专题4.3 三角恒等变换（练习+答案）-2026年高考数学一轮复习【重点•难点突破】精讲(新教材新高考)

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一、5年高考•真题感悟2
二、课程标准•考情分析6
三、知识点•逐点夯实6
知识点1、两角和与差的正余弦与正切公式6
知识点2、二倍角公式7
知识点3、降幂公式7
知识点4、半角公式7
知识点5、辅助角公式7
知识点6、解题技巧与方法7
四、重点难点•分类突破8
考点1 公式的直接应用8
考点2 公式的逆用及变形用9
考点3 变换求值11
命题点1 角的变换11
命题点2 名的变换13
考点4 三角函数式的化简与证明15
考点5 三角函数式求值16
命题点1 给角求值16
命题点2 给值求值18
命题点3 给值求角20
考点6 三角恒等变换的综合应用22
五、必考题型•分层训练28
A、基础保分28
B、综合提升36
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一、5年高考•真题感悟
1．（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、已知正（余）弦求余（正）弦
【分析】利用二倍角余弦公式得，则，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案.
【详解】，
因为，则，则，
则.
故选：D.
2．（2024·上海·高考真题）下列函数的最小正周期是的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求余弦（型）函数的最小正周期、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式
【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 .
【详解】对A，，周期，故A正确；
对B，，周期，故B错误；
对于选项C，，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误；
对于选项D，，周期，故D错误，
故选：A．
3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】正、余弦齐次式的计算、用和、差角的正切公式化简、求值
【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解.
【详解】因为，
所以，，
所以，
故选：B.
4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的余弦公式化简、求值
【分析】根据两角和的余弦可求的关系，结合的值可求前者，故可求的值.
【详解】因为，所以，
而，所以，
故即，
从而，故，
故选：A.
5．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】给值求值型问题、用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式
【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答.
【详解】因为，而，因此，
则，
所以.
故选：B
【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法
（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．
（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．
6．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为锐角，，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】二倍角的余弦公式、半角公式
【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．
【详解】因为，而为锐角，
解得：．
故选：D．
7．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值
【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得，再缩小的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.
【详解】法一：由题意得，
因为，，
则，，
又因为，
则，，则，
则，联立 ，解得.
法二： 因为为第一象限角，为第三象限角，则,
，，
则

故答案为：.
8．（2023·上海·高考真题）已知，则= .
【答案】/
【难度】0.94
【知识点】二倍角的正切公式
【分析】由正切的倍角公式求解
【详解】已知，则.
故答案为：
二、课程标准•考情分析
【课程标准】
（1）会推导两角差的余弦公式
（2）会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式
（3）掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用
（4）能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换
【5年考情分析】
【2026考向预测】
三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上，高考会侧重综合推理能力和运算能力的考查，体现三角恒等变换的工具性作用，以及会有一些它们在数学中的应用．这就需要同学熟练运用公式，进一步提高运用联系转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想、换元的思想、方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的作用．
三、知识点•逐点夯实
知识点1．两角和与差的正余弦与正切
①；
②；
③；
知识点2．二倍角公式
①；
②；
③；
知识点3：降次（幂）公式
知识点4：半角公式
知识点5．辅助角公式
（其中）．
知识点6．解题技巧与方法
1、两角和与差正切公式变形
；
．
2、降幂公式与升幂公式
；
．
3、其他常用变式
．
4、拆分角问题：①；；②；③；
④；⑤．
注意：特殊的角也看成已知角，如．
四、重点难点•分类突破
考点1 公式的直接应用
例1、（2025·北京大兴·三模）已知函数，则函数的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】求余弦（型）函数的最小正周期、二倍角的余弦公式
【分析】由二倍角公式化简函数，再根据余弦函数的周期性求解即可．
【详解】，则函数的最小正周期为.
故选：C
例2、已知，则 ．
【答案】
【难度】0.94
【知识点】二倍角的余弦公式
【分析】由二倍角余弦公式直接代入求解即可.
【详解】，
故答案为：.
【变式训练1】、（2025·河南·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】二倍角的余弦公式
【分析】由二倍角余弦公式可得答案.
【详解】.
故选：A
【变式训练2】、（2025·山东青岛·三模）若，，则 ．
【答案】/
【难度】0.65
【知识点】sinα±csα和sinα·csα的关系、用和、差角的正弦公式化简、求值
【分析】将题干中的两个式子均平方，再相加即可求出.
【详解】由题意可得，，
，
两式相加得，，即.
故答案为：
考点2 公式的逆用及变形用
例3、（2025·河南许昌·模拟预测）已知，且满足，，则= .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式
【分析】首先化简等式得出之间的关系，然后根据已知条件即可求出的值.
【详解】由，则，
又，，
所以，，
所以，
所以.
故答案为：.
例4、（2025·湖南娄底·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的正弦公式化简、求值
【分析】利用三角函数的基本关系式，化简得到，求得，再由两角和的正弦公式，即可求解.
【详解】因为，可得，可得，
又因为，所以，
即，
解得或（舍去），
所以.
故选：D.
【变式训练3】、（2025·湖南长沙·模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】二倍角的余弦公式、给值求值型问题
【分析】由及，得，再将正切变成正弦和余弦，化简并结合同角三角函数的基本关系可求解出，再利用二倍角关系求解即可.
【详解】由及，得.
又由，得，得，
所以，而，
故选：B.
【变式训练4】、（2025·吉林长春·模拟预测）已知，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的正弦公式
【分析】根据诱导公式及二倍角公式化简求值.
【详解】因为，
所以
.
故选：D.
考点3 变换求值
命题点1 角的变换
例5、（2025·安徽合肥·模拟预测）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、用和、差角的正切公式化简、求值
【分析】利用两角和与差的正弦公式和同角三角函数商的关系即可求解.
【详解】因为，即，
设，即，，
则，得，
因为，得到．
故选：C．
例6、（2025·河南信阳·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．5
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】已知弦（切）求切（弦）、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的余弦公式化简、求值
【分析】根据余弦的和差角公式，结合已知条件求得，再求目标即可.
【详解】由可得：，，
两式相加可得：，则；
两式相减可得：，则，
故.
故选：A.
【变式训练5】、（2025·安徽六安·模拟预测）若，且，则 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式
【分析】首先化简条件等式，并求角的值，再代入求正切值.
【详解】，
因为，所以，所以，所以，
所以.
故答案为：
【变式训练6】、（2025·山东青岛·模拟预测）已知，，则 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的正切公式
【分析】根据两角和与差的正切公式、二倍角公式求解即可.
【详解】由，，
则，
所以，
则.
故答案为：.
命题点2 名的变换
例7、（2025·浙江杭州·模拟预测）若，则 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】二倍角的余弦公式
【分析】利用二倍角公式求解即可.
【详解】.
故答案为：.
例8、（2025·甘肃白银·一模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、二倍角的余弦公式、给值求值型问题
【分析】根据诱导公式和二倍角余弦公式求解即可.
【详解】.
.
故选：D.
【变式训练7】、（2025·全国·二模）已知，则 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正切
【分析】利用同角三角函数关系得到，凑角，由正切和角公式得到答案.
【详解】，即，
.
故答案为：.
【变式训练8】、（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】诱导公式二、三、四、二倍角的余弦公式
【分析】由，利用二倍角的余弦公式即可求解.
【详解】由，
故选：A.
考点4 三角函数式的化简与证明
例9、（2025·湖南永州·模拟预测）的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】给角求值型问题
【详解】先将进行变形，再利用三角函数中辅助角公式、二倍角的正弦公式化简计算即可．
【分析】.
故选：D.
例10、（2023·重庆·模拟预测）式子化简的结果为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、辅助角公式、给角求值型问题
【分析】利用二倍角公式以及辅助角公式可化简所求代数式.
【详解】原式
.
故选：B.
【变式训练9】、的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】给角求值型问题
【分析】根据诱导公式以及倍角公式求解即可.
【详解】原式.
故选：A
【变式训练10】、
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【详解】试题分析：
考点：三角函数求值．
考点5 三角函数式求值
命题点1 给角求值
例11、（2024·河南新乡·模拟预测）设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】二倍角的正弦公式、辅助角公式、给值求值型问题
【分析】先“切化弦”，再利用和角公式和倍角公式化简即可.
【详解】.
故选：C
例12、（2025·江苏泰州·模拟预测）若，则 ．
【答案】
【难度】0.94
【知识点】已知弦（切）求切（弦）、正、余弦齐次式的计算、用和、差角的正弦公式化简、求值
【分析】首先根据两角和的正弦公式化简分母，再上下同时除以，用正切表示已知式子，即可求解.
【详解】.
故答案为：
【变式训练11】、（2025·全国·模拟预测）已知，，则 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的正弦公式化简、求值
【分析】先根据同角三角函数关系得出正弦及余弦值，再结合两角差的正弦公式计算求解.
【详解】由，，
所以，，所以．
故答案为：.
【变式训练12】、（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】已知弦（切）求切（弦）、三角函数的化简、求值——诱导公式、二倍角的正弦公式
【分析】先由和角的范围求得，再利用诱导公式和二倍角公式化简所求式，将其代入计算即得.
【详解】因，且，由，解得，
所以．
故选：A.
命题点2 给值求值
例13、若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】正、余弦齐次式的计算、二倍角的正弦公式、给值求值型问题
【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．
【详解】将式子进行齐次化处理得：
．
故选：C．
【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．
例14、（2024·四川眉山·三模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、给值求值型问题
【分析】先根据平方关系求出，再根据结合两角差的正弦公式即可得解.
【详解】因为，所以，有，
所以
.
故选；A.
【变式训练13】、（2025·浙江金华·三模）若，则 .
【答案】/
【难度】0.85
【知识点】已知弦（切）求切（弦）、正、余弦齐次式的计算、二倍角的正弦公式
【分析】利用平方公式配方，利用两角差正弦公式展开，再结合齐次式弦化切，即可求解.
【详解】由
，
故答案为：
【变式训练14】、（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）若，则 ．
【答案】/0.6
【难度】0.85
【知识点】正、余弦齐次式的计算、诱导公式五、六、二倍角的正弦公式
【分析】根据给定条件，利用诱导公式及二倍角的正弦公式，结合正余弦齐次式法求值.
【详解】当时，
.
故答案为：
命题点3给值求角
例15、若，，则 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】二倍角的余弦公式、给值求角型问题
【分析】根据余弦的二倍角公式化简即可求值.
【详解】因为，
所以或，
又，
所以，
故答案为：
例16、（2023·贵州六盘水·模拟预测）设，，且，则 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】余弦函数图象的应用、辅助角公式、给值求角型问题
【分析】根据三角恒等变化化简可得，再结合，，解方程即可得的值.
【详解】因为，
所以，即
又，，所以，
则可得，则故.
故答案为：.
【变式训练15】、（2024·江西九江·二模）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、给值求角型问题
【分析】利用两角差的余弦公式及同角三角函数的基本关系得到方程组，即可求出、，再求出即可.
【详解】因为，，
所以，
解得，
所以，
又，所以，所以.
故选：A
【变式训练16】、（2023·江苏无锡·三模）已知，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、给值求角型问题
【分析】利用已知条件和两角和的正切公式，先求出角，再利用已知条件即可求解.
【详解】因为，
又因为，，
所以，
所以
因为，所以，
所以，
所以当为奇数时，，，
当为偶数时，，，
因为，所以，
因为，所以.
故选：C.
考点6 三角恒等变换的综合应用
例17、（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知函数
条件①：的最小正周期为；
条件②：为奇函数；
条件③：图象的一条对称轴为；
从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知条件，使的解析式唯一确定，回答下列问题．
(1)求的解析式；
(2)设函数，当时，求函数的值域.
【答案】(1)条件选择见解析，；
(2)
【难度】0.65
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、三角恒等变换的化简问题
【分析】（1）选择条件，利用余弦函数的性质求出即可.
（2）由（1）结合三角恒等变换求出，进而求出在指定区间上的值域.
【详解】（1）选择条件①②，由的最小正周期为，得；
由为奇函数，，得，所以.
选择条件①③，由的最小正周期为，得；
由图象的一条对称轴为，得，而，
则，所以.
选择条件②③，由为奇函数，，得；
由图象的一条对称轴为，得，解得，
值不唯一，不符合题意，即②③不可选.
（2）由（1）知，则
，当时，，
则，，
所以函数的值域是.
例18、（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）设函数，其中．
(1)当时，求函数的最小正周期及单调递增区间；
(2)记函数在上的最大值为．
（i）求关于的表达式；
（ⅱ）证明：当时，在上恒成立．
【答案】(1)，
(2)（i）；（ⅱ）证明见解析
【难度】0.65
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、求正弦（型）函数的最小正周期、三角恒等变换的化简问题
【分析】（1）代入，辅助角公式化简，根据三角函数的性质判断单调区间和最小正周期.（2）（i）令，可得可得到关于的二次函数，讨论的取值，求出函数的最大值表达式；（ⅱ）由求，利用放缩法即可得出结论.
【详解】（1）当时，
可得：
的单调递增区间为
（2）（i）令，则可得．
令
当时，，故．
当时，，对称轴
①当时，
②当时，，故在上单调递减
③当时，，故在上单调递减
④当时，，故在上单调递减，在上单调递增．

综上，
（ⅱ）
当时，
而
．
【变式训练17】、（2025·湖南长沙·模拟预测）已知函数．
(1)若的最小正周期为，求当时的值域；
(2)若在区间内无零点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题
【分析】（1）先利用辅助角公式将函数化简，再根据周期公式求出的值，最后结合给定区间求出函数的值域.
（2）通过令函数值为求出零点表达式，再根据函数在给定区间内无零点的条件，确定的取值范围.
【详解】（1）由已知，．
因为的最小正周期为，则，所以．
当时，，则，所以的值域是．
（2）法一：令，则，即．
因为在内无零点，则，
所以，且，
即，且．
因为，则，且，即．因为，则．
所以的取值范围是．
法二：令，则当时，．
据题意，函数在区间内无零点，
则，且，
即，且．
因为，则，且，即．因为，则．
所以的取值范围是．
【变式训练18】、（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数．
(1)求的最小正周期及单调递减区间；
(2)将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将的图象向右平移个单位后，再将纵坐标变为原来的，最终得到的图象，若，满足不等式，求的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【难度】0.65
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求图象变化前（后）的解析式、三角恒等变换的化简问题、求sinx型三角函数的单调性
【分析】（1）由三角恒等变换公式化简，再由正弦型函数的单调区间，代入计算，即可得到结果；
（2）先由三角函数的图像变换得到的解析式，再将问题转化为最值问题，结合换元法以及二次函数的值域，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）
，
所以，
所以的周期为，
由得，
所以的单调递减区间为.
（2）将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，即可得到，
再将的图象向右平移个单位，得到，
再将纵坐标变为原来的，即可得到，
因为，，
所以当，时，
，
令，，则
，所以当时，取得最小值，最小值为
所以，解得或，
故的取值范围为．
五、必考题型•分层训练
1．（2025·海南·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．1D．-1
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值
【分析】由两角和差的正切公式即可求解.
【详解】，
所以，
故选：A
2．（2025·河北保定·二模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】二倍角的余弦公式、辅助角公式
【分析】结合已知根据辅助角公式得，然后根据辅助角公式及二倍角余弦公式求解即可.
【详解】由，得，所以，
所以．
故选：B
3．（2025·河北邢台·二模）已知，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】诱导公式五、六、辅助角公式
【分析】利用辅助角公式和诱导公式可得，结合角的范围，可得，可求解.
【详解】因为，
，，
所以，，所以，则．
故选：D．
4．若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】诱导公式二、三、四、给角求值型问题
【分析】利用辅助角公式以及二倍角的正弦公式、诱导公式化简可得的值.
【详解】由已知可得
.
故选：A.
5．（2024高三·全国·专题练习）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】二倍角的正切公式、给值求值型问题、和差化积公式
【分析】根据和差化积公式化简，得到，再利用正切二倍角公式求出答案.
【详解】由和差化积公式，得，
，所以．
所以．
故选：A．
6．（2022·广东深圳·一模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】辅助角公式、给值求值型问题、给值求角型问题
【分析】由，易得，，从而可求出，即可得出答案.
【详解】解：因为，
所以，即，
所以，
即，
所以，
所以或，
所以或，，
当时，，不合题意，舍去，
当时，，
所以.
故选：C.
7．（2025·上海·三模）已知，则 .
【答案】
【难度】0.94
【知识点】二倍角的余弦公式
【分析】利用诱导公式与二倍角的余弦公式求解即可.
【详解】.
故答案为：.
8．（2025·重庆·三模）已知，则 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式
【分析】利用两角差的余弦展开式求出，再由正弦的二倍角公式可得答案.
【详解】因为，
所以，
则
.
故答案为：.
9．（2025·重庆·三模）若，则 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式
【分析】利用降幂公式，辅助角公式化简条件，再利用二倍角的余弦公式，即可求解.
【详解】由条件可知，，
则，所以.
故答案为：
10．（2025·河南·二模）已知是第三象限角，，则 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、诱导公式五、六、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式
【分析】先根据条件求出，的值.法1：根据求值；
法2：根据求出的值，再求的值.
【详解】法1：因为，所以，因为是第三象限角，所以，则.
法2：因为，所以，因为是第三象限角，所以，则，所以
11．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知，，则 .
【答案】/0.25
【难度】0.65
【知识点】正、余弦齐次式的计算、给值求值型问题
【分析】根据题意利用三角恒等变换可得，再利用倍角公式以及齐次化问题分析求解.
【详解】因为，则，
显然，可得，
整理得，解得或，
又因为，则，可得，
所以.
故答案为：.
12．（2024·全国·模拟预测）已知，则 ．
【答案】/
【难度】0.65
【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、给值求值型问题
【分析】首先利用角的变换，化简三角函数为，再利用两角差的正弦公式，并结合条件，即可化简求值.
【详解】，，
化简得，
又，故．
故答案为：
13．已知，则 .
【答案】
【难度】0.94
【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、逆用和、差角的正弦公式化简、求值、给值求值型问题
【解析】根据两角和的正弦公式，将原式化简整理，即可得出结果.
【详解】由可得，
则，因此，
从而有，
即.
故答案为：.
14．（2025·云南丽江·三模）已知函数.
(1)求的最小正周期：
(2)若，解不等式：.
【答案】(1).
(2)
【难度】0.65
【知识点】解正弦不等式、求正弦（型）函数的最小正周期、三角恒等变换的化简问题
【分析】（1）根据三角恒等变换化简得，然后计算周期即可；
（2）根据正弦函数的图象与性质解不等式即可.
【详解】（1）
故函数的最小正周期.
（2）由得， ，
即，则有，
解得，又，所以，
综上，不等式的解集为.
15．（2025·北京海淀·三模）已知函数（，）．在区间上单调递增，且是图象的对称轴，再从下面给出的条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，并求解下列问题．
条件①：；
条件②：当时，取到最小值；
条件③：．
(1)求、的值；
(2)若函数在区间上单调递减，求实数的最大值．
【答案】(1)，
(2)
【难度】0.65
【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、利用正弦函数的对称性求参数、二倍角的余弦公式、三角恒等变换的化简问题
【分析】（1）借助二倍角公式化简，根据不成立说明不能选择条件①.若选条件②或③，结合函数的对称性及特殊点的函数值可得结果.
（2）结合正弦函数的单调性列不等式求解即可.
【详解】（1）由题意得，
.
若选条件①：因为是图象的对称轴，所以，不可能满足，
所以不能选择条件①；
若选条件②：因为在区间上单调递增，是图象的对称轴，当时，取到最小值，
所以的最小正周期，且，
因为，所以，
所以，故，
所以，，即，，
因为，所以.
若选条件③：因为在区间上单调递增，是图象的对称轴，，
所以的最小正周期，且，
因为，所以，
所以，故，
所以，，即，，
因为，所以.
（2）由（1）知，，
因为，所以，
因为函数在区间上单调递减，
所以，解得，
故实数m的最大值为
16．（2024·吉林延边·一模）若，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、给值求角型问题
【分析】由两角和与差的余弦公式，结合角的取值范围求解
【详解】因为，所以，
因为，所以，即，
所以.
因为，，所以，
因为，
所以.
所以
.
因为，，
所以，所以.
故选：A
17．（2023·江苏徐州·模拟预测）已知，则 ．
【答案】
【难度】0.4
【知识点】万能公式、三角恒等变换的化简问题、给值求值型问题
【分析】由条件等式右边含有，可联想到中分离出来处理，设，待求表达式中用表示，结合万能公式进行求解.
【详解】设，于是，
整理可得，根据万能公式，，
整理可得，
由可得，，
故，
根据诱导公式，，
根据两角和的正切公式，，
故.
故答案为：
5年考情分析
考题示例
考点分析
难易程度
2025年新Ⅱ卷，第5题,5分
用和、差角、二倍角公式化简、求值
一般
2024年新I卷，第4题,5分
用和、差角的余弦公式化简、求值
一般
2024年新I卷，第13题,5分
用和、差角的正切公式化简、求值
简单
2023年新I卷，第8题,5分
用和、差角的正弦公式化简、求值
二倍角的余弦公式
较难
2023年新Ⅱ卷，第7题,5分
半角公式、二倍角的余弦公式
简单
2023年新Ⅱ卷，第16题,5分
由图象确定正(余)弦型函数解析式
较难
2022年新Ⅱ卷，第6题,5分
用和、差角的余弦公式化简、求值
用和、差角的正弦公式化简、求值
一般