2026年高考数学一轮复第01讲平面向量的概念及线性运算(复习讲义)(全国通用)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复第01讲平面向量的概念及线性运算(复习讲义)(全国通用)(学生版+解析)，共27页。学案主要包含了变式训练1-2，变式训练2-2，变式训练3-2，变式训练4-1，变式训练4-2，变式训练5-3，变式训练6-2等内容，欢迎下载使用。
01 TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc199181714" 考情解码・命题预警 PAGEREF _Tc199181714 \h 2
\l "_Tc199181715" 02体系构建·思维可视 PAGEREF _Tc199181715 \h 3
\l "_Tc199181716" 03核心突破·靶向攻坚 PAGEREF _Tc199181716 \h 4
\l "_Tc199181717" 知能解码 PAGEREF _Tc199181717 \h 4
\l "_知识点1 指数与指数幂的运算" 知识点1 向量的有关概念 PAGEREF _Tc199181718 \h 4
\l "_知识点2 指数函数的图像与性质" 知识点2 向量的线性运算4
\l "_知识点3 对数函数的图像及其性质" 知识点3 向量共线定理5
\l "_知识点4 平面向量的数量积" 知识点4 平面向量的数量积5
\l "__x0001__1" 题型破译6
\l "_题型1 对数与对数运算" 题型1 平面向量的概念与表示6
\l "_题型2 换底公式" 题型2 向量的几何表示7
\l "_题型3 定义域和解析式" 题型3 相等向量与共线向量8
\l "_题型4 指对运算的应用" 题型4 向量的加减运算9
\l "_题型5 对数函数的概念与图像" 题型5 向量的数乘运算10
\l "_题型6 比较对数的大小" 题型6 向量的数量积11
\l "__x0001__2" 04真题溯源·考向感知12
\l "__x000F__x0001__4" 05课本典例·高考素材12
\l "_Tc25045" 知识点1 向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的 ．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是 的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量 ．
(5)相等向量：长度相等且 的向量．
(6)相反向量：长度相等且 的向量．
自主检测（多选）下列命题中为真命题的是（ ）
A．若与是共线向量，则点、、、共线
B．若为非零向量，则与同向
C．若，则
D．若，，则
\l "_Tc25045" 知识点2 向量的线性运算
自主检测下列结果不是零向量的是（ ）
A．B．
C．D．
\l "_Tc25045" 知识点3 向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得 .
向量共线定理可以解决一些向量共线，点共线问题，也可由共线求参数；对于线段的定比分点问题，用向量共线定理求解则更加简洁．
（1）若eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.
（2）P为线段AB的中点⇔eq \(OP,\s\up15(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up15(→))＋eq \(OB,\s\up15(→)))．
自主检测已知向量，，，，，则一定共线的三点是（ ）
A．A，B，DB．A，B，CC．A，C，DD．B，C，D
\l "_Tc25045" 知识点4 平面向量的数量积
1.向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b，则∠ ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.
2.平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量 叫做向量a与b的数量积，记作 .
3.平面向量数量积的几何意义
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，AB＝a，CD＝b，过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，我们称上述变换为向量a向向量b投影，A1B1叫做向量a在向量b上的投影向量.记为 .
4.向量数量积的运算律
(1)a·b＝ .
(2)(λa)·b＝ ＝ (λ∈R).
(3)(a＋b)·c＝ .
5.平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
自主检测已知，，，则 ．
题型1 平面向量的概念与表示
例1-1下列说法中，正确的是（ ）
A．模为的向量与任意向量共线
B．单位向量只有一个
C．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
D．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
例1-2以下命题中正确的是（ ）
A．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等B．若，则
C．若，则D．若，则
方法技巧
解决向量的概念问题要注意两点：
一是不仅要考虑向量的大小，更要考虑向量的方向；
二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件.
【变式训练1-1·变考法】（多选）下列选项中，正确的是（ ）
A．若两个相等的非零向量的起点相同，侧它们的终点可能不同
B．若向量，则
C．若向量，满足，则或
D．若非零向量与共线，则，，三点共线
【变式训练1-2】（多选）下列四个命题为假命题的是（ ）
A．若，则
B．若四边形中有，则四边形为平行四边形
C．若，，，，则，可以作为平面向量的一组基
D．若向量，，则向量在向量上的投影数量为
题型2 向量的几何表示
例2-1（2025·河南·三模）若点A在点O的正北方向，点B在点O的南偏西方向，且，则向量表示（ ）
A．从点O出发，朝北偏西方向移动
B．从点O出发，朝北偏西方向移动
C．从点O出发，朝北偏西方向移动2km
D．从点O出发，朝北偏西方向移动2km
例2-2如图，四边形是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量的起点和终点，与向量同向且长度为的向量有几个？（在图中标出相应字母，写出这些向量）
【变式训练2-1·变考法】一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东方向行驶2km到D地，然后从D地沿北偏东方向行驶6km到达C地，从C地又向南偏西方向行驶2km才到达B地．
(1)在如图所示的坐标系中画出，，，；
(2)求B地相对于A地的位移．
【变式训练2-2】如图所示的方格纸是由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成的，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且．
(1)画出所有满足条件的向量；
(2)求的最大值与最小值．
题型3 相等向量与共线向量
例3-1如图所示，四边形是平行四边形，四边形是矩形，在以各顶点为起点和终点的非零向量中，写出（不含）：
(1)与向量相等的向量；
(2)与向量共线的向量．
例3-2设，，，为平面内的四点，且，，.
(1)若，求点的坐标；
(2)设向量，若与平行，求实数的值.
方法技巧
(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.
(2)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
(3)已知O，A，B是不共线的三点，且OP＝mOA＋nOB(m，n∈R)，则A，P，B三点共线的充要条件是m＋n＝1.
【变式训练3-1·变载体】如图，点O是正六边形的中心，分别写出图中

(1)与相等的向量；
(2)与平行的向量；
(3)与模相等的向量；
(4)的负向量．
【变式训练3-2】如图，为正方形对角线的交点，四边形，都是正方形.在图中所示的向量中：
(1)分别写出与，相等的向量；
(2)写出与的相反向量；
(3)写出与模相等的向量.
题型4 向量的加减运算
例4-1设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，则OA＋OB＋OC＋OD等于( )
A.OMB.2OMC.3OMD.4OM
例4-2化简AB＋BD－AC－CD等于( )
A.ADB.0C.BCD.DA
方法技巧
求差用向量减法的几何意义
【变式训练4-1】已知ABCD为平行四边形，E为BC的中点，记，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练4-2】在中，，记，则（ ）
A．B．
C．D．
题型5 向量的数乘运算
例5-1已知，为两个不共线的向量，，，则 （用，表示）
例5-2如图，在平行四边形中，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
方法技巧
在△ABC中，D为BC上一点，若BDDC＝mn，则AD＝nm＋nAB＋mm＋nAC
【变式训练5-1·变考法】已知向量与的夹角为，且，则（ ）
A．B．C．D．
【变式训练5-2·变考法】若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练5-3】在平行四边形中，，，记，，则（ ）
A．B．C．D．
题型6 向量的数量积
例6-1在长方形ABCD中，，P，Q分别为BC，CD的中点，则 ．
例6-2已知向量，满足，，且，则 .
方法技巧
(1)利用定义：a·b＝|a||b|cs〈a，b〉.
(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用基底法求数量积.
(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义.
【变式训练6-1·变考法】已知向量，满足，，则，的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练6-2】平面向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝4，则b在a上的投影向量为( )
A.1512aB.14aC.38aD.158a
1．（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（ ）
A．B．C．0D．1
3．（2023·全国乙卷·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A．B．3C．D．5
4．（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则 （用，表示），若，，则
5．（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是 ．
6．（2024·天津·高考真题）已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则 ；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为 ．
1．若，，且，则与的夹角为 ；
2．飞机从A地向西北飞行200km到达B地后，又从B地向东飞行km到达C地，再从C地向南偏东60°飞行km到达D地，求飞机从D地飞回A地的位移．
3．已知非零向量，不共线．
(1)如果，，，求证：，，三点共线；
(2)欲使和共线，试确定实数的值．
4．已知，，当，满足下列条件时，分别求的值．
(1)；
(2)；
(3)与的夹角为．
5.如图，在细绳l上作用着一个大小为200N的力，与水平方向的夹角为45°，细绳上挂着一个重物，使细绳的另一端与水平面平行，求物重G的大小．

6.如图，在倾角为、高m的斜面上，质量为5kg的物体沿斜面下滑，物体受到的摩擦力是它对斜面压力的倍，N/kg．求物体由斜面顶端滑到底端的过程中，物体所受各力对物体所做的功，（参考数据，）．
考点要求
考察形式
2025年
2024年
2023年
（1）平面向量线性运算的坐标表示
（2）平面向量线性运算的坐标表示
（3）平面向量线性运算的坐标表示
（4）向量加法的法则
（5）向量减法的法则
单选题
多选题
填空题
解答题
上海卷，12题，5分
天津卷，14题，5分
新课标I卷，第3题，5分
天津卷，14题，5分
北京卷，第5题，4分
新课标I卷，第3题，5分
新课标II卷，第13题，5分
甲卷理科，第4题，5分
考情分析：本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分
一般考查平面向量的基本概念、线性运算，易理解，易得分，需重点复习
复习目标：
1了解向量的实际背景,理解平面向量的基本概念,理解向量的几何表示
2掌握向量的加、减运算并理解其几何意义
3掌握向量的数乘运算并理解其几何意义以及两个向量共线的含义
4理解向量的线性运算性质及其几何意义
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
|λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ