2026年高考数学大一轮复习核心题型讲义(新高考版)第20讲等差数列及其前n项和(知识清单+7题型讲解练+好题必刷)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学大一轮复习核心题型讲义(新高考版)第20讲等差数列及其前n项和(知识清单+7题型讲解练+好题必刷)(学生版+解析)，共5页。试卷主要包含了等差数列的有关概念，等差数列的有关公式，等差数列的常用性质，等差数列前n项和的常用性质等内容，欢迎下载使用。

知识清单
知识点01.等差数列的有关概念
(1)等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*).
(2)等差中项
由三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有2A＝a＋b.
知识点02.等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋n(n−1)2d或Sn＝n(a1＋an)2.
知识点03.等差数列的常用性质
(1)若{an}为等差数列，且p＋q＝s＋t，则ap＋aq＝as＋at(p，q，s，t∈N*).
(2)等差数列{an}的单调性：当d>0时，{an}是递增数列；当d0，d 0，，则 时，n的最大值为（ ）
A．14B．13C．11D．7
【答案】B
【分析】根据等差数列前n项和为过原点的二次函数，利用对称性求解.
【详解】∵等差数列的前n项和是二次函数，且得，
∴，即,
所以n的最大值为13，
故选：B
【变式1】（2025·安徽合肥·模拟预测）已知数列是公差为d的等差数列，其前n项和为且，若对任意的恒成立，则公差d的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，求得，再由恒成立的不等式建立不等式组求解.
【详解】数列是公差为d的等差数列，设，
由，得，解得，则，
由对任意的恒成立，得.
所以公差d的取值范围为．
故答案为：
【变式2】（2024·全国·模拟预测）设等差数列的前项和为，已知．
(1)若，求的通项公式；
(2)若对于任意，都有，求公差的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列性质计算可得，可求通项公式；
（2）依题意可得，，再由得出不等式可求得公差的取值范围．
【详解】（1）易知，所以．
因为，所以公差．
得．
（2）因为对任意，都有，
所以，，得，．
由（1）知，所以，，
解得；
即公差的取值范围为.
【变式3】（2024·贵州六盘水·三模）已知为等差数列，且，．
(1)求的通项公式；
(2)若恒成立，求实数λ的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意建立方程求出等差数列的首项与公差，从而可求解；
（2）先求出等差数列的前n项和，再将恒成立问题参变分离，接着利用数列的单调性求出最值，从而得解．
【详解】（1）设数列 的公差为d，则根据题意可得，
解得，则．
（2）由（1）可知运用等差数列求和公式，得到，
又恒成立，则恒成立，
设，则，
当时，，即；
当时，，则，则；
则，故，
故实数λ的取值范围为．
好题必刷
一、单选题
1．（2025·广西柳州·模拟预测）设等差数列的前项和为，若，则的公差为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】由等差数列的性质结合可得，然后再求得后可得公差．
【详解】因为，所以，解得，
又，所以，
所以公差为.
故选：A．
2．（2025·四川成都·一模）在等差数列中，，，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【分析】根据等差数列的性质若，则，求解即可.
【详解】在等差数列中，，.
故选：B
3．（2025·江苏泰州·模拟预测）设是等差数列的前n项和，是数列的前n项和.若，则等于（ ）
A．49B．50C．51D．52
【答案】C
【分析】设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组求得的值，求得，结合等差数列的求和公式，即可求解.
【详解】设等差数列的公差为，
因为，可得，解得，
所以，所以，
所以.
故答案为：C.
4．（2025·江西·模拟预测）记为等差数列的前n项和，且，则满足的n的最大值为（ ）
A．40B．41C．42D．43
【答案】B
【分析】由等差数列求和公式得，根据题意列出不等式即可求解.
【详解】由已知可得，
的公差为，故，
故，
令，又，所以，故n的最大值为41，
验证，，
所以n的最大值为41.
故选：B.
5．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知等差数列中，，则数列的前2026项的和为（ ）
A．1013B．1014C．2026D．2028
【答案】C
【分析】先根据等差数列的性质求出数列的通项公式，再分析数列的规律，进而求出其前2026项的和.
【详解】设等差数列的首项为，公差为，则由，得
化简得，解得，，
又，故数列的通项公式为，
设数列的前项和为，
则，
，
从到共项，两两一组，可分为组，
.
故选：.
6．（2025·江苏·模拟预测）函数满足：，且．设，则的前项的和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据题设条件通过巧妙赋值依次求出，接着赋值得结合累加法求出，进而得，再结和列项相消法即可求解.
【详解】因为，
所以，，
所以，
所以
所以当时，
所以，
所以，
则的前项的和为，
则的前项的和为.
故选：C
二、多选题
7．（2025·安徽·模拟预测）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，且是以1为公差的等差数列，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】根据条件列出关于和的方程组，再结合选项，即可判断.
【详解】由条件可知，，得①，
数列是以1为公差的等差数列，所以，即，
即，即②，
综合①②可知，
，，，所以ABC正确，D错误.
故选：ABC
8．（2025·山西·三模）已知数列的通项公式为，则下列说法正确的是（ ）
A．是递增数列B．在的所有前项和中，前五项和最小
C．在的所有前项积中，前五项积最小D．在的所有前项积中，前四项积最大
【答案】ABD
【分析】利用等差数列的基本性质逐个选项分析判断即可.
【详解】对于A，，即是等差数列，且为递增数列，故A正确；
对于B，由均为负数，时，，故B正确；
对于C，由均为负数，时，，所以，当时，，
且为递增数列，所以前项积没有最小值，故C错误；
对于D，由，且此时最大，由于，时，，
所以，当时，，故D正确.
故选：ABD．
9．（2025·四川成都·一模）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球……设第层有个球，则（ ）
A．B．是等差数列
C．为偶数D．
【答案】ABD
【分析】根据题意，利用累加法得即可判断ABC选项，对于D，，再根据裂项相消法可得的和，接着简单放缩即可判断.
【详解】根据题意，当时，，
累加得，
，易知也满足，所以，
，故A正确；
，故B正确；
为奇数，故C错误；
，，
，
，
即，故D正确；
故选：ABD.
三、填空题
10．（2024·上海·三模）设是等差数列，其前项和为．若，，则 ．
【答案】
【分析】根据等差数列的通项公式及前项和公式列出关于首项与公差的方程组，求解出与的值，再利用通项公式求出.
【详解】根据等差数列的前项和公式
已知，，代入可得：
由等差数列的通项公式
将代入：
则.
故答案为：10.
11．（2025·广东广州·三模）已知等差数列的前n项和为，则 ．
【答案】8
【分析】设公差为，根据条件得到方程，求出公差，利用等差数列求和公式得到答案.
【详解】设公差为，则，
故，
又，故，
.
故答案为：8.
12．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）数列满足，，且，令，则数列的前项和为 ．
【答案】
【分析】根据可求证数列是等差数列，再利用等差数列的前项和公式计算即可.
【详解】由题意可知，则，故，
由得，，即，
故数列是以为首项，以为公差的等差数列，
故，则，
所以数列的前项和为．
故答案为：
13．（2025·湖北荆州·模拟预测）已知数列的前n项和为，，且为等差数列，若，则 .
【答案】
【分析】根据可得公差，进而求出的通项公式可得，再利用求出通项公式，可得答案.
【详解】因为即，故，
设的公差为，则，解得，又，
所以，，
时，，
所以.
故答案为：.
14．（2025·海南·模拟预测）已知首项为2数列的前项和为，且．若，则的最小值为 ．
【答案】6
【分析】根据给定条件，利用构造法求出，作差构造新数列，探讨单调性求出的最小值.
【详解】由，得，
所以数列是首项为，公差为1的等差数列，
所以，即，故，
令，则，
所以数列是递增数列，
因为，，
所以当时，，即，
当时，，即，
所以的最小值为6．
故答案为：6
15．（2025·甘肃白银·三模）若数列是有穷数列，且各项之和为0，各项的绝对值之和为1，则称数列是“项优待数列”.若等差数列是“项优待数列”，，则 .
【答案】
【分析】根据等差数列分，两种情况讨论，再结合等差数列求和公式计算求解通项.
【详解】设等差数列的公差为，，则 ①， ②，
所以，所以，所以，所以，
当时，由①②，得，所以，即，
由，得，即，所以，，，
当时，同理可得，即，由，得，即，
所以，，.
综上，.
故答案为：
四、解答题
16．（2025·广东佛山·三模）已知数列满足，且是关于的方程的两个根．
(1)求；
(2)设，求数列的前21项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由韦达定理和等差数列的定义即可求解；
（2）由分组求和法、裂项相消即可求解.
【详解】（1）因为是关于的方程的两个根，
所以．
所以数列是一个首项为1，公差为2的等差数列．
因此．
（2）由（1）知，对于方程，
由韦达定理得，即．
所以
．
所以
．
17．（2025·云南昭通·模拟预测）已知数列是等差数列，且，数列的前项和为，且，．
(1)求和的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用，可求数列的通项公式，利用等差数列通项公式、可求得，即可求得的通项公式；
（2）应用错位相减法、等比数列前n项和公式求和即可.
【详解】（1）由数列的前项和为，可知，
，
经检验当时，也满足上式，所以．
在等差数列中，因为，，
所以，解得，
所以．
（2）由（1）知，，
所以．
则，
两式相减，得
化简得：．
18．（2025·贵州贵阳·模拟预测）在数列中，，其前n项和为．数列是公差为d的等差数列．
(1)求d；
(2)若，
（i）求数列的通项公式；
（ii）若，数列满足的前n项和，证明：．
【答案】(1)或．
(2)（i）；（ii）证明见解析
【分析】（1）应用等差数列基本量运算计算求解；
（2）（i）应用计算结合累乘法得出通项公式；（ii）应用求和公式累加计算求和计算证明.
【详解】（1）因为，且数列是公差为d的等差数列，
所以或，
于是或，且，所以或．
（2）（i）解：当时，，即，
所以，
相减整理得，即得
所以，
所以，累乘得，
也满足上式，所以．
（ii）证明：，显然．
，
所以，
累加得，得证．
知识清单
知识点01.等差数列的有关概念
知识点02.等差数列的有关公式
知识点03.等差数列的常用性质
知识点04.等差数列前n项和的常用性质
知识点05等差数列的常用结论
题型讲解
【题型一】等差数列及其通项公式
【题型二】等差数列的性质
【题型三】 等差数列的函数特性
【题型四】 等差数列的前n项和
【题型五】 等差数列中 an与Sn的关系
【题型六】等差数列前n项和的性质
【题型七】 等差数列前n项和的函数特性
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