2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第01讲平面向量的概念及其线性运算(知识+6类高频考点)(精讲)(原卷版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第01讲平面向量的概念及其线性运算(知识+6类高频考点)(精讲)(原卷版+解析)，共14页。试卷主要包含了向量的有关概念，向量的线性运算，共线向量定理，常用结论等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc22088" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc22088 \h 1
\l "_Tc28141" 第二部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc28141 \h 3
\l "_Tc1453" 高频考点一：平面向量的概念与表示 PAGEREF _Tc1453 \h 3
\l "_Tc404" 高频考点二：模 PAGEREF _Tc404 \h 4
\l "_Tc26332" 高频考点三：零向量与单位向量 PAGEREF _Tc26332 \h 4
\l "_Tc1209" 高频考点四：相等向量 PAGEREF _Tc1209 \h 5
\l "_Tc30709" 高频考点五：平面向量的加法与减法、数乘 PAGEREF _Tc30709 \h 6
\l "_Tc22011" 高频考点六：共线向量定理的应用 PAGEREF _Tc22011 \h 7
\l "_Tc31272" 第三部分：典型易错题型 PAGEREF _Tc31272 \h 9
\l "_Tc25232" 备注：“”的方向是任意的 PAGEREF _Tc25232 \h 9
第一部分：基础知识
1、向量的有关概念
（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模)
向量表示方法：向量或；模或.
（2）零向量：长度等于0的向量，方向是任意的，记作.
（3）单位向量：长度等于1个单位的向量，常用表示.
特别的：非零向量的单位向量是.
（4）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，与共线可记为；
特别的：与任一向量平行或共线.
（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作.
（6）相反向量：长度相等且方向相反的向量，记作.
2、向量的线性运算
2.1向量的加法
①定义：求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量，我们规定.
②向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连）
已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.
③向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线）
已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.
2.2向量的减法
①定义：向量加上的相反向量，叫做与的差，即.
②向量减法的三角形法则（共起点，连终点，指向被减向量）
已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示
如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量.
2.3向量的数乘
向量数乘的定义:
一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.它的长度与方向规定如下：
①
②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，.
3、共线向量定理
①定义：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，.
②向量共线定理的注意问题：定理的运用过程中要特别注意；特别地，若，实数仍存在，但不唯一．
4、常用结论
4.1向量三角不等式
①已知非零向量，，则（当与反向共线时左边等号成立；当与同向共线时右边等号成立）；
②已知非零向量，，则（当与同向共线时左边等号成立；当与反向共线时右边等号成立）；
记忆方式：（“符异”反向共线等号成立；“符同”同向共线等号成立）如中，中间连接号一负一正“符异”，故反向共线时等号成立；右如：中中间链接号都是正号“符同”，故同向共线时等号成立；
4.2中点公式的向量形式：
若为线段的中点，为平面内任意一点，则.
4.3三点共线等价形式：
（，为实数），若，，三点共线
第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：平面向量的概念与表示
典型例题
例题1．（2025高一·全国·专题练习）下列说法中正确的是（ ）．
A．直角坐标平面上的轴、轴都是向量
B．若与是相反向量，则
C．若，则
D．若，，则
例题2．（多选）（24-25高一下·四川成都·期中）下列说法正确的是（ ）
A．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
B．若，满足，且，同向，则
C．若四边形ABCD满足，则四边形ABCD是平行四边形
D．两个非零向量和，若，则与垂直
精练高频考点
1．（23-24高一下·河南郑州·期中）设都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ）
A．B．C．D．且
2．（24-25高一上·辽宁·期末）关于平面向量，下列说法正确的是（ ）
A．零向量没有方向B．两个单位向量是相等向量
C．共线的两个向量方向相同D．若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量
3．（多选）（24-25高一下·江苏盐城·期末）下列选项中，正确的是（ ）
A．若两个相等的非零向量的起点相同，侧它们的终点可能不同
B．若向量，则
C．若向量，满足，则或
D．若非零向量与共线，则，，三点共线
高频考点二：模
典型例题
例题1．若平面向量，，两两的夹角相等，且，，则（ ）
A．5B．8C．7或8D．5或8
例题2．已知单位向量满足，则 .
例题3．已知向量，满足，，则的最大值为 ，最小值为
精练高频考点
1．已知平面向量满足，且，则（ ）
A．B．C．2D．1
2．已知中，分别为边的中点，且，则（ ）
A．2B．C．1D．
3．已知向量满足，，且，则 .
高频考点三：零向量与单位向量
典型例题
例题1．（2025高一·全国·专题练习）已知非零向量，则的值不可能为（ ）．
A．B．C．D．1
例题2．（24-25高一下·天津·阶段练习）已知点，则与向量同方向的单位向量为（ ）
A．B．C．D．
精练高频考点
1．（24-25高一下·湖北·期末）与向量垂直的单位向量是（ ）
A．B．
C．和D．和
2．（24-25高一下·广东·期中）平面直角坐标系中，已知点，，则与同方向的单位向量是（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高一下·上海奉贤·期中）若向量，则的单位向量的坐标为 .
高频考点四：相等向量
典型例题
例题1．（24-25高一下·四川乐山·期末）下列说法正确的是（ ）
A．若为单位向量，则B．若为平行向量，则
C．若，则D．若，则
例题2．（多选）（24-25高一下·青海海东·阶段练习）下面说法错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若向量满足，则
精练高频考点
1．（24-25高一下·甘肃定西·阶段练习）如果是两个单位向量，则下列结论中正确的个数是（ ）
①；②；③；④．
A．1B．2C．3D．4
2．（24-25高一下·安徽马鞍山·阶段练习）如图，O是正六边形ABCDEF的中心，下列向量中，与相等的向量为（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高一·全国·阶段练习）在中，，、分别是、的中点，则（ ）
A．与共线B．与共线
C．与相等D．与相等
高频考点五：平面向量的加法与减法、数乘
典型例题
例题1．（24-25高一下·内蒙古·期末）在平行四边形中，，则（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（24-25高一下·广东汕尾·期末）如图，在中，是BC上靠近的一个三等分点，记，，则可以用，表示为（ ）
A．B．C．D．
例题3．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知不共线，且，则 .
精练高频考点
1．（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高一下·甘肃兰州·期末）如图，在中，为线段AB上的一点，且.若，则（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高一下·新疆哈密·期末）已知为所在平面内的一点，，为的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（24-25高一下·陕西安康·期末）设，是两个不共线的非零向量，且，，，则（ ）
A．B．
C．D．
高频考点六：共线向量定理的应用
典型例题
例题1．（24-25高一下·山东泰安·期末）已知向量，不共线，且向量与共线，则实数的值为（ ）
A．或B．或3C．或2D．2
例题2．（24-25高一下·广东惠州·期末）如图，在△ABC中， 过点P的直线分别交直线AB ，AC于不同的两点M，N，设 其中m，n>0， 则 的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
例题3．（2025高一·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，点是的中点，点在上，，求证：三点共线.
精练高频考点
1．（24-25高二下·福建福州·期末）已知向量，不共线，若与共线，则实数k的值是（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高二下·陕西汉中·期末）已知是平面内的一个基底，若向量与向量是共线向量，则（ ）
A．B．C．D．4
3．（24-25高一下·山西太原·期中）已知中，过中点的直线分别与直线交于点，且，，则的最小值为（ ）
A．9B．C．7D．
4．（24-25高一下·上海杨浦·期末）如图，在中，点是线段上动点，且，则的最小值为 ．
第三部分：典型易错题型
备注：“”的方向是任意的
1．（24-25高一下·广西河池·期末）下列向量的概念错误的是（ ）
A．长度为0的向量是零向量，零向量的方向是任意的
B．零向量和任何向量都是共线向量
C．相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等
D．，，则
2．（24-25高一下·山东聊城·期中）下列说法正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．若，，则
C．若，则
D．长度不相等而方向相反的两个向量是平行向量
3．（多选）（24-25高一下·山东日照·阶段练习）下列说法不正确的是（ ）
A．已知点为所在平面内一点，且满足，则点为的垂心
B．若、为非零向量，且，则与共线
C．若，则存在唯一的实数使得
D．若且，则
4．（多选）（24-25高一下·江西上饶·期中）给出下列命题，不正确的有（ ）
A．若为非零向量，则与同向
B．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
C．若，则
D．已知，为实数，若，则与共线
第01讲 平面向量的概念及其线性运算
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc22088" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc22088 \h 1
\l "_Tc28141" 第二部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc28141 \h 3
\l "_Tc1453" 高频考点一：平面向量的概念与表示 PAGEREF _Tc1453 \h 3
\l "_Tc404" 高频考点二：模 PAGEREF _Tc404 \h 5
\l "_Tc26332" 高频考点三：零向量与单位向量 PAGEREF _Tc26332 \h 7
\l "_Tc1209" 高频考点四：相等向量 PAGEREF _Tc1209 \h 9
\l "_Tc30709" 高频考点五：平面向量的加法与减法、数乘 PAGEREF _Tc30709 \h 11
\l "_Tc22011" 高频考点六：共线向量定理的应用 PAGEREF _Tc22011 \h 15
\l "_Tc31272" 第三部分：典型易错题型 PAGEREF _Tc31272 \h 18
\l "_Tc25232" 备注：“”的方向是任意的 PAGEREF _Tc25232 \h 18
第一部分：基础知识
1、向量的有关概念
（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模)
向量表示方法：向量或；模或.
（2）零向量：长度等于0的向量，方向是任意的，记作.
（3）单位向量：长度等于1个单位的向量，常用表示.
特别的：非零向量的单位向量是.
（4）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，与共线可记为；
特别的：与任一向量平行或共线.
（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作.
（6）相反向量：长度相等且方向相反的向量，记作.
2、向量的线性运算
2.1向量的加法
①定义：求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量，我们规定.
②向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连）
已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.
③向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线）
已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.
2.2向量的减法
①定义：向量加上的相反向量，叫做与的差，即.
②向量减法的三角形法则（共起点，连终点，指向被减向量）
已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示
如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量.
2.3向量的数乘
向量数乘的定义:
一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.它的长度与方向规定如下：
①
②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，.
3、共线向量定理
①定义：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，.
②向量共线定理的注意问题：定理的运用过程中要特别注意；特别地，若，实数仍存在，但不唯一．
4、常用结论
4.1向量三角不等式
①已知非零向量，，则（当与反向共线时左边等号成立；当与同向共线时右边等号成立）；
②已知非零向量，，则（当与同向共线时左边等号成立；当与反向共线时右边等号成立）；
记忆方式：（“符异”反向共线等号成立；“符同”同向共线等号成立）如中，中间连接号一负一正“符异”，故反向共线时等号成立；右如：中中间链接号都是正号“符同”，故同向共线时等号成立；
4.2中点公式的向量形式：
若为线段的中点，为平面内任意一点，则.
4.3三点共线等价形式：
（，为实数），若，，三点共线
第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：平面向量的概念与表示
典型例题
例题1．（2025高一·全国·专题练习）下列说法中正确的是（ ）．
A．直角坐标平面上的轴、轴都是向量
B．若与是相反向量，则
C．若，则
D．若，，则
【答案】B
【分析】根据向量的概念判断A，根据相反向量的概念判断B，根据共线向量的概念判断C，根据共线向量的性质判断D.
【详解】向量是既有大小又有方向的量，坐标轴只有方向，没有大小，故A错误；
相反向量是大小相等且方向相反的向量，故B正确；
和可能平行，也可能共线，故C错误；
当是零向量时，和可能不平行，故D错误．
故选：B．
例题2．（多选）（24-25高一下·四川成都·期中）下列说法正确的是（ ）
A．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
B．若，满足，且，同向，则
C．若四边形ABCD满足，则四边形ABCD是平行四边形
D．两个非零向量和，若，则与垂直
【答案】CD
【分析】利用相等向量的意义判断AC；利用向量的概念判断B；利用数量积的运算律判断D.
【详解】对于A，两个相等向量的起点不一定相同，A错误；
对于B，向量不能比较大小，B错误；
对于C，由，得，则四边形ABCD是平行四边形，C正确；
对于D，由，得，则，
又和都是非零向量，因此与垂直，D正确.
故选：CD
精练高频考点
1．（23-24高一下·河南郑州·期中）设都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ）
A．B．C．D．且
【答案】C
【分析】根据题意，得到向量和的方向相同，结合选项，即可得到答案.
【详解】由都是非零向量，且，
因为和分别表示与向量和同向的单位向量，所以向量和的方向相同，
结合选项，可得成立的充分条件为.
故选：C.
2．（24-25高一上·辽宁·期末）关于平面向量，下列说法正确的是（ ）
A．零向量没有方向B．两个单位向量是相等向量
C．共线的两个向量方向相同D．若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量
【答案】D
【分析】根据零向量的的定义、平面向量的定义，结合相等向量的定义、共线向量的定义逐一判断即可.
【详解】向量既有大小又有方向，A不正确．
两个单位向量的方向不一定相同，则它们不一定是相等向量，B不正确．
共线的两个向量方向相同或相反，C不正确．
若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量，D正确
故选：D
3．（多选）（24-25高一下·江苏盐城·期末）下列选项中，正确的是（ ）
A．若两个相等的非零向量的起点相同，侧它们的终点可能不同
B．若向量，则
C．若向量，满足，则或
D．若非零向量与共线，则，，三点共线
【答案】BD
【分析】根据相等向量的定义即可判断选项A；若向量，则根据向量的运算法则可得，即可判断选项B；由向量的定义即可判断选项C；根据共线向量的定义即可判断选项D.
【详解】由相等向量定义可得：若两个相等的非零向量的起点相同，其终点一定相同，故选项A错误；
若向量，则，所以，故选项B正确；
由向量的定义可得向量，满足时，向量，可能共线也可能不共线，故选项C错误；
若非零向量与共线，则，，三点共线，故选项D正确.
故选：BD.
高频考点二：模
典型例题
例题1．若平面向量，，两两的夹角相等，且，，则（ ）
A．5B．8C．7或8D．5或8
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用向量运算律计算即得.
【详解】由向量，，两两的夹角相等，
得或，
当时，，
当时，
.
故选：D
例题2．已知单位向量满足，则 .
【答案】1
【分析】根据向量的平方等于该向量的模长的平方以及单位向量的模长是1求解即可.
【详解】依题意，，解得，因此，即.
故答案为：1.
例题3．已知向量，满足，，则的最大值为 ，最小值为
【答案】 / /
【分析】根据已知可得出，然后结合向量加法的三角形法则即可得出答案.
【详解】易知，
所以有.
所以，，
当且仅当同向时，等号成立，
此时取最大值3，取最大值为；
所以，，
当且仅当反向时，等号成立，
此时取最小值1，取最小值为.
故答案为：；.
精练高频考点
1．已知平面向量满足，且，则（ ）
A．B．C．2D．1
【答案】C
【分析】利用平面向量的模长公式，结合数量积的计算律，计算即可.
【详解】由题意，.
故选：C.
2．已知中，分别为边的中点，且，则（ ）
A．2B．C．1D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算求解即得.
【详解】在中，分别为边的中点，
由，得，即，则，
而，所以.
故选：C
3．已知向量满足，，且，则 .
【答案】
【分析】 根据复数模长公式计算即可.
【详解】.
故答案为：.
高频考点三：零向量与单位向量
典型例题
例题1．（2025高一·全国·专题练习）已知非零向量，则的值不可能为（ ）．
A．B．C．D．1
【答案】C
【分析】由单位向量相加的模的范围得到答案.
【详解】为非零向量，，，分别表示方向上的单位向量，三个单位向量相加的模长范围为，
故选：C．
例题2．（24-25高一下·天津·阶段练习）已知点，则与向量同方向的单位向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先求出，再求出，最后根据与同方向的单位向量为计算即可.
【详解】因为，，
所以，则，
得到与同方向的单位向量为，故C正确.
故选：C
精练高频考点
1．（24-25高一下·湖北·期末）与向量垂直的单位向量是（ ）
A．B．
C．和D．和
【答案】C
【分析】设与向量垂直的单位向量是，由题意可得，，结合平面向量数量积的坐标运算可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出结果.
【详解】设与向量垂直的单位向量是，由题意可得，，
所以，解得或，故或.
故选：C.
2．（24-25高一下·广东·期中）平面直角坐标系中，已知点，，则与同方向的单位向量是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据坐标得出向量坐标，再结合单位向量及同方向计算求解.
【详解】点，，，
，与同方向的单位向量是，
故选:A.
3．（24-25高一下·上海奉贤·期中）若向量，则的单位向量的坐标为 .
【答案】
【分析】根据单位向量的定义及已知向量坐标求单位向量的坐标.
【详解】由题设，单位向量.
故答案为：
高频考点四：相等向量
典型例题
例题1．（24-25高一下·四川乐山·期末）下列说法正确的是（ ）
A．若为单位向量，则B．若为平行向量，则
C．若，则D．若，则
【答案】D
【分析】由向量相等的概念进行判断即可.
【详解】由向量相等的概念可知且方向相同.
对A：为单位向量可得，但方向未必相同，故未必成立，故A错误；
对B：为平行向量，不能说明，也不能说明方向相同，所以不能说明，故B错误；
对C：仅，不能说明，故C错误；
对D：若，则正确，故D正确.
故选：D
例题2．（多选）（24-25高一下·青海海东·阶段练习）下面说法错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若向量满足，则
【答案】CD
【分析】由向量的基本概念逐个判断即可.
【详解】由相等向量的概念可知A正确；
由零向量的概念可知，B正确；
若与的方向不一定相同，C错误；
若向量满足，则或.D错误；
故选：CD
精练高频考点
1．（24-25高一下·甘肃定西·阶段练习）如果是两个单位向量，则下列结论中正确的个数是（ ）
①；②；③；④．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据单位向量模相等，方向任意依次判断各选项即可得答案.
【详解】因为是两个单位向量，所以，
但两向量的方向不能确定，所以，故①②错误，③④正确．
故选：B.
2．（24-25高一下·安徽马鞍山·阶段练习）如图，O是正六边形ABCDEF的中心，下列向量中，与相等的向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据正六边形的性质，分别分析每个选项中的向量与的模和方向是否都相同，从而找出与相等的向量.
【详解】对于选项A，虽然，但方向不同不满足向量相等的条件，所以与不相等.
对于选项B，与方向相同，并且由于， 所以.
对于选项C：与方向不同，所以与不相等.
对于选项D：与方向不同，所以与不相等.
与相等的向量为.
故选：B.
3．（24-25高一·全国·阶段练习）在中，，、分别是、的中点，则（ ）
A．与共线B．与共线
C．与相等D．与相等
【答案】B
【分析】利用共线向量、相等向量的概念逐项判断即可.
【详解】由题意可知，与不共线，A错；
因为、分别是、的中点，所以，，故与共线，B对；
因为与不平行，所以与不相等，C错；
因为，D错．
故选：B.
高频考点五：平面向量的加法与减法、数乘
典型例题
例题1．（24-25高一下·内蒙古·期末）在平行四边形中，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】作出符合题意的图形，结合平面向量的加法和减法法则求解即可.
【详解】因为，所以是的中点，，
因为，所以是上靠近的三等分点，，
如图，连接，，作出平行四边形，

由题意得
，故C正确.
故选：C
例题2．（24-25高一下·广东汕尾·期末）如图，在中，是BC上靠近的一个三等分点，记，，则可以用，表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据向量的线性运算求解.
【详解】由题意：.
故选：C
例题3．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知不共线，且，则 .
【答案】1
【分析】根据平面向量共线定理将变形为，即可根据平面向量基本定理得，即可求出的值.
【详解】因为，且不共线，
所以，整理可得.
又因为，
所以由平面向量基本定理可得，
所以.
故答案为：1
精练高频考点
1．（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用向量的线性运算结合已知条件把用表示，再由平面向量基本定理可求得的值，从而可求得答案.
【详解】如图，由题，，
，
所以.
故选：A.

2．（24-25高一下·甘肃兰州·期末）如图，在中，为线段AB上的一点，且.若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由已知，点是线段的一个四等分点，得出与的关系，再由向量的线性运算即可求得，的值．
【详解】由，可得，
所以，
，．
故选：A
3．（24-25高一下·新疆哈密·期末）已知为所在平面内的一点，，为的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用平面的线性运算法则求解即可.
【详解】因为为的中点，所以，
又，所以.
所以.
故选：A
4．（24-25高一下·陕西安康·期末）设，是两个不共线的非零向量，且，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设，根据平面向量基本定理求解.
【详解】设，
又，，是两个不共线的非零向量，
所以，解得.
故选：B.
高频考点六：共线向量定理的应用
典型例题
例题1．（24-25高一下·山东泰安·期末）已知向量，不共线，且向量与共线，则实数的值为（ ）
A．或B．或3C．或2D．2
【答案】C
【分析】根据向量共线的线性表示，可得，使，在利用向量相等的条件构建方程组，解方程组即可.
【详解】因为向量，不共线，所以，
又向量与共线，
所以，使，
则，解得或2.
故选：C.
例题2．（24-25高一下·广东惠州·期末）如图，在△ABC中， 过点P的直线分别交直线AB ，AC于不同的两点M，N，设 其中m，n>0， 则 的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】利用向量基本定理得到，由共线定理的推论得到方程，求出，再利用乘“1”法即可得到答案.
【详解】，
因为，，所以，
又三点共线，所以，即，且，
，
当且仅当，即时等号成立.
故选：C
例题3．（2025高一·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，点是的中点，点在上，，求证：三点共线.
【答案】证明见解析
【分析】证法1：利用三点共线判定定理，列出的关系式，判断其系数之和是否为1；
证法2：连结且与相交于点，利用几何关系可证明和为同一点.
【详解】证法1：因为，所以三点共线．
证法2：连结且与相交于点，
因为，所以．
又因为是的中点且，
所以，即，
又因为，
所以和为同一点，所以三点共线．
精练高频考点
1．（24-25高二下·福建福州·期末）已知向量，不共线，若与共线，则实数k的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据向量平行得到，得到方程组，求出答案.
【详解】因为与共线，所以存在实数x使，
故，解得，.
故选：A.
2．（24-25高二下·陕西汉中·期末）已知是平面内的一个基底，若向量与向量是共线向量，则（ ）
A．B．C．D．4
【答案】C
【分析】根据平面向量基本定理和向量共线的条件列式求解.
【详解】由题可知存在实数使得，
又是一组不共线向量，
所以即.
故选：C
3．（24-25高一下·山西太原·期中）已知中，过中点的直线分别与直线交于点，且，，则的最小值为（ ）
A．9B．C．7D．
【答案】B
【分析】根据三点共线可求的关系式，再结合基本不等式可求的最小值.
【详解】因为为的中点，故，
而三点共线，故存在实数，使得，
所以，而不共线，
故，所以，
故，
当且仅当时等号成立，故的最小值为，
故选：B.
4．（24-25高一下·上海杨浦·期末）如图，在中，点是线段上动点，且，则的最小值为 ．
【答案】16
【分析】由已知条件结合平面向量共线的推论可得，然后利用基本不等式求解即可.
【详解】由，且三点共线，
则，由题意得，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
则的最小值为16.
故答案为：16.
第三部分：典型易错题型
备注：“”的方向是任意的
1．（24-25高一下·广西河池·期末）下列向量的概念错误的是（ ）
A．长度为0的向量是零向量，零向量的方向是任意的
B．零向量和任何向量都是共线向量
C．相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等
D．，，则
【答案】D
【分析】根据零向量，相等向量，共线向量的定义即可求解.
【详解】对于A, 零向量的长度为0，且方向是任意的，故A正确，
对于B，规定零向量与任意向量共线，故B正确，
对于C，相等向量的模长和方向都相同，故相等向量一定是共线向量，但共线向量是方向相同或者相反的两个向量，模长不一定相等，故共线向量不一定相等，C正确，
对于D，当为零向量时，此时不一定能得到，故D错误，
故选：D
2．（24-25高一下·山东聊城·期中）下列说法正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．若，，则
C．若，则
D．长度不相等而方向相反的两个向量是平行向量
【答案】D
【分析】根据单位向量、共线向量的定义及零向量的性质判断各项的正误即可.
【详解】A：单位向量长度相等，但方向不一定相同，错；
B：若为零向量时，不一定共线，错；
C：若，只能说明的模长相等，但方向不一定相同，错；
D：长度不相等而方向相反的两个向量是共线向量，即平行向量，对.
故选：D
3．（多选）（24-25高一下·山东日照·阶段练习）下列说法不正确的是（ ）
A．已知点为所在平面内一点，且满足，则点为的垂心
B．若、为非零向量，且，则与共线
C．若，则存在唯一的实数使得
D．若且，则
【答案】ACD
【分析】利用重心的向量表示可判断A选项；利用共线向量的概念可判断B选项；取，，可判断C选项；取，可判断D选项.
【详解】对于A选项，已知点为所在平面内一点，且满足，则点为的重心，A错；
对于B选项，、为非零向量，且是与同向的单位向量，是与同向的单位向量，
因为，说明、方向相同，即与共线，B对；
对于C选项，若，不妨设，，则不存在实数使得，C错；
对于D选项，若且，若，则、不一定共线，D错.
故选：ACD.
4．（多选）（24-25高一下·江西上饶·期中）给出下列命题，不正确的有（ ）
A．若为非零向量，则与同向
B．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
C．若，则
D．已知，为实数，若，则与共线
【答案】BCD
【分析】由共线向量可判断A，由相等向量的定义可判断B，由的方向是任意的和平行向量可判断C和D.
【详解】是与同方向的单位向量，故A正确；
两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，
但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，故B错误；
若，则不一定共线，故C错误；
当时，与可以为任意向量，满足，
但与不一定共线，故D错误.
故选：BCD.