2026年高三数学一轮复习备考题型归纳讲义第18讲：三角恒等变换(知识梳理+题型总结)(学生版+解析)

这是一份2026年高三数学一轮复习备考题型归纳讲义第18讲：三角恒等变换(知识梳理+题型总结)(学生版+解析)，共22页。学案主要包含了新高考课程标准要求，知识梳理，课前自测，针对训练，解题策略，角度1：给角求值，角度2：给值求值，角度3：给值求角等内容，欢迎下载使用。
1.推导公式：会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式。并能以此为基础，推导出两角差的正弦、正切公式，进而推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，以及二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解这些公式之间的内在联系。
2.理解公式：理解两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式等，记住公式的结构特征和符号变化规律，能够正确正用、逆用及变形使用公式。例如要清楚两角和与差的正切公式变形为后的应用场景。
3.恒等变换应用：能运用上述公式进行简单的恒等变换，包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆这三组公式。通过恒等变换，使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少，尽量让式子中的分母和被开方数不含三角函数等，常与同角三角函数的基本关系、诱导公式等综合应用。
【知识梳理】
一、基础公式（核心推导与应用）
1. 两角和与差公式
余弦：
*（由向量数量积推导，是所有公式的基础）*
正弦：
*（可由余弦公式结合诱导公式推导）*
正切：
（）
（）
*（由正弦、余弦公式相除推导）*
2. 二倍角公式
正弦：
余弦：
（基本形式）
（降幂：）
（降幂：）
*（降幂公式是化简高次三角函数式的关键）*
正切：（且）
二、常用变形公式（逆用与拓展）
1. 公式逆用与凑角技巧
正切公式变形：
*（用于化简含与的式子）*
凑角公式：
，，等
*（例：）*
2. 辅助角公式（合一变形）
对于（不同时为0），可化为：
其中（的终边过点），或写作（）。
*（核心：将不同名三角函数合并为单一三角函数，便于求最值、周期等）*
3. 半角公式（不要求记忆，需会推导）
由二倍角公式变形可得（为任意角）：
*（符号由所在象限决定，后两个正切公式无需考虑符号）*
4. 和差化积与积化和差（不要求记忆，需了解推导思路）
和差化积：
积化和差：
*（推导：令两角和与差公式中的，，联立消元即可）*
三、常用结论（简化计算与解题技巧）
1. 特殊角相关：
（辅助角公式的特殊情况）
，（由半角公式或两角差公式推导）
2. 平方关系变形：
（常用于已知求）
（由展开推导）
3. 角的互补/互余关系：
若，则，
若，则，
四、公式应用原则
1. 化简优先：项数最少、次数最低、角与函数名最少，分母/被开方数不含三角函数。
2. “角”是核心：观察式子中角的关系（如和差、倍半），选择对应公式（如凑角、二倍角）。
3. 灵活逆用：如（二倍角公式逆用），（代换技巧）。
【课前自测】
1．（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习） ．
【答案】
【分析】根据同角三角函数的基本关系，结合诱导公式、和角公式及二倍角公式计算可得结果.
【详解】
.
故答案为：.
2．（24-25高三上·辽宁大连·期中）下列式子的运算结果为的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】利用两角和的正切公式判断A、B、D；根据同角三角函数的基本关系及诱导公式、二倍角公式判断C.
【详解】对于A：，故A正确；
对于B：，
所以，故B正确；
对于C：
，故C正确；
对于D：，故D错误.
故选：ABC
3．（24-25高一下·江西上饶·期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式化为，再结合二倍角公式进一步化简求值即可.
【详解】因为，所以
.
故选：B
4．（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）已知，则以下说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】根据两角和差的正切公式求出判断AB；根据角的范围及特殊角的正切值判断CD.
【详解】因为，
所以，
，故选项AB正确；
因为，所以，又，，
所以，
因为，所以即，所以C错误，D正确.
故选：ABD
5．（2025高三·全国·专题练习）已知，，则 ， .
【答案】 / /
【分析】根据半角公式及结合的范围即可求解.
【详解】由半角公式可得，.
∵，∴，即是第二象限角，∴，.
∴，.
故答案为：；.
6．（2025高一·全国·专题练习）已知，，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，两式平方相加可得，分两种情况，求出，利用正切二倍角公式进行求解.
【详解】设，又，
两式平方相加得，得．
由得，故，；
或由得，故，．
综上所述，．
故选：A．
7．（2025高三·全国·专题练习）已知，，则等于
【答案】
【分析】先确定的取值范围，根据同角三角函数的平方关系求出，再利用求值.
【详解】∵，，
所以，所以
∴.
故答案为：
8．（2025高三·全国·专题练习）已知均为锐角，且，，求，的值．
【答案】，．
【分析】将条件等式平方后相加，结合和角余弦公式求，应用和差化积公式得、，再作商并应用万能公式求.
【详解】，
，
两式相加，得，
由，得，
由，得，
两式相除，得，
所以．
题型分类
知识讲解与常考题型
【考点一：三角函数式的化简】
【例题】1．（2025高三·全国·专题练习）的值为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】解法一：根据式子结构，利用半角公式、同角三角函数基本关系式、诱导公式即可求解；解法二：根据式子结构，利用二倍角公式、同角三角函数基本关系式、诱导公式即可求解.
【详解】解法一：原式
.
解法二：原式
.
故选：B.
【针对训练】2．（2025高三·全国·专题练习）化简： .
【答案】
【分析】根据二倍角公式及同角三角函数的商数关系即可求解.
【详解】原式.
故答案为：.
3．（2024高三·全国·专题练习）化简: .
【答案】
【分析】弦切互化将变为，利用诱导公式将变为，结合完全平方式和二倍角余弦公式化简即可.
【详解】原式.
故答案为：
【解题策略】
一、异名化同名（统一函数类型）
通过公式将不同三角函数（如sin、cs、tan）转化为同一类，常用工具：
同角关系：，（实现切化弦）；
诱导公式：如（实现弦与弦的转化）；
辅助角公式：（或形式），其中（将不同名的正弦、余弦合并为单一三角函数）。
二、异角化同角（统一角的形式）
通过角的拆分与组合，将复角（如、、）转化为单角或已知角，常用思路：
角的拆分：如，，等；
利用和差角公式、二倍角公式：直接将复角表达式展开，转化为单角的三角函数。
三、降幂与升幂（调整次数）
降幂：将高次项（二次及以上）转化为低次（通常为一次），核心公式：
升幂：将低次项转化为高次，用于凑平方或和差公式，核心公式：
四、消去特殊结构（简化表达式）
分式：通过通分、约分或分子分母同乘某式（如弦化切后约分）消除分式；
根号：利用升幂公式将根号内表达式化为完全平方形式（结合角的范围确定开方后的符号）；
绝对值：根据角的范围判断三角函数值的正负，去掉绝对值符号。
五、合并与整理（减少项数）
利用代数运算（如提取公因式、平方差公式、完全平方公式等）合并同类项；
对化简后的式子进行最后的整理，确保项数最少、形式最简（如化为单一三角函数或常数）。
总结
化简时需结合式子特点，灵活组合上述策略，优先处理明显可转化的部分（如先切化弦、再降幂、最后统一角），逐步将复杂式子简化为“函数单一、角单一、次数低、项数少”的形式
【考点二：三角函数式的求值】
【角度1：给角求值】
【例题】1．（24-25高一下·辽宁大连·期中）计算下列各式值，其结果为1的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】利用二倍角公式、诱导公式及和差角公式一一判断即可.
【详解】对于A：
，故A正确；
对于B：
，故B错误；
对于C：因为，
所以，
所以
，故C错误；
对于D：
，故D正确.
故选：AD
【针对训练】2．（24-25高一下·内蒙古包头·阶段练习）求值：
(1)；
(2).
【答案】(1)1；
(2).
【分析】（1）将已知式中的切化弦，通分后利用辅助角公式，再利用二倍角公式和诱导公式化简即可；
（2）由二倍角公式、诱导公式、两角和与差的正弦余弦公式将题中角统一为，进一步转化为，展开后化为特殊角即可求值.
【详解】（1）
（2）
3．（24-25高一下·江苏宿迁·阶段练习）（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用切化弦、辅助角公式、二倍角公式以及诱导公式化简可得所求代数式的值.
【详解】
.
故选：C.
【角度2：给值求值】
【例题】4．（2025高三·全国·专题练习）已知，且，，，则 .
【答案】/
【分析】由齐次商数关系可求，再利用正切差角公式可求，最后根据同角三角关系求值即可.
【详解】或.
，，，.
故答案为：.
5．（2025高三·全国·专题练习）已知，，且，，求，及的值.
【答案】，，
【分析】由题中条件及同角三角函数的平方关系可求得和的值，利用两角和与差的余弦公式即可求解，的值，结合角即可求解的值.
【详解】因为，且，所以.
因为，且，所以.
所以，
.
又因为，，所以，所以，即.
【针对训练】6．（24-25高一下·四川成都·期中）已知，则的值为 .
【答案】
【分析】根据和差公式及辅助角公式化解得，再利用二倍角公式可求得值.
【详解】，
，
故答案为：.
7．（2025·安徽淮北·模拟预测）已知且则tanβ=（ ）
A．3B．2C．D．
【答案】C
【分析】根据求得，代入题意中的等式，利用二倍角的余弦公式求出，结合同角的商数关系计算即可求解.
【详解】因为，所以，
得，又，
解得，由，解得，
所以，
所以.
故选：C
【角度3：给值求角】
【例题】8．（24-25高一下·辽宁大连·期末）在中，已知，是关于的方程的两个实根，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用韦达定理和和差公式即可得解.
【详解】因为，是关于的方程的两个实根，
所以，
所以，
因为，所以.
故选：D
9．（24-25高二下·陕西榆林·期末）已知，且，则下列选项正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据同角三角函数关系切化弦之后，结合正弦两角和公式、三角函数取值关系即可得结论；或者根据三角恒等变换利用半角公式化简，结合正切函数的性质得结论.
【详解】解法1：由得，，
又因为，所以，则或，
整理得或（舍去）.
故选：C．
解法2：因为，所以，
又因为，所以，则，
整理得.
故选：C．
【针对训练】10．（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）若，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据已知及平方关系得、，且，再应用差角余弦公式求，即可得.
【详解】因为，所以，又，
所以，则，
因为，，所以，
又，所以，
所以，
因为，，所以，
所以
，
所以.
故选：C
11．（24-25高一下·江苏扬州·期中）已知，，，，则的值为 .
【答案】
【分析】由条件可得，从而得到的值，再由的范围，即可得到结果.
【详解】因为，，则，
所以，
则，
且，，，
则.
故答案为：
【解题策略】
一、给角求值：已知非特殊角，求其三角函数值
核心思路：将非特殊角通过拆分、组合转化为特殊角（如等）的和、差、倍、半等形式，再利用恒等公式计算。
常用策略：
1. 角的拆分与组合：观察非特殊角与特殊角的关系，例如：
，；
，等，通过和差角、半角公式转化。
2. 降幂与升幂：对于高次三角函数，先降幂转化为一次，再结合角的变换。
3. 辅助角公式：将化为单一三角函数，再代入角计算。
二、给值求值：已知某角的三角函数值，求另一表达式的值
核心思路：分析已知角与待求角的关系（如和差、倍数、互余等），通过恒等公式将待求式用已知角的三角函数表示，再代入计算。
常用策略：
1. 分析角的关系：确定待求角与已知角的联系，例如：
若已知，待求，则（直接用和角公式）；
若已知和，待求，则（间接拆分）；
常见配角技巧：，等。
2. 确定角的范围：根据已知条件判断角的象限（或范围），避免三角函数值符号错误（如求时，需明确在第几象限）。
3. 选择合适公式：
已知或，求同角的其他函数值：用同角关系、；
已知单角函数值，求复角函数值：用和差角公式、二倍角公式；
涉及高次项：先降幂，再转化为一次表达式。
三、给值求角：已知三角函数值，求对应的角
核心思路：先确定角的范围（缩小到唯一解），再求出该角的某个三角函数值（通常选单调函数，如正切），最后结合特殊角或反三角函数确定角的具体值。
常用策略：
1. 确定角的范围：根据题目条件（如“为锐角”“”）或隐含信息（如三角函数值的符号），缩小角的范围（通常缩到某一单调区间，确保解唯一）。
2. 选择目标三角函数：优先选择在该范围内单调的三角函数（如正切在单调，余弦在单调），避免多解混淆。
3. 计算目标函数值：通过恒等变换求出该角的目标三角函数值，对比特殊角的函数值，确定角的大小。
4. 验证唯一性：若范围内含多个可能角，需结合其他条件（如另一三角函数值的符号）排除，确保解唯一。
总结
三类求值问题的共性是“利用角的关系与恒等公式建立转化”，差异在于：
给角求值侧重“非特殊角→特殊角”的拆分；
给值求值侧重“已知角→待求角”的联系构建；
给值求角侧重“范围限定+函数值匹配”的唯一性确定。
解题时需灵活运用和差角、二倍角、同角关系等公式，结合角的范围判断符号，确保结果准确。
【考点3：三角恒等变换的综合应用】
【例题】1．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）已知函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)当时，求函数的最值及相应x的值．
【答案】(1)，
(2)当时，取最大值为，当时，取最小值为
【分析】（1）利用三角恒等变换的知识化简的解析式，然后利用整体代入法求得函数的单调递增区间；
（2）根据三角函数最值的求法求得的最值及相应x的值．
【详解】（1）（1）因为
，
所以令，，
解得，，
所以函数的单调递增区间为：，，
（2）因为，所以，
令，则函数在单调递增，在单调递减；
所以时，；
时，；
所以当时，函数取最大值为，当时，函数取最小值为．
【针对训练】2．（24-25高一下·陕西商洛·期末）已知函数，且函数为最小正周期为的周期函数．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在上的值域；
(3)若，其中，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用倍角公式以及辅助角公式化简可得，由周期求出，即可求得答案；
（2）利用整体代换并结合正弦函数性质，即可求得答案；
（3）由，可得，继而求出，利用两角差的余弦公式，即可求得答案.
【详解】（1）根据题意（1）化简可得
，
又因为函数的最小正周期为，所以，可得，
所以．
（2）设，所以，
所以的值域为．
（3）因为，所以，
可得，
因为，可得，所以，
所以
．
3．（24-25高一下·甘肃临夏·期末）已知函数．
(1)求函数的图象的对称轴方程；
(2)求函数的单调递增区间；
(3)当时，求函数的值域．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先利用三角恒等变换将函数化成正弦型函数，结合正弦函数的对称轴求解即得；
（2）利用正弦函数的单调递增区间列不等式，求解即得；
（3）先由给定区间求出整体角的范围，结合正弦函数的单调性即可求得函数的值域.
【详解】（1）因，
由，可得，
即函数的图象的对称轴方程为；
（2）由，可得，
即函数的单调递增区间为；
（3）因，当时，取，
因函数在上单调递增，
故的值域为.
【解题策略】
三角恒等变换在三角函数图像中的综合应用，核心是通过恒等变换将复杂的三角函数表达式转化为标准形式（如，等），进而利用标准形式的参数（）分析图像特征（周期、振幅、对称轴、单调性等）或解决图像变换、解析式求解等问题。以下是具体解题策略：
一、化简表达式为标准形式：图像分析的前提
三角函数图像的性质（周期、振幅、相位等）由其标准形式的参数直接决定，因此需先通过恒等变换将复杂表达式化简为标准形式。
常用变换工具：
1. 降幂公式：处理含、的表达式，转化为一次三角函数（如，）；
2. 二倍角公式：处理（如），转化为倍角的正弦；
3. 辅助角公式：合并不同名的正弦、余弦（如，其中），转化为单一三角函数；
4. 角的合并：通过和差角公式处理含复角的表达式（如可化简为）。
目标：将原式化为（或余弦、正切形式），明确参数（振幅）、（周期相关）、（相位）、（上下平移量）。
二、利用标准形式分析图像特征
化简为标准形式后，可直接通过参数分析图像的核心性质，解决与图像相关的问题：
1. 周期与奇偶性
周期：由决定，（正弦、余弦）或（正切）；
奇偶性：若（正弦）或（余弦），函数可能为奇偶函数（结合），需通过恒等变换验证。
2. 对称轴与对称中心
对称轴：正弦函数的对称轴满足（），余弦函数满足（），通过解方程可得；
对称中心：正弦函数对称中心满足（），对应点为，需结合恒等变换后的表达式求解。
3. 单调性与最值
单调性：利用标准形式的单调区间模板（如的增区间为），令，解不等式得原函数的单调区间；
最值：振幅决定最值范围，最大值为，最小值为（正弦、余弦），需通过恒等变换确保表达式已化为“单一三角函数+常数”形式。
三、图像变换问题：从标准形式逆向推导
已知图像变换过程（平移、伸缩）求目标函数，或已知目标函数反推变换步骤，需先通过恒等变换将函数化为标准形式，再分析参数变化。
关键步骤：
1. 明确变换规则：
横向平移：（左移，）；
横向伸缩：（周期变为，）；
纵向伸缩与平移：（振幅为，上移）。
2. 结合恒等变换处理非标准形式：
若目标函数为非标准形式（如），需先化简为标准形式（如通过降幂公式转化为，再配方或辅助角变换），再分析变换过程。
四、由图像求解析式：参数确定与恒等验证
已知三角函数图像的关键点（顶点、零点、周期等）求解析式，需通过恒等变换建立参数关系，步骤如下：
1. 求和：由图像的最值（最高点、最低点）
2. 求：由周期（相邻最值点间距为，相邻零点间距为）得（正弦、余弦）；
3. 求：代入图像的关键点（如最高点、零点），结合恒等变换（如），并根据图像相位（左偏、右偏）确定的唯一值（注意范围限定，通常取）。
总结
三角恒等变换在三角函数图像中的应用，核心是“化简为标准形式→利用参数分析图像→逆向解决变换与解析式问题”。解题时需灵活运用降幂、辅助角、和差角等公式，确保表达式化简正确；同时结合图像的几何特征（周期、最值、对称等），建立参数与图像的对应关系，实现“代数变换”与“几何特征”的衔接。
【考点四：半角公式】
【例题】4．（2025高三·全国·专题练习）已知，求值．
【答案】
【分析】由题意得，结合半角公式即可求解.
【详解】因为，所以，
所以，
解得或（舍去），
所以，
所以由半角公式可得
.
【针对训练】5．（2025高三·全国·专题练习）若是第一象限角，且，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意确定的范围，再利用半角公式即可得到结果.
【详解】因为是第一象限角，所以，
则，所以是第一象限角或第三象限角.
又知，，
所以，
故选：D.
6．（24-25高一下·辽宁·期中）已知是第四象限角，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据是第四象限角结合同角三角函数关系及半角公式计算求解.
【详解】因为是第四象限角，又因为，则，
所以.
故选：D.
【解题策略】
一、明确半角公式的三种形式及适用场景
半角公式的本质是二倍角公式的变形，针对、、有不同表达式，需根据已知条件选择合适形式：
1. 无理形式（含根号）
适用场景：已知的值，求、或，需结合的终边所在象限判断符号（“”的选择）。
2. 有理形式（切化弦或含）
适用场景：
已知和的值，避免根号运算，直接通过分子分母的整式运算求解；
化简含与的分式（如可直接化为）。
二、符号判断：半角公式的关键
无理形式中“”的选择是易错点，需严格根据的终边所在象限确定三角函数的符号：
1. 先确定的范围，进而推出的范围（如，则，）；
2. 根据的象限判断三角函数符号（如在第二象限时，，）。
三、半角公式的常见应用场景及策略
1. 已知全角三角函数值，求半角三角函数值
步骤：
① 确定的象限，判断符号；
② 选择合适公式（已知用无理形式，已知和用有理形式）；
③ 代入计算。
2. 化简含半角的三角函数式
核心思路：通过半角公式将半角化为全角，减少角的种类，便于进一步化简。
例：化简，可直接用的倒数，得；
若表达式含根号（如），可利用，化为，再结合象限去绝对值。
3. 证明三角恒等式
策略：从等式一边（通常含半角）出发，用半角公式转化为全角表达式，逐步向另一边推导。
例：证明，可从右边入手，分子用二倍角公式，分母用，约分后得。
4. 与其他公式结合使用（如和差角、二倍角）
半角公式常作为“桥梁”，连接不同角的三角函数。例如：
已知，可将视为的二倍角，用半角公式将的三角函数表示为的函数；
处理（即的半角）时，可连续使用半角公式，逐步降角（如，再代入的表达式）。
四、注意事项
1. 半角公式与二倍角公式是“互逆”关系，解题时需根据角的倍数关系灵活转换（如是的二倍角，是的半角）；
2. 有理形式的公式（）可避免符号判断，在化简和求值中更便捷，优先选用；
3. 当的范围不明确时，需保留“”或用绝对值表示结果，避免符号错误。
总结
半角公式的解题核心是“明确角的倍数关系→选择合适公式形式→判断符号（无理形式）→结合其他公式化简或求值”。熟练掌握三种形式的转化及符号规则，可有效解决与半角相关的化简、求值、证明问题，同时为复杂角的恒等变换提供更多角度。
【考点五：和差化积积化和差公式】
【例题】7．（2025高三·全国·专题练习）设是锐角，且，求证：
【答案】证明见解析
【分析】根据题意得到的范围，利用降幂公式与和差化积公式计算，结合正弦函数的值域即可证得结论.
【详解】由
（*），
因可得，,
则,,
由（*）可得，
，则，可得，
由此可得，
代入（*）式，得，
则有,故得，
又，，.
8．（2025高三·上海·专题练习）已知，则 .
【答案】
【分析】先利用二倍角公式、和差化积公式求出，结合条件求出，再利用商数关系即可得答案.
【详解】因为，所以，
由和差化积公式，得，
因为，所以，
由，
可得，
所以.
故答案为：.
【针对训练】9．（24-25高一下·辽宁鞍山·期末）已知函数，，若有两个零点，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】对于AB，由结合余弦函数的性质求出，进行分析判断，对于C，通过分析和的正负进行判断，对于D，结合三角函数恒等变换公式直接计算进行判断.
【详解】令，得，故或，
所以，或，，
解得 ①，或②，，
因，由①可得：当或时，可得，；
由② ，因，方程无解.
综上可知，A、B错误；
因为，，所以，故C错误；
又，故D正确.
故选：D.
10．（2025·湖南邵阳·模拟预测）函数在区间的零点个数为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【分析】由，，令，求解的值，判断选项.
【详解】由，，
令，则，或，
故或，即或，
由，则或，
即或，
故或，
综上所述，存在个零点,即为.
故选：C.
11．（2025·江西新余·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．3D．
【答案】A
【分析】根据两角和差的余弦可得，再由同角三角函数的基本关系式得，故可求，从而求得.
【详解】因为
，
又因为，且，,
所以，故，
又由于，所以，
由于，
故选：A．
12．（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据得，再根据，，计算即可求解.
【详解】因为
，
由题意可知，，所以，
因为，，，
所以，，
所以，，
因为，
，
所以.
故选：C.
【解题策略】
一、明确两组公式的形式及转化本质
两组公式是“互逆”关系，需熟记结构及系数特征：
1. 积化和差公式（将“积”化为“和差”）
本质：将两个角的三角函数乘积，转化为这两个角的和、差的三角函数的和或差，消除“乘积”运算。
2. 和差化积公式（将“和差”化为“积”）
本质：将两个角的三角函数的和或差，转化为这两个角的半和、半差的三角函数的乘积，便于提取公因式或利用二倍角等公式进一步化简。
二、适用场景：何时选择积化和差或和差化积？
两组公式的应用需结合表达式的“形式特征”和“问题目标”判断：
1. 积化和差的适用场景
表达式中存在三角函数的乘积项（如、等），且需化简为和差形式以消去某些项（如正负抵消）；
求值时，乘积项中的角通过和差后可化为特殊角（如、等），便于计算具体值；
证明恒等式时，左侧为积式，右侧为和差式，需通过积化和差转化。
2. 和差化积的适用场景
表达式中存在三角函数的和或差（如、等），且需转化为积式以提取公因式（如与其他项约分）；
求值时，和差项中的角通过半和、半差后可化为特殊角或同角（如、等），便于简化运算；
处理三角形中的角关系（如）时，利用和差化积将角的和差转化为积，结合三角形内角和性质化简（如，则）。
三、核心解题策略：转化目标与操作步骤
1. 化简三角函数式：消项、降次或统一角
目标：通过积与和差的互化，减少项数、降低复杂度，或统一角的形式（如转化为同角、特殊角）。
步骤：
① 观察表达式形式：若为“积”，优先用积化和差；若为“和差”，优先用和差化积；
② 代入公式转化后，合并同类项或利用诱导公式化简（如）；
③ 若存在多余项，尝试通过角的关系（如与的互补、互余）消去。
2. 求值问题：转化为特殊角或已知角的三角函数
目标：将待求式中的角通过和差化积或积化和差，转化为已知值的角或特殊角（如、、等）。
关键技巧：
对于和差化积：设，，则，，即通过“设元”将两个角的和差转化为、的积（如）；
对于积化和差：若已知和的三角函数值，可直接代入公式计算积的值（如已知和，求，可转化为）。
3. 证明三角恒等式：从复杂端向简单端转化
策略：
若等式一侧为“积式”，另一侧为“和差式”，从积式端用积化和差转化，逐步向和差式端推导；
若两侧均为“和差式”或“积式”，通过和差化积或积化和差统一形式后，对比两侧是否相等；
利用角的关系（如）辅助转化，结合诱导公式或二倍角公式简化中间过程。
4. 与其他公式结合使用：形成“转化链”
积化和差与和差化积常作为中间步骤，与二倍角、半角、和角公式等配合使用：
例如：化简，可先将两项分别用积化和差：
，，相加后得；
再如：化简，用和差化积得，若需进一步化简，可结合二倍角公式处理。
四、易错点与注意事项
1. 系数与符号：积化和差公式中均含系数，且的公式前有负号；和差化积公式中均含系数，且的公式前有负号，需严格记忆避免出错。
2. 角的范围：转化后若涉及开方或符号判断（如与半角公式结合时），需根据角的范围确定三角函数的符号。
3. 公式的灵活性：和差化积中，“角的拆分”是关键（如，），需熟练掌握这种“凑角”技巧。
总结
积化和差与和差化积公式的核心解题逻辑是“观察形式→判断转化方向（积化和差或和差化积）→利用角的关系辅助转化→结合其他公式化简或求值”。其价值在于通过“积与和差的互化”打破表达式的固有结构，使复杂项简化、非特殊角转化为特殊角，最终实现问题的求解。熟练掌握公式特征及适用场景，可有效提升处理复杂三角表达式的能力。
课后针对训练
一、单选题
1．（24-25高一下·湖北咸宁·期末）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知，则（ ）
A．1B．2C．或2D．1或2
3．（2011·海南海口·一模）若，则（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高三下·甘肃·阶段练习）计算（ ）
A．2B．C．D．
5．（2025高三·全国·专题练习）已知，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．（24-25高二下·浙江温州·阶段练习）实数α，β满足，则（ ）
A．B．C．D．
7．（24-25高一下·江西吉安·期末）若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．（24-25高一下·四川绵阳·期中）若，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．（2025·江西新余·模拟预测）已知，则 ．
10．（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）求值： ．
11．（24-25高三上·江苏镇江·阶段练习）已知，，则 .
12．（24-25高一下·湖北武汉·阶段练习）已知，若，则
三、解答题
13．（2025·广东·一模）已知函数，其中．
(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；
(2)若时，的最小值为4，求的值．
14．（23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）已知，且．
(1)求的值：
(2)求的值．
15．（24-25高一下·四川成都·期末）已知．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
参考答案
1．D
【分析】利用半角公式，结合角的范围进行求解，得到答案.
【详解】，故，故，
所以.
故选：D
2．B
【分析】先根据角的范围和题设条件求出与的值，再由和角的余弦公式求出，即可求得.
【详解】由可得，
因，则，
又，则，
因，
则，
故
，
因，故.
故选：B.
3．A
【分析】根据题意结合诱导公式以及两角和差公式可得，再根据齐次式问题分析求解.
【详解】由题意得，解得，
所以.
故选：A.
4．C
【分析】应用两角和差正弦公式及余弦公式及弦化切得出，再应用二倍角正弦公式及弦化切计算求解.
【详解】因为，
即，则.
故选：C．
5．A
【分析】将和两边平方并分别相加和相减，利用三角函数公式化简可得结果.
【详解】由题意，，，
则，
化简可得，所以，
又，
则，
，
即，
所以，
所以，
由，可得.
故选：A.
6．D
【分析】根据题意利用诱导公式和倍角公式可得，分子、分母同乘，结合倍角公式运算求解.
【详解】因为
.
故选：D.
7．B
【分析】由，利用诱导公式和二倍角的余弦公式即可求解.
【详解】由题意有，
故选：B.
8．D
【分析】根据诱导公式和二倍角公式将已知化简得，然后同除得，求解即可.
【详解】因为，所以，
所以，
即，
所以，即，解得1或2.
故选：D
9．
【分析】根据题意，化简求解可得，由诱导公式及二倍角公式化简，再利用齐次式求解即可.
【详解】因为，则，
即，显然，
可得，整理得，
解得或，
又因为，可得，
所以．
故答案为：.
10．
【分析】应用诱导公式及差角余弦公式、二倍角余弦公式可得，即可求角的大小.
【详解】由，
所以，又，
所以，而，
所以.
故答案为：
11．
【分析】用已知角来表示所求的角，再进行弦化切即可求解.
【详解】，，
.
故答案为：.
12．1
【分析】根据同角三角函数的基本关系及降幂公式、诱导公式求解.
【详解】
，
故答案为：1
13．(1)
(2)
【分析】（1）利用同角公式及差角的正弦公式求解.
（2）利用同角公式及差角的正弦公式求出即可.
【详解】（1）由，得，
所以.
（2）由，得，由，
得，则
，
所以.
14．(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角的正切公式和两角差的正切公式即可求解；
（2）根据已知角的范围及三角函数值，结合同角三角函数的平方关系和商数关系求出，由二倍角的正切公式求出，再由及差角正切公式求解即可.
【详解】（1）因为，所以，
所以.
（2）因为，所以，
因为，所以，所以，
所以，
，
则，
因为，所以.
15．(1)；单调递增区间为
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简，进而根据周期公式求得函数的最小正周期；利用整体法根据正弦函数的单调性求得函数的单调递增区间．
（2）由已知找到取最小值为4时的值，得到关于的方程．
【详解】（1），
．
由，，求得，，
函数的单调递增区间为．
（2）由时，，，
，
解得．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8


答案
D
B
A
C
A
D
B
D