2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第04讲简单的三角恒等变换(精讲)(原卷版+解析)

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TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc31514" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc31514 \h 1
\l "_Tc12003" 第二部分：高考真题回顾 PAGEREF _Tc12003 \h 2
\l "_Tc30382" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc30382 \h 2
\l "_Tc19594" 高频考点一：三角函数式的化简 PAGEREF _Tc19594 \h 2
\l "_Tc32555" 高频考点二：三角函数求值问题（给角求值型） PAGEREF _Tc32555 \h 4
\l "_Tc22232" 高频考点三：三角函数求值问题（给值求值型） PAGEREF _Tc22232 \h 5
\l "_Tc7313" 高频考点四：三角函数求值问题（给值求角型） PAGEREF _Tc7313 \h 6
\l "_Tc21208" 高频考点五：半角公式 PAGEREF _Tc21208 \h 8
\l "_Tc4257" 高频考点六：万能公式 PAGEREF _Tc4257 \h 8
\l "_Tc4254" 第四部分：典型易错题型 PAGEREF _Tc4254 \h 9
第一部分：基础知识
1、半角公式
（1）.
（2）.
（3）.
2、万能公式（拓展视野）
（1）
（2）
（3）其中
3、和差化积公式（拓展视野）
4、积化和差公式（拓展视野）
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为锐角，，则（ ）．
A．B．C．D．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：三角函数式的化简
典型例题
例题1．（24-25高一下·江苏盐城·期中）设，，，则有（ ）
A．B．C．D．
例题2．（23-24高一下·全国·课后作业）（1）已知，求的值；
（2）已知，试求的值；
例题3．（23-24高一·全国·课后作业）已知，求，，的值．
精练高频考点
1．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，，求、、的值.
2．（2024高一上·全国·专题练习）化简，其中．
3．（24-25高一上·陕西西安·期末）（1）化简：；
（2）求值：．
高频考点二：三角函数求值问题（给角求值型）
典型例题
例题1．（23-24高一下·安徽芜湖·开学考试）（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2025·湖南永州·模拟预测）的值为（ ）
A．B．C．D．
精练高频考点
1．（24-25高一下·江苏宿迁·阶段练习）（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高一·全国·课后作业） ．
3．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）计算求值：
(1)计算的值；
(2)已知、均为锐角，，，求的值．
高频考点三：三角函数求值问题（给值求值型）
典型例题
例题1．（24-25高一下·湖北咸宁·期末）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2025·内蒙古包头·模拟预测）已知，则 .
例题3．（24-25高一下·江西南昌·期中）已知，，，．
(1)求的值；
(2)求的值．
精练高频考点
1．（24-25高三上·山东淄博·期末）已知，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·山东烟台·期末）若，则（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高一下·江苏宿迁·阶段练习）已知
(1)求的值；
(2)求的值.
高频考点四：三角函数求值问题（给值求角型）
典型例题
例题1．（24-25高一下·四川内江·期中）已知，，且、是方程的两根，则的值为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（24-25高一下·四川成都·期中）已知锐角，满足，
(1)求的值．
(2)求的大小．
例题3．（24-25高一下·江苏·阶段练习）已知，.
(1)求和的值；
(2)若，为锐角，求的值；
(3)若，为锐角，求角.
精练高频考点
1．（24-25高三下·重庆·阶段练习）设是方程的两根，且，则（ ）
A．B．C．或D．
2．（24-25高一下·四川德阳·阶段练习）已知，，，．
(1)求；
(2)求．
3．（24-25高一下·四川成都·期末）已知．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
高频考点五：半角公式
典型例题
例题1．（24-25高三上·陕西·阶段练习）如果，，那么（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2025·辽宁本溪·模拟预测）若，且，则 .
例题3．（24-25高三上·吉林长春·期末）若，且，是的两个根，则 .
精练高频考点
1．（24-25高一下·辽宁·期中）已知是第四象限角，若，则（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高一下·河北保定·开学考试）已知，.
(1)求的值；
(2)求的值．
高频考点六：万能公式
典型例题
例题1．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（24-25高一·全国·课后作业）已知且，求：
(1)；
(2)．
精练高频考点
1．（23-24高一下·江苏南京·期中）已知，且，则（ ）
A．B．C．D．或
2．（2024·河北·模拟预测）若，则（ ）
A．B．C．D．1
3．（24-25高三上·湖南·阶段练习）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于直线对称，若，则 .
第四部分：典型易错题型
易错点一：求角时忽略了角的范围而造成错误
1．（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）若，且，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·广东梅州·阶段练习）已知，，，，则（ ）
A．B．或C．D．或
3．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知，，，，则 ．
第04讲 简单的三角恒等变换
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc31514" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc31514 \h 1
\l "_Tc12003" 第二部分：高考真题回顾 PAGEREF _Tc12003 \h 2
\l "_Tc30382" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc30382 \h 3
\l "_Tc19594" 高频考点一：三角函数式的化简 PAGEREF _Tc19594 \h 3
\l "_Tc32555" 高频考点二：三角函数求值问题（给角求值型） PAGEREF _Tc32555 \h 6
\l "_Tc22232" 高频考点三：三角函数求值问题（给值求值型） PAGEREF _Tc22232 \h 8
\l "_Tc7313" 高频考点四：三角函数求值问题（给值求角型） PAGEREF _Tc7313 \h 11
\l "_Tc21208" 高频考点五：半角公式 PAGEREF _Tc21208 \h 15
\l "_Tc4257" 高频考点六：万能公式 PAGEREF _Tc4257 \h 18
\l "_Tc4254" 第四部分：典型易错题型 PAGEREF _Tc4254 \h 21
第一部分：基础知识
1、半角公式
（1）.
（2）.
（3）.
2、万能公式（拓展视野）
（1）
（2）
（3）其中
3、和差化积公式（拓展视野）
4、积化和差公式（拓展视野）
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为锐角，，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．
【详解】因为，而为锐角，
解得：．
故选：D．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：三角函数式的化简
典型例题
例题1．（24-25高一下·江苏盐城·期中）设，，，则有（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用辅助角公式，二倍角的正弦，余弦公式化简，利用正弦函数的单调性比较大小即可.
【详解】，
，
，
由于在上单调递增，所以，
即，
故选：D
例题2．（23-24高一下·全国·课后作业）（1）已知，求的值；
（2）已知，试求的值；
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）先用和差化积公式分别将进行变形，求出，再用万能公式求得的值；
（2）先用和差化积公式分别将进行变形，求出，再用万能公式求得的值；
【详解】（1）.
又.
由①②，得，即.
；
（2）因为，所以.①
又因为，所以. ②
因为，
所以由①②，得，即.
所以
.
例题3．（23-24高一·全国·课后作业）已知，求，，的值．
【答案】；；
【分析】用半角公式计算．
【详解】解 ，
，
．
精练高频考点
1．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，，求、、的值.
【答案】，，.
【分析】由的范围可得，进而利用半角公式即可求解.
【详解】∵，，
∴，，
∴，
，
.
2．（2024高一上·全国·专题练习）化简，其中．
【答案】
【分析】利用二倍角的余弦公式，结合所在的象限化简，利用辅助角公式计算即可.
【详解】由，可得，
所以，
由，可知，
得原式．
3．（24-25高一上·陕西西安·期末）（1）化简：；
（2）求值：．
【答案】（1）；（2）1
【分析】（1）化切为弦，结合正弦和余弦的倍角公式和半角公式得到答案；
（2）化切为弦，结合辅助角公式和诱导公式进行求解.
【详解】（1）；
（2）
.
高频考点二：三角函数求值问题（给角求值型）
典型例题
例题1．（23-24高一下·安徽芜湖·开学考试）（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用诱导公式、二倍角公式及齐次式法求值化简即得.
【详解】
.
故选：A
例题2．（2025·湖南永州·模拟预测）的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】先将进行变形，再利用三角函数中辅助角公式、二倍角的正弦公式化简计算即可．
【分析】.
故选：D.
精练高频考点
1．（24-25高一下·江苏宿迁·阶段练习）（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用切化弦、辅助角公式、二倍角公式以及诱导公式化简可得所求代数式的值.
【详解】
.
故选：C.
2．（23-24高一·全国·课后作业） ．
【答案】
【分析】先根据切化弦以及二倍角的余弦公式化简原式，然后利用辅助角公式以及二倍角的正弦公式进行化简，由此可求结果.
【详解】原式，
故答案为：.
3．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）计算求值：
(1)计算的值；
(2)已知、均为锐角，，，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式、辅助角公式、二倍角的正弦公式化简可得结果；
（2）利用同角三角函数的基本关系可求得、的值，再利用两角差的正弦公式可求得的值.
【详解】（1）解：
．
（2）解：、都为锐角，则，
，，
．
高频考点三：三角函数求值问题（给值求值型）
典型例题
例题1．（24-25高一下·湖北咸宁·期末）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用半角公式，结合角的范围进行求解，得到答案.
【详解】，故，故，
所以.
故选：D
例题2．（2025·内蒙古包头·模拟预测）已知，则 .
【答案】
【分析】以为整体，利用诱导公式可得，再根据倍角公式结合齐次式问题运算求解.
【详解】因为
由
.
故答案为：.
例题3．（24-25高一下·江西南昌·期中）已知，，，．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由角范围分析依次求得、即可由结合两角和余弦公式求解；
（2）由（1）和结合两角差的正切公式求解.
【详解】（1）因为，，所以，
又因，， 故，
因为， ，则，
则．
又因为，
所以
（2）由1知：， ，
因为，所以
精练高频考点
1．（24-25高三上·山东淄博·期末）已知，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意切化弦可得，再结合两角和差公式运算求解.
【详解】因为，可得，
又因为，可得，
所以.
故选：C.
2．（24-25高三上·山东烟台·期末）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先将用表示为，再利用诱导公式和二倍角公式求解即得.
【详解】因，
则.
故选：A.
3．（24-25高一下·江苏宿迁·阶段练习）已知
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式可得出，在该等式两边平方，结合二倍角的正弦公式可求得的值；
（2）利用二倍角的余弦公式、两角和的余弦公式化简可得所求代数式的值.
【详解】（1）因为，
所以，，
故.
（2）.
高频考点四：三角函数求值问题（给值求角型）
典型例题
例题1．（24-25高一下·四川内江·期中）已知，，且、是方程的两根，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据韦达定理，结合两角和的正切公式，即可求解，结合角的范围，即可求解.
【详解】由条件可知，，，且，
所以不妨设，则，，则
，所以.
故选：C
例题2．（24-25高一下·四川成都·期中）已知锐角，满足，
(1)求的值．
(2)求的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据同角三角关系可得，再结合倍角公式运算求解；
（2）先根据同角三角关系求，再利用两家和差公式可求，即可得结果.
【详解】（1）因为，，则，，
所以.
（2）因为，，则，
则，
且，所以.
例题3．（24-25高一下·江苏·阶段练习）已知，.
(1)求和的值；
(2)若，为锐角，求的值；
(3)若，为锐角，求角.
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）先利用同角基本关系式和的范围求，接着利用二倍角公式求；
（2）先求，再利用得解；
（3）利用二倍角正切公式得，再求，结合角的范围得解.
【详解】（1）因为，且所以，
又，所以，
因此，；
（2）因为，，所以，
又，则，
则
，
则，
所以；
（3）因为，，则，且，
则，
又，所以.
精练高频考点
1．（24-25高三下·重庆·阶段练习）设是方程的两根，且，则（ ）
A．B．C．或D．
【答案】B
【分析】利用韦达定理求出，再利用两角和的正切公式求出，即可得解.
【详解】因为是方程的两根，
所以，
所以，
因为，所以，所以，
则，
所以.
故选：B.
2．（24-25高一下·四川德阳·阶段练习）已知，，，．
(1)求；
(2)求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先求出的范围，即可求出，；
（2）首先求出，再根据利用两角和的余弦公式求出，即可得解.
【详解】（1），，，
又，，
则．
（2），，，
所以
．
又，，，．
3．（24-25高一下·四川成都·期末）已知．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用同角公式及差角的正弦公式求解.
（2）利用同角公式及差角的正弦公式求出即可.
【详解】（1）由，得，
所以.
（2）由，得，由，
得，则
，
所以.
高频考点五：半角公式
典型例题
例题1．（24-25高三上·陕西·阶段练习）如果，，那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先去绝对值，根据二倍角公式求和，即可求解的值.
【详解】由条件可知，，则，
因为，所以，则，，
则，则，，
所以.
故选：B
例题2．（2025·辽宁本溪·模拟预测）若，且，则 .
【答案】
【分析】由，结合余弦二倍角公式求得，再结合半角公式即可求解.
【详解】由，得，解得或，
又，所以，
所以，
所以，
故答案为：
例题3．（24-25高三上·吉林长春·期末）若，且，是的两个根，则 .
【答案】/
【分析】先根据韦达定理得到，再由，然后结合同角的平方关系求得，求出，再利用半角的余弦公式即可求解.
【详解】因为、为关于x的方程的两个根，
所以，
又因为，
所以，
又，所以，
，
故答案为：
精练高频考点
1．（24-25高一下·辽宁·期中）已知是第四象限角，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据是第四象限角结合同角三角函数关系及半角公式计算求解.
【详解】因为是第四象限角，又因为，则，
所以.
故选：D.
2．（23-24高一下·河北保定·开学考试）已知，.
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式可得出的值，利用同角三角函数的基本关系可得出的值，利用二倍角的正弦、余弦公式、两角和的正弦公式可求得的值；
（2）方法一：求出的取值范围，利用二倍角的降幂公式求出的正弦值和余弦值，即可得出的正切值；
方法二：由代值计算即可得解；
方法三：计算出的值，利用二倍角的正切公式可得出的方程，求出的取值范围，即可得出的值.
【详解】（1）因为，所以，
因为，所以，
，
，
所以．
（2）解：方法一：因为，所以，则，，
所以，，
则．
方法二：．
方法三：，解得或，
因为，所以，则，故．
高频考点六：万能公式
典型例题
例题1．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】应用诱导公式和二倍角正余弦公式得，再由二倍角正切公式可得，再应用齐次式法求.
【详解】由，
得，
则，而．
故选：B
例题2．（24-25高一·全国·课后作业）已知且，求：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】先由同角的平方关系得到的值，从而得到，结合万能公式，分别代入（1）（2）中计算即可.
【详解】（1）因为，所以，于是．
设．
．
（2）
．
精练高频考点
1．（23-24高一下·江苏南京·期中）已知，且，则（ ）
A．B．C．D．或
【答案】A
【分析】由万能公式可得，根据已知得方程求即可.
【详解】由，
所以，则，
由，则.
故选：A
2．（2024·河北·模拟预测）若，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【分析】将用替换后，解方程解出即可.
【详解】因为，
可得，
可得，
解得，因为，所以，
所以，
所以.
故选：C.
3．（24-25高三上·湖南·阶段练习）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于直线对称，若，则 .
【答案】/
【分析】首先根据对称轴求出的关系，然后利用二倍角公式化简并计算即可.
【详解】因为角的终边关于直线对称，
由已知得，即，
所以，
所以．
故答案为：.
第四部分：典型易错题型
易错点一：求角时忽略了角的范围而造成错误
1．（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）若，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据已知及平方关系得、，且，再应用差角余弦公式求，即可得.
【详解】因为，所以，又，
所以，则，
因为，，所以，
又，所以，
所以，
因为，，所以，
所以
，
所以.
故选：C
2．（24-25高三上·广东梅州·阶段练习）已知，，，，则（ ）
A．B．或C．D．或
【答案】C
【分析】利用和差角公式化简已知等式，再结合已知求出，进而求出，确定的范围即可得解.
【详解】由，得，
则，而，解得，
因此，由，，
得或，则，
所以.
故选：C
3．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知，，，，则 ．
【答案】
【分析】首先分别求出，，再利用两角和差的正弦和余弦公式即可得到答案.
【详解】由得，
因，则，则，
因为，，则，则，
则，则，
则
，
，
则.
故答案为：.