以，
所以，故C正确；
对于D，，故D正确，
故选：BCD．
【变式8-3】（多选题）下列化简结果正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】选项A，
，故A错误；
选项B，，故B正确；
选项C，由，
，
则，故C错误；
选项D，，故D正确.
故选：BD.
【变式8-4】（多选题）下列计算或化简正确的是（ ）
A．B．
C．若，则D．若为第二象限角，则
【答案】ACD
【解析】，A正确；
由，可得，B错误；，C正确；
若为第二象限角,所以，，
，D正确；
故选：ACD．
题型九：三角恒等变换的综合应用
【典例9-1】（1）求证：；
（2）已知，，求的值．
【解析】（1）等式左边，
等式右边，即左边右边，故等式成立．
（2）由，可得：，
解得，，
即．
【典例9-2】已知，，，，.
(1)求，的值；
(2)求的值.
【解析】（1），.
，，
又，.
，则.
由，可得，
即，所以.
又，.
.
（2）由（1）可知，，
，，则.
所以
.
【解题总结】
进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用.
【变式9-1】已知．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
【解析】（1）由，得，
所以.
（2）由，得，由，
得，则
，
所以.
【变式9-2】已知，且均为锐角．
(1)求的值；
(2)求的值．
【解析】（1）均为锐角， ，，
故，
又，，
，
，
故；
（2），
，，
.
【变式9-3】已知，为锐角，，．
(1)求证：；
(2)求的值．
【解析】（1）因为，
所以，又，
所以，
所以，即，
所以；
（2），
所以，
因为为锐角，所以，，所以，
所以，所以.
【变式9-4】已知函数（其中）的最小正周期为.
(1)若，求的值；
(2)已知，求的值.
【解析】（1），
因为，所以，则，
所以.
因为，所以原式.
（2）因为，所以，
因为，所以，则，
所以.
1．已知，是函数在上的两个零点，则（ ）
A．B．C．D．0
【答案】B
【解析】
解法一：依题意，，故，
由，
得，且，
所以，是方程的两个异根．
同理可证，，为方程的两个异根．可以得到，
理由如下：假设，则，又，则，这与已知相悖，故
从而，为方程的两个异根，
故同理可求，
所以
解法二：令，得
令，即，
则，即为与直线在上交点的横坐标，
由图象可知，，故，
又，
所以
解法三：依题意，不妨设，
则点，为直线与单位圆的两个交点，
如图所示．取AB中点为H，则，记则，
所以，
另一方面，，，故，
从而
故选：
2．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
解法一：设则，取，排除B，D
再取则，取，排除选
解法二：由
，
故
故，即，
故，
故，故
3．已知，，则
A．3B．C．D．2
【答案】A
【解析】
方法一：因为，所以，
，因为，所以，
．
方法二：由及，解得，所以，
4．已知，，则
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
解法一：，
，
，
且，
又，
负值舍去
解法二：，
又，
，
如图，构造直角三角形，易知
①数形结合
1．如图所示，
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
由题图可知，，，，，
故，
故
故选
2．在平面直角坐标系xOy中，第一象限内的点和第二象限内的点都在单位图O上，，，其中，，若，则的值为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
第一象限内的点和第二象限内的点都在单位圆O上，
且，，其中，，
若，则，，
，
，两边平方化简得，即，解得或
由图象可得，，所以，故
故本题选
3．已知正n边形的边长为a，内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则，其中（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
设O为内切圆的圆心，OB和OA分别是内切圆的半径，外接圆半径；
如图所示：
则，，
所以，，
在中，，即，
所以，
，即，
整理得：，
所以
故
故选：
②转化与化归
4．已知，则（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】C
【解析】根据题意可得 ，
解得，
故选
5．已知，，则
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
因为
，
所以，
两边除以，又，
得
故选：
6．若，，则
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，
又，所以，，
所以，
所以
故选：
③分类讨论
7．已知，，则（ ）
A．0B．C．1D．
【答案】A
【解析】依题意，，
若，则，而，不符合题意；
故，，
所以，
则，即
故选
8．已知，，则
A．0B．C．1D．
【答案】A
【解析】依题意，，
若，则，而，
与矛盾，得到，，
所以，
则，即，则A正确．
故选：
9．已知，都是锐角，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
，都是锐角，且，
，
，
，
，或，
舍去，或，
，都是锐角，
当时，，
故选：
基础过关篇
1．（2025年高考全国二卷数学真题）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，
因为，则，则，
则.
故选：D.
2．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
而，所以，
故即，
从而，故，
故选：A.
3．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，
所以，，
所以，
故选：B.
4．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，而，因此，
则，
所以.
故选：B
5．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知为锐角，，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，而为锐角，
解得：．
故选：D．
6．（2022年新高考全国II卷数学真题）若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】[方法一]：直接法
由已知得：,
即：，
即：
所以
故选：C
[方法二]：特殊值排除法
解法一:设β=0则sinα +csα =0，取，排除A, B；
再取α=0则sinβ +csβ= 2sinβ，取β，排除D；选C.
[方法三]：三角恒等变换

所以
即
故选：C.
7．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 .
【答案】
【解析】法一：由题意得，
因为，，
则，，
又因为，
则，，则，
则，联立 ，解得.
法二： 因为为第一象限角，为第三象限角，则,
，，
则

故答案为：.
8．（2023年上海秋季高考数学试题（网络收集版））已知，则= .
【答案】/
【解析】已知，则.
故答案为：
9．（2022年新高考浙江数学高考真题）若，则 ， ．
【答案】
【解析】[方法一]：利用辅助角公式处理
∵，∴，即，
即，令，，
则，∴，即，
∴ ，
则.
故答案为：；.
[方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程
∵，∴，即，
又，将代入得，解得，
则.
故答案为：；.
10．（2025·湖南长沙·模拟预测）若关于的方程在上有个实根，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】原方程可化为.
令，则，所以.
令，，
又在上单调递减，所以，则.
当时，，此时在只有个实根，不符合条件；
当时，，此时在有个实根，符合条件，
故选：A.
11．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因，且，由，解得，
所以．
故选：A.
12．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意有，
所以，
故选：D.
13．（2025·甘肃白银·一模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】.
.
故选：D.
14．（2025·吉林长春·模拟预测）已知，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，
所以
.
故选：D.
15．（2025·安徽蚌埠·三模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以，
因为 ，所以，
所以


==.
故选：D.
16．（2025·安徽芜湖·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据题意，，
.
故选：A.
17．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，即，
设，即，，
则，得，
因为，得到．
故选：C．
18．（多选题）（2025·福建福州·模拟预测）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，β终边经过点， 则（ ）
A．B．β终边在第二象限
C． D．
【答案】AD
【解析】由题意可得， A正确；
由于，故可在第一象限或第三象限，
在第一象限时，，则在第二象限，
在第三象限时，，则在第四象限，
即β终边在第二象限或第四象限，B错误；
由于，在第一象限时，，
此时在第二象限，，则，
故；
；
在第三象限时，，
此时在第四象限，，则，
故，
，C错误，D正确；
故选：AD
19．（多选题）（2025·吉林·模拟预测）已知向量，，若，则可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【解析】，以为临边的平行四边形对角线相等，
，
，
，，时，，
故选：ACD．
20．（多选题）（2025·山东聊城·三模）已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】A选项，已知，，
则，A错误；
B选项，，B正确；
C选项，，所以，C正确；
D选项，
，D错误；
故选：BC.
21．（多选题）（2025·湖北·模拟预测）已知单位圆的内接正边形的边长、周长和面积分别为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】对于A，单位圆的内接正边形的中心角为，
如图设，过作于点，则，
，故A错误；
对于B，由A的结论，，则，
则，故B正确；
对于C，，
则，故，故C正确；
对于D，由上分析，，则，
故
，故D正确.
故选：BCD
22．（2025·高三·河南许昌·期中）当时，，则 .
【答案】
【解析】因为，
所以，
所以，所以，
即，
解得或，又，所以，
所以，所以，所以，所以.
故答案为：
23．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为，若， .
【答案】2
【解析】因为，，所以，
故答案为：
24．（2025·浙江杭州·模拟预测）若，则 .
【答案】
【解析】.
故答案为：.
25．（2025·全国·二模）已知，则 ．
【答案】
【解析】，即，
.
故答案为：.
26．（2025·山东青岛·模拟预测）已知，，则 .
【答案】
【解析】由，，
则，
所以，
则.
故答案为：.
27．（2025·山东泰安·模拟预测）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于直线对称.若，则= .
【答案】
【解析】∵角与角均以为始边，它们的终边关于直线对称.，
∴
∴
故答案为：.
能力拓展篇
28．（2025·广东揭阳·模拟预测）已知定义在实数集上的函数满足，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】解法一：移项平方得：，
令，则，故，
相减可得，
故，即，
设，
．
解法二：移项平方化简得：．
记，则，故，
相减可得，
故．
．
由均值不等式得，
故．
故答案为：.
29．（2025·陕西汉中·二模）设是关于的方程的一个实根，其中为常数，则 ．
【答案】4
【解析】设，则，
，整理得，
而是关于的方程的实根，
所以.
故答案为：4.
30．（2025·四川德阳·二模）若关于的方程在区间上有且仅有一个实数解，则实数 ．
【答案】
【解析】由，
所以，
整理得，
所以，而，则，
故，结合对勾函数的性质，
在上单调递增且值域为，
在上单调递减且值域为，
要使在区间上有且仅有一个实数解，
只需时，此时.
故答案为：.
31．已知集合，，设函数．
(1)当时，证明：函数是常数函数：
(2)已知，写出所有使函数是常数函数的集合．
【解析】（1）当时，，所以是常数函数.
（2）当，不妨令，
则
，
若函数是常数函数，则，
利用可得到，，
打开化简得，
得或，，所以或，；
同理或，；或，；
则，又，
所以集合有，，，共4个.