2026年高三数学一轮复习备考题型归纳讲义第26讲：平面向量基本定理以及坐标表示(知识梳理+题型总结)(学生版+解析)

这是一份2026年高三数学一轮复习备考题型归纳讲义第26讲：平面向量基本定理以及坐标表示(知识梳理+题型总结)(学生版+解析)，共18页。学案主要包含了新高考课程标准要求，知识梳理，课前自测，针对训练，解题策略等内容，欢迎下载使用。
1.了解平面向量基本定理及其意义：理解如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，，使。明确不共线的向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示：理解把一个向量分解为两个互相垂直的向量叫做把向量正交分解。在平面直角坐标系中，能根据平面向量基本定理，将向量用与轴、轴正半轴方向相同的单位向量，为基底进行表示，并得出向量的坐标。
3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算：设，，要熟练掌握，，等运算规则，同时能根据向量起点和终点坐标求向量坐标。
4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件：设，，其中，能理解并运用，共线⇔这一条件解决相关问题，如已知两向量共线求参数值，或判断向量是否共线等。
【知识梳理】
一、平面向量基本定理
（一）定理内容
若，是同一平面内不共线向量，则对该平面内任意向量，存在唯一一对实数，使。
（二）核心概念与结论
1. 基底：不共线的称为基底；基底不唯一，但需满足“不共线、非零”，且选定后向量表示形式唯一。
2. 分解唯一性：若，则且。
（三）定理作用
1. 是平面向量坐标表示的理论基础，实现向量“几何表示→代数表示”的转化。
2. 选合适基底可将几何问题转化为代数问题，简化求解。
二、平面向量的坐标表示
（一）坐标定义
以与轴、轴正方向一致的单位向量，为基底，对任意向量，若，则的坐标为，记作。
（二）特殊向量坐标
1. 零向量：
2. 单位向量：，
（三）向量与点坐标关系
若，，则（终点坐标 - 起点坐标）。
三、平面向量的坐标运算
（一）加减与数乘运算
设，，为实数：
1. 加法：
2. 减法：
3. 数乘：
（二）核心应用结论
1. 向量共线：（）
2. 向量垂直：
3. 三点共线：若三点，即可判定（用共线条件验证）。
【课前自测】
一、单选题
1．（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：（m/s）），则真风为（ ）
A．轻风B．微风C．和风D．劲风
【答案】A
【分析】结合题目条件和图写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量，得出真风风速的大小，即可由图得出结论.
【详解】由题意及图得，
视风风速对应的向量为：，
视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，
船速方向和船行风速的向量方向相反，
设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为，
∴，船行风速：，
∴，
，
∴由表得，真风风速为轻风，
故选：A.
2．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．5D．6
【答案】C
【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得
【详解】解：,,即,解得,
故选：C
3．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．
【详解】因为，所以，，
由可得，，
即，整理得：．
故选：D．
4．（2023·全国乙卷·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A．B．3C．D．5
【答案】B
【分析】方法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解.
【详解】方法一：以为基底向量，可知，
则，
所以；
方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，
则，可得，
所以；
方法三：由题意可得：，
在中，由余弦定理可得，
所以.
故选：B.
5．（2002·全国·高考真题）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点，若点C满足，其中，，且，则点C的轨迹方程为
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】向量坐标化得结合即可得点C的轨迹方程．
【详解】设.由已知可知，又，又，可得点C的轨迹方程为.
故选D.
【点睛】本题考查向量坐标运算，消元法求轨迹方程，是基础题
二、填空题
6．（2024·上海·高考真题）已知，且，则的值为 ．
【答案】15
【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.
【详解】，，解得．
故答案为：15．
7．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量若，则
【答案】
【分析】根据向量坐标化运算得，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可.
【详解】，因为，则，
则，解得.
则，则.
故答案为：.
8．（2022·天津·高考真题）在中，点D为AC的中点，点E满足.记，用表示 ，若，则的最大值为
【答案】
【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出，以为基底，表示出，由可得，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出．
法二：以点为原点建立平面直角坐标系，设，由可得点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，方程为，即可根据几何性质可知，当且仅当与相切时，最大，即求出．
【详解】方法一：
，，
，当且仅当时取等号，而，所以．
故答案为：；．
方法二：如图所示，建立坐标系：
，，
，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，当且仅当与相切时，最大，此时．
故答案为：；．
题型分类
知识讲解与常考题型
【考点一：平面向量基本定理的应用】
【例题】1．（2025高二·全国·专题练习）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据基底向量的性质，判断是否共线即可求解.
【详解】对于A,，故共线，不可作为基底，
对于B, ,故共线，不可作为基底，
对于C, ,故共线，不可作为基底，
对于D, 由于，故不存在实数，使得，因此不共线，故可以作为基底向量，
故选：D
2．（2025高三·全国·专题练习）如图，在中，设的中点为的中点为的中点为，若，则 ， ．
【答案】
【分析】求出，求出，求出，求出，求出即可求解.
【详解】因为，，，
则，
故．又，
得，
所以．
故答案为：；.
【针对训练】3．（2025高三·全国·专题练习）已知，，，．设，则 ．
【答案】或
【分析】当点在内时，设，由，两边分别与点乘，可求得，当点在外时，同理可得的值.
【详解】当点在内时，设，
则，
即，得．
在已知式两边点乘，得，
即，得．
综上知．
当点在外时，同理得．
所以的值为或．
故答案为：或．
4．（24-25高一下·重庆·期末）已知点P是所在平面内一点，且, ，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则点P是边BC的中点
B．若点P是边BC上靠近B点的三等分点，则
C．若，则
D．若点P在BC边的中线上，且，则点P是的重心
【答案】BD
【分析】利用平面向量基本定理逐一判断各选项即可.
【详解】对于A，因，P为边BC的中点等价于，
即，，故A错误；
对于B，如图1，点P是边BC上靠近B点的三等分点，
则，
即，，即，故B正确；
对于C，若，则，且，
如图2，设，即，则点在边上，
点为的中点，所以，即C错误；
对于D，若，所以，且，
如图3，设，即，则点在上，
又因为P在BC边的中线上，则即为中线，从而点P为的重心，故D正确.
故选：BD．
5．（2025高一·全国·专题练习）如图，在中，，，和交于点，试用和表示向量．
【答案】
【分析】由于是和的交点，若用回路法，就要找和上的回路，当然也可以用三点共线的充要条件构造方程.
【详解】解法1：因为三点共线，
所以．
因为三点共线，所以，可得，
所以．
解法2：因为，
根据定比分点公式可得，
即．
因为三点共线，
所以，即，
所以，
即，所以．
解法3：，
化简得．
因为，，所以，
则，可得，
即．
解法4：由，可得，
化简得，
后面与解法3相同．
【解题策略】
一、平面向量基本定理的实质
平面向量基本定理是平面向量线性运算的核心定理，其本质可概括为“平面内任意向量的唯一线性表示”，具体从以下两个维度剖析：
（一）几何本质：向量的“分解与重构”
平面内任意向量均可由一组不共线向量（基底）线性表示，即通过基底的“数乘+加法”运算，重构出目标向量。这一过程如同平面直角坐标系中，任意点的坐标由横、纵轴单位向量确定，本质是建立“向量”与“有序实数对（）”的一一对应关系，为向量的几何属性（如方向、长度）提供量化依据。
（二）代数本质：几何问题代数化的桥梁
通过基底将向量转化为含参数（）的线性表达式（如），可将向量的平行、垂直、数量积等几何关系，转化为关于参数的方程或不等式，实现“几何问题→代数问题→求解参数”的转化，是解决向量综合题的关键思想。
考点提示：定理的核心是“基底不共线”与“表示唯一性”，高考中常以此为隐含条件考查参数求解（如已知向量共线求系数）。
二、平面向量基本定理的核心应用思想
（一）基底优先思想
1. 核心逻辑
解决向量问题时，优先选取合适基底，将所有涉及向量统一用基底表示，再利用向量运算规则推导关系，避免复杂几何分析。
2. 基底选择原则（高频考点）
3. 典型示例
在中，为中点，若选，为基底，则：
，即。
结论：三角形中线向量的基底表示可直接作为二级结论使用，简化选择题、填空题求解。
（二）唯一性转化思想
1. 核心逻辑
利用“同一组基底表示向量的唯一性”：若（不共线），则系数对应相等，即。由此可将向量等式转化为参数方程组，求解未知系数或参数。
2. 适用场景
求向量线性表示中的系数（如用基底表示某向量）；
证明向量共线、垂直（转化为参数关系）；
解决与向量分解相关的参数问题（如已知向量关系求参数值）。
3. 典型示例
已知为不共线向量，，，且，求的值。
解：由，存在实数，使，即：
由唯一性得，解得。
三、平面向量基本定理的解题策略（高频题型）
（一）基底法解题四步曲（高考核心方法）
1. 定基底
根据题干条件，选取不共线、已知条件多的两个向量作为基底（如三角形两边、平行四边形邻边），标注为或。
2. 表向量
将题干中所有向量（已知向量、目标向量）用基底线性表示，注意利用向量加减法的三角形法则、平行四边形法则（如）。
3. 列关系
根据题干条件（如向量共线、垂直、数量积为定值、长度关系），结合向量运算规则（数乘、数量积），列出关于基底系数的等式或不等式。
4. 求结果
利用基底不共线性（系数唯一性），解方程组或不等式，得到参数值、目标向量表达式等结果。
典型例题（高考真题改编）
题目：在平行四边形中，为中点，与交于点，求的值。
解题步骤：
1. 定基底：选，为基底（不共线，平行四边形边向量，已知条件明确）；
2. 表向量：
；
（为中点，）；
设（为待求比值，），且（为参数）；
3. 列关系：由系数唯一性得；
4. 求结果：解方程组得，故。
（二）坐标法与基底法的衔接策略（方法选择技巧）
衔接逻辑：
基底法受阻（如系数关系复杂）：可建立直角坐标系，将基底转化为，，用坐标运算简化；
坐标法复杂（如点坐标含多个参数）：回归基底法，选特殊向量（如中点向量、角平分线向量）为基底，减少参数。
（三）易错点规避（高考常见失分点）
1. 基底条件遗漏：基底必须满足“不共线、非零”，若基底共线，定理不成立（如选与为基底），会导致系数唯一性失效；
2. 系数唯一性误用：仅在“同一组基底”下系数唯一，不同基底的系数不可直接比较（如用表示的与用表示的，系数无关联）；
3. 数量积运算错误：基底非正交时（如夹角为），，不可默认（仅正交基底满足此式）。
四、方法总结与高考预测
1. 核心方法：基底法是解决向量综合题的“通法”，尤其适用于无坐标系的几何图形问题，需熟练掌握“定基底→表向量→列关系→求结果”四步流程；
2. 高考趋势：常与三角形、平行四边形、梯形等几何图形结合，考查向量线性表示、参数求解、数量积计算，题型以选择题（5分）、填空题（5分）或解答题第（1）问（4-6分）为主；
3. 备考建议：熟记三角形中线、角平分线、高线的向量基底表示（二级结论），提高解题速度；通过典型例题练习基底法与坐标法的灵活切换，应对不同题型。
【考点二：平面向量的坐标运算】
【例题】1．（2025高三·全国·专题练习）设向量绕点逆时针旋转得向量，且，则向量（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设，求出，求出，求出和即可求解.
【详解】设，则，
所以，
即，解得，
因此，，．
故选：B．
2．（24-25高一下·湖南长沙·期末）如图，扇形的半径为，圆心角，点在弧上运动，，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】以点为坐标原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，设点，其中，利用平面向量的坐标运算结合辅助角公式、正弦型函数的基本性质可求得的最小值.
【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则、、，设点，其中，
由可得，
即，故，
因为，故，
故当时，取最小值.
故选：D.
【针对训练】1．（21-22高一下·全国·单元测试）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则 ．
【答案】
【分析】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算求即可.
【详解】如图建立平面直角坐标系，
则，又，
所以，
则.
故答案为：.
2．（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）若，，则的坐标为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由向量减法的坐标运算即可得解.
【详解】因为，，
所以.
故选：C.
3．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）已知边长为1的正方形，动点P在以点A为圆心且与相切的圆上.若，则的最大值为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】B
【分析】以点为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，设，则，利用向量坐标运算可得，利用基本不等式运算得解.
【详解】以点为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，
则，，以为圆心与相切的圆的半径为，
设，则，由，
，则，
，当且仅当时，取等号，
所以的最大值为1.
故选：B.
【解题策略】
一、核心基础：向量坐标的求解策略
（一）两类核心场景与解题步骤
1. 已知点坐标求向量坐标
适用场景：已知向量起点、终点的直角坐标，求向量坐标（高考高频基础题型）。
解题依据：若，，则（终点坐标 - 起点坐标）。
解题步骤：
① 明确向量的起点和终点，标注两点坐标，；
② 代入公式计算：；
③ 验证符号（如与互为相反向量，坐标符号相反）。
2. 已知向量坐标求点坐标
适用场景：已知向量坐标及其中一个端点坐标，求另一个端点坐标（常与几何图形结合）。
解题依据：设，，则；若已知，则。
解题步骤：
① 设未知点坐标为（如已知求，设）；
② 根据向量坐标公式列方程：；
③ 解方程组得，即未知点坐标。
二、高频题型：向量线性运算的坐标解题策略
（一）核心运算公式（必须熟记）
设，，为实数，则：
1. 加法：；
2. 减法：；
3. 数乘：。
（二）解题步骤
1. 直接运算型（基础题）
解题步骤：
① 明确已知向量的坐标（若未直接给出，先按“点坐标求向量坐标”步骤计算）；
② 代入对应运算公式，分别计算分量和分量；
③ 整理结果，写出目标向量的坐标。
2. 含参数运算型（中档题，常考）
解题步骤：
① 设含参数的向量坐标（如，为参数）；
② 按运算规则列出含参数的目标向量坐标表达式；
③ 根据题干条件（如向量长度、与其他向量的关系）列方程，求解参数。
三、重难点题型：向量共线与垂直的坐标解题策略
（一）向量共线的坐标判定与应用
1. 核心定理
设，（），则（交叉相乘差为0）。
2. 解题步骤（常考参数求解、三点共线问题）
① 写出两向量的坐标（若为三点共线，先求两点构成的向量坐标，如和）；
② 代入共线条件，列方程；
③ 解方程得参数值（或验证共线）。
（二）向量垂直的坐标判定与应用
1. 核心定理
设，，则（对应坐标乘积和为0）。
2. 解题步骤（常考参数求解、垂直关系证明）
① 写出两向量的坐标（若为几何图形中的垂直，先求相关向量坐标，如三角形的两边向量）；
② 代入垂直条件，列方程；
③ 解方程得参数值（或验证垂直）。
四、综合题型：向量坐标运算与几何图形结合的解题策略
（一）核心场景：三角形、平行四边形中的坐标运算
解题步骤（通用）
① 建系：若题干无坐标系，根据图形特征建立直角坐标系（优先以顶点为原点，或让边与坐标轴重合，简化点坐标）；
② 求坐标：确定图形各顶点的坐标，进而求出相关向量的坐标；
③ 用公式：根据题干要求（如求向量和、证明共线/垂直、求数量积），代入坐标运算公式；
④ 得结论：整理计算结果，回答题干问题。
五、易错点规避与解题技巧
（一）常见易错点提醒
1. 向量与点坐标混淆：向量坐标是“终点-起点”，点坐标是位置坐标，如是点坐标，是向量坐标（为原点），不可直接等同；
2. 共线条件遗漏“”：若，则恒成立，但此时与共线（零向量与任意向量共线），需结合题干判断是否需排除；
3. 数量积与模的运算混淆：模的平方是“坐标平方和”（如），数量积是“对应坐标乘积和”（如），不可记错公式。
（二）实用解题技巧
1. “原点化”技巧：若向量以任意点为起点，可转化为以原点为起点的向量（如），简化运算；
2. 参数设元技巧：涉及动点或未知向量时，设参数坐标（如动点，向量），用参数表示关系，再列方程求解；
3. 几何意义辅助：坐标运算可结合几何意义验证（如的坐标对应平行四边形法则，的坐标对应向量的伸缩），避免纯代数计算错误。
六、题型总结与高考适配
备考建议：针对高考高频的“共线/垂直求参数”“几何图形建系运算”，每天练习1-2道典型题，熟练公式与步骤；整理错题时标注易错点（如坐标计算错误、公式记错），避免重复失分。
【考点三：平面向量共线的坐标表示】
【例题】1．（24-25高一下·江苏连云港·阶段练习）已知向量，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用共线向量的坐标运算来求出正切，再利用弦化切即可求值.
【详解】因为向量，所以，
即，
则，
故选：A．
2．（24-25高一下·上海·期末）已知平面上的两个向量．
(1)若与平行，求的值；
(2)若与垂直，求的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据平行满足的坐标关系即可求解，
（2）根据垂直，得数量积为0，即可结合辅助角以及三角函数的性质求解.
【详解】（1）与平行，
（2）与垂直，，
即，
故，
即
由于，所以，则或，
故或
【针对训练】1．（24-25高一下·天津·期末）已知向量.若与共线，则实数k的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据向量的坐标运算法则求，结合向量 的坐标表示列方程求.
【详解】因为，
所以，又，与共线，
所以，
所以，
故选：C.
2．（2025高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点，，，若，则（ ）
A．B．C．D．5
【答案】C
【分析】根据题设得，，由向量共线的坐标表示列方程，即可得.
【详解】由题得，，又，所以，即.
故选：C
3．（2025高三·全国·专题练习）已知向量，，，若，则 ．
【答案】/
【分析】根据向量的坐标运算先求，再根据向量共线的坐标运算即可求解.
【详解】由题得，又，
则，解得．
故答案为：.
【解题策略】平面向量共线的坐标表示解题策略
一、核心定理：共线向量的坐标判定依据（必须熟记）
设平面向量，，其中（关键前提：零向量与任意向量共线，若，则与必共线，需单独验证），则：
（本质：两向量坐标“交叉相乘，差值为0”）。
二、三大高频题型与解题步骤
（一）题型1：已知两向量共线求参数（高考基础题，占3-5分）
适用场景
已知两向量坐标含参数（如，），且两向量共线，求参数值（如）。
解题步骤
1. 定向量坐标：明确两向量的坐标形式，标注参数（如含参数，为已知坐标）；
2. 验非零前提：判断含参数向量是否可能为零向量（如，若，则，与必共线，需结合题干判断是否保留此情况）；
3. 代共线公式：将坐标代入，列关于参数的一元方程；
4. 解方程验证：求解方程得参数值，若题干有额外条件（如向量非零），需代入验证排除不符合的解。
（二）题型2：三点共线的坐标判定（高考中档题，占5分）
适用场景
已知三点坐标（或含参数的坐标），判断三点是否共线（如，，），或已知三点共线求参数。
解题步骤
1. 构向量：取三点中任意两点构造两个共起点的向量（优先选公共点为起点，如以为公共点，构造和）；
2. 求向量坐标：根据“向量坐标=终点坐标-起点坐标”，计算两向量的坐标（如，）；
3. 代共线条件：将两向量坐标代入（此处为坐标，为坐标）；
4. 判共线：若等式成立，且两向量有公共点，则三点共线；若含参数，解方程得参数值。
（三）题型3：共线向量与几何图形结合（高考综合题，常为解答题第1问，占4-6分）
适用场景
在三角形、平行四边形、梯形等几何图形中，已知某组向量共线（如线段中点、三等分点关联向量），求点坐标或参数（如为上一点，且，求的坐标）。
解题步骤
1. 建系（若需）：无坐标系时，根据图形特征建直角坐标系（优先让顶点在坐标轴或原点，简化点坐标，如设，）；
2. 定已知点坐标：标注图形中已知顶点的坐标，设未知点坐标（如）；
3. 表共线向量：用点坐标表示出共线的两个向量（如，）；
4. 列方程求解：代入共线条件，结合图形隐含关系（如在上，满足与共线），列方程组求解未知点坐标或参数。
三、四大易错点规避（高考失分重灾区）
1. 遗漏“”前提：若直接用，需先确认；若可能为零向量（如），需单独讨论的情况（此时，与必共线）；
2. 向量坐标计算错误：求向量坐标时，混淆“起点-终点”与“终点-起点”（如是，而非），导致后续代入公式结果错误；
3. 三点共线未验证公共点：仅满足不能判定共线，需两向量有公共点（如与共点）；
4. 忽略题干限制条件：如“向量非零”“点在线段上（而非直线上）”，需在求得参数后，代入验证是否符合限制（如为中点，参数需满足，为分点比）。
四、实用解题技巧（提速提分关键）
1. “参数统一”技巧：若向量含多个参数（如，），代入共线条件后，可整理为关于参数的一元一次/二次方程，优先用因式分解法求解（避免求根公式耗时）；
2. “共线分点”结论复用：若涉及线段分点（如分为），可直接用分点坐标公式（，），结合共线条件快速计算（本质是与共线的推导结果）；
3. “几何意义辅助验证”：共线向量坐标满足“横纵坐标成比例”（如，，则，），可用于快速验证计算结果（如，，，必共线）；
4. “排除法”解选择题：已知两向量共线求参数的选择题，可将选项代入，快速排除不符合的选项（比解方程更高效）。
五、高考适配与备考建议
1. 考情分析：该考点单独考查时，多为选择题/填空题（5分），结合几何图形时，常作为解答题第（1）问（4-6分），难度中等，是“保分题”；
2. 高频考法：①已知两向量共线求参数；②已知三点共线求参数；③几何图形中利用共线求点坐标；
3. 备考策略：①每天练1-2道专项题，熟练“代公式→解方程→验证”流程；②整理错题时，标注易错点（如参数验证、向量坐标计算）；③熟记“共线分点坐标公式”“三点共线向量判定法”等二级结论，缩短解题时间。
课后针对训练
一、单选题
1．（2025·湖北·模拟预测）已知向量，若，则（ ）
A．8B．4C．2D．
2．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在平面直角坐标系中，向量，，，若A，B，C三点共线，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·模拟预测）在中，点D是线段AB上靠近B的四等分点，点E是线段CD上靠近D的三等分点，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·天津河北·模拟预测）如图，在中，D是边AB上一点，且，点E是CD的中点．设，，则可以表示为（ ）

A．B．
C．D．
5．（2022·四川绵阳·模拟预测）已知为坐标原点，，若、，则与共线的单位向量为（ ）
A．B．或
C．或D．
6．（2023·内蒙古赤峰·三模）如图，在四边形ABCD中，，，，，，，则（ ）

A．B．2C．3D．6
7．（2024·湖南邵阳·一模）如图所示，四边形是正方形，分别，的中点，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．（2025·北京·模拟预测）如图，，点P在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．（2025·甘肃甘南·模拟预测）如图，在中，为线段上一点，且，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
10．（21-22高三下·湖南常德·阶段练习）在中，，，，是的外接圆上的一点，若，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
11．（2025·辽宁·模拟预测）已知等边三角形的边长为，，，交于点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则为的中点
12．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知向量，为平面内两个单位向量，且，则下列说法正确的有（ ）
A．在上的投影向量为
B．
C．与可以构成平面内所有向量的一组基底
D．
三、填空题
13．（2023·广东广州·一模）已知向量，，与共线，则 .
14．（2023·湖北襄阳·模拟预测）在直角梯形中，，，，，动点在以点为圆心，且与直线相切的圆上移动，设，则最大值是 .
四、解答题
15．（2025·天津河北·模拟预测）已知向量，，．
(1)求的坐标，的值；
(2)若，求实数k的值；
(3)若，求实数k的值．
参考答案
1．A
【分析】根据平面向量共线的坐标公式计算即可.
【详解】，由得，解得．
故选：A．
2．C
【分析】根据三点共线的向量关系式即可求解.
【详解】因为A，B，C三点共线，
则，，
即，
则，解得.
故选：C
3．C
【分析】方法一：利用平面向量基本定理得到答案；
方法二：设是等腰直角三角形，且，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，从而得到方程组，求出答案.
【详解】方法一：如图，由题意得，，
故
；
方法二：不妨设是等腰直角三角形，且，
以C为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，
则，
则，
设，
故，
所以，解得，
故．
故选：C．
4．B
【分析】应用向量加减、数乘的几何意义用，表示出即可.
【详解】由题设，，
所以.
故选：B
5．C
【分析】求出的坐标，除以，再考虑方向可得．
【详解】由得，即，，
，
，
，
与同向的单位向量为，反向的单位向量为．
故选：C．
6．A
【分析】建立平面直角坐标系，求得相关点坐标，求得相关向量的坐标，根据，结合向量的坐标运算，即可求得答案.
【详解】以A为坐标原点，以为x轴，过点A作的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，

则,
故,
则由可得，
即，
故，
故选：A
7．D
【分析】由平面向量的线性运算可得，即可求出，进而求出的值.
【详解】
，
所以，所以，
所以，
.
故选：D.
8．D
【分析】在的反向延长线上取点，使得，过作，分别交和的延长线于点，根据平面向量的加法运算，讨论点在点处与处时的值，从而得的取值范围.
【详解】如图，由于，
在的反向延长线上取点，使得，过作，分别交和的延长线于点，
则，
要使得点落在指定区域内，则点应落在上，
当点在点处时，，
当点在点处时，，
所以的取值范围是.
故选：D.
9．D
【分析】先利用基底表示，再设，即可构造关于的方程组.
【详解】因，则，
故，
因三点共线，故设，则，
因，则，解得．
故选：D．
10．B
【分析】先解三角形得到为直角三角形，建立直角坐标系，通过表示出，借助三角函数求出最小值.
【详解】由余弦定理得，所以，所以，所以．以AC的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，易得A（－1，0），C（1，0），B（－，），设P的坐标为，所以，，，又，所以，所以，，所以，当且仅当时，等号成立．
故选：B．
11．AB
【分析】结合图形，由向量的加法法则可得A正确；由三角形重心的向量表示可得B正确；结合图形，由向量的加法法则和数量积的运算律以及数量积的定义可得C错误；由向量的加法法则结合三点共线的性质可得D错误.
【详解】对于A，当时，，故A项正确；
对于B，由，知此时为的重心，所以，分别是和的中点，
所以，故B项正确；
对于C，当时，，，
则，故C项错误；
对于D，当时，设，
由，，三点共线，得，解得，故D项错误．
故选：AB．
12．BCD
【分析】由题意根据平面向量的数量积运算可得，进而根据投影向量的定义、数量积的运算律、基底的定义、向量垂直的定义判断各选项即可.
【详解】由题意，，，
则，则，即.
对于A，在上的投影向量为，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，由，得不共线，则与不共线，
所以与可以构成平面内所有向量的一组基底，故C正确；
对于D，由，
则，故D正确.
故选：BCD.
13．
【分析】先通过向量加法的坐标运算求出坐标，依据向量共线的坐标表示列出方程，求得的值，利用向量减法的坐标运算求出的坐标，即可求出的模长.
【详解】，与共线，可得，解得，所以，所以.
故答案为：.
14．4
【分析】建立直角坐标系，写出点的坐标，求出BD的方程，求出圆的方程，设出，求出三个向量的坐标，用P的坐标表，则，根据直线AP:与有交点,求出范围．
【详解】解：以为原点，分别以方向为轴，建立如图所示直角坐标系：
所以，，，，所以，，
因为圆与直线相切，而，圆心，
所以半径，所以圆：，
设,则，，
又
所以，则，所以
所以表示坐标原点A与点P两点之间连线的斜率的2倍，
因为动点在圆上移动，所以直线AP:与有交点，
则圆心到的距离为
解得:，则
所以，则最大值是4.
故答案为：4．
15．(1)，；
(2)；
(3).
【分析】（1）由向量线性关系和模长的坐标运算求坐标和；
（2）由向量平行的坐标表示列方程求参数；
（3）由向量垂直的坐标表示列方程求参数.
【详解】（1）由题设，；
（2）由题设，又，
所以，则，可得；
（3）由（2）及，则，可得.
级数
名称
风速大小（单位：m/s)
2
轻风
1.6~3.3
3
微风
3.4~5.4
4
和风
5.5~7.9
5
劲风
8.0~10.7
选择依据
示例场景
目的
已知长度、夹角的向量
矩形邻边（垂直，夹角90°）、菱形的边（长度相等）
减少未知量，简化数量积计算
与目标向量关联紧密的向量
三角形的两边、共点向量（如）
缩短向量表示的推导过程
方法
适用场景
优势
注意事项
坐标法
存在直角坐标系、易建系（矩形、直角三角形）
运算直观，公式固定（如共线条件）
需准确计算点坐标，避免计算错误
基底法
无坐标系、几何图形不规则（如一般三角形、梯形）
灵活，无需建系，直接关联几何关系
需选对基底，否则会增加推导难度
题型分类
高考占分
解题关键
典型例题来源
向量坐标求解
3-5分
牢记“终点-起点”公式
选择题/填空题前半段
线性运算与参数求解
5分
准确代入加减、数乘公式
选择题/填空题
共线与垂直判定
5分
掌握“交叉差为0”“乘积和为0”
选择题/填空题中档
几何图形与坐标结合
4-6分
合理建系，转化向量坐标
解答题第（1）问
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
C
B
C
A
D
D
D
B
题号
11
12








答案
AB
BCD