2026年高考数学一轮复重难点培优04大学数学背景下的数学问题全归纳(复习讲义)(全国通用)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复重难点培优04大学数学背景下的数学问题全归纳(复习讲义)(全国通用)(学生版+解析)，共7页。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc26889" 01 知识重构・重难梳理固根基 PAGEREF _Tc26889 \h 1
\l "_Tc28373" 02 题型精研・技巧通法提能力 PAGEREF _Tc28373 \h 3
\l "_Tc16555" 题型一 泰勒公式与帕德近似（★★★★★） PAGEREF _Tc16555 \h 3
\l "_Tc7141" 题型二 罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理（★★★★★） PAGEREF _Tc7141 \h 5
\l "_Tc26803" 题型三 微积分（★★★★★） PAGEREF _Tc26803 \h 7
\l "_Tc13512" 题型四 洛必达法则（★★★★★） PAGEREF _Tc13512 \h 8
\l "_Tc3897" 题型五 伯努利与琴生不等式（★★★★） PAGEREF _Tc3897 \h 10
\l "_Tc326" 题型六 行列式与矩阵（★★★★★） PAGEREF _Tc326 \h 11
\l "_Tc11957" 题型七 初等数论（★★★★） PAGEREF _Tc11957 \h 13
\l "_Tc17557" 题型八 切比雪夫不等式、马尔科夫链（★★★★★） PAGEREF _Tc17557 \h 14
\l "_Tc25070" 03 实战检测・分层突破验成效 PAGEREF _Tc25070 \h 16
\l "_Tc621" 检测Ⅰ组 重难知识巩固 PAGEREF _Tc621 \h 16
\l "_Tc1659" 检测Ⅱ组 创新能力提升 PAGEREF _Tc1659 \h 21
1、泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式．
2、已知函数在处二阶可导，且
（1）若，则在处取得极小值；
（2）若，则在处取得极大值.
3、帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…，．（注：，，，，…；为的导数）.
4、拉格朗日中值定理又称拉氏定理：如果函数在上连续，且在上可导，则必有，使得.
5、罗尔定理描述如下：如果 上的函数满足以下条件：①在闭区间上连续，②在开区间内可导，③，则至少存在一个，使得．
6、微积分
知识卡片1：一般地，如果函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点，作和式（其中为小区间长度），当时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分，记作即.这里，与分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式.从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积.
知识卡片2：一般地；如果是区间上的连续函数，并且，那么.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式.
知识卡片3：在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数，的导函数分别为，，且，则
.
7、伯努利不等式（Bernulli’sInequality），又称贝努利不等式，是高等数学的分析不等式中最常见的一种不等式，由瑞士数学家雅各布·伯努利提出：对实数，在时，有不等式成立；在时，有不等式成立．
8、设连续函数的定义域为，如果对于内任意两数，都有，则称为上的凹函数；若，则称为凸函数.若是区间上的凹函数，则对任意的，有琴生不等式恒成立（当且仅当时等号成立）.


题型一 泰勒公式与帕德近似
1．（2024·贵州贵阳·一模）英国数学家泰勒发现了如下公式：其中为自然对数的底数，．以上公式称为泰勒公式．设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题．
(1)证明：；
(2)设，证明：；
(3)设，若是的极小值点，求实数的取值范围．
2．（24-25高三上·吉林长春·月考）帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，……，（注：，，，，为的导数）已知在处的阶帕德近似为.
(1)求实数m，n的值；
(2)证明：当时，；
(3)设a为实数，讨论函数的单调性.
3．十八世纪英国数学家布鲁克•泰勒提出了著名的泰勒公式，该公式利用了多项式函数曲线来逼近任意一个原函数曲线，该公式在近似计算.函数拟合、计算机科学上有着举足轻重的作用.如下列常见函数的阶泰勒展开式为：
，
，
，
其中，读作的阶乘.
这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性，比如用计算器计算，得到的值约为，用泰勒展开式前三项计算得到.
(1)，，，比较的大小;
(2)当时，证明：；
(3)设，是否存在区间，使得的定义域为时，值域也为？若存在，求出所有的区间.
4．（2024·湖北·一模）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式.
(1)根据该公式估算的值，精确到小数点后两位；
(2)由该公式可得：．当时，试比较与的大小，并给出证明（不使用泰勒公式）；
(3)设，证明：.
5．（2025·甘肃白银·二模）帕德逼近是法国数学家亨利•帕德发现的一种用有理函数逼近任意函数的方法．帕德逼近有“阶”的概念，如果分子是m次多项式，分母是n次多项式，那么得到的就是阶的帕德逼近，记作．一般地，函数在处的阶帕德逼近定义为：，且满足，，，…，．注：，，，，…已知在处的阶帕德近似．
(1)求的解析式；
(2)已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，当时，比较与0的大小；
(3)已知在处的阶帕德近似，若对任意，都成立，求实数a的取值范围．

题型二 罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理
1．已知，，
(1)若在处取得极值，试求的值和的单调增区间；
(2)如图所示，若函数的图象在连续光滑，试猜想拉格朗日中值定理：即一定存在，使得，利用这条性质证明：函数图象上任意两点的连线斜率不小于．
2．（24-25高三上·山西·月考）以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容，其定理陈述如下：若定义在上的函数满足条件①在闭区间上连续，②在开区间内可导，则，.而罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例：若，则.现已知函数.
(1)设可导函数，证明：，；
(2)若在上的最小值为，求a的取值范围.
3．拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，它的表述如下：
若函数满足条件：①在闭区间上连续；②在开区间内可导，则存在，使得.
(1)若，，，求满足的实数的值.
(2)运用拉格朗日中值定理求解以下问题：
（ⅰ）对任意的且，证明不等式.
（ⅱ）已知函数，对任意的，，恒成立，求实数的取值范围.（结果保留3位小数）
参考数据：，，，.
4．（2024·湖北襄阳·三模）柯西中值定理是数学的基本定理之一，在高等数学中有着广泛的应用.定理内容为：设函数f(x)，g(x)满足:
①图象在上是一条连续不断的曲线；
②在内可导;
③对，，则，使得.
特别的，取，则有：，使得，此情形称之为拉格朗日中值定理.
(1)设函数满足，其导函数在上单调递增，证明：函数在上为增函数.
(2)若且，不等式恒成立，求实数的取值范围.
5．（24-25高三上·湖北武汉·月考）2022年7月，在重庆巴蜀中学读高一的瞿霄宇，夺得第63届国际数学奥林匹克（IMO）满分金牌.同年9月26日，入选2022年阿里巴巴全球数学竞赛获奖名单，同时成为了本届获奖者中年龄最小的选手.次年9月16日，他再接再厉，在2023阿里巴巴全球数学竞赛中获金奖.他的事迹激励着广大数学爱好者勇攀数学高峰，挖掘数学新质生产力.翔宇中学高二学生小刚结合自己“强基计划”的升学规划，自学了高等数学的罗尔中值定理：如果上的函数满足条件：①在闭区间上连续；②在开区间可导；③.则至少存在一个，使得.据此定理，请你尝试解决以下问题：
(1)证明方程：在内至少有一个实根，其中，，，；
(2)已知函数在区间内有零点，求的取值范围.

题型三 微积分
1．（24-25高三上·重庆·开学考试）如果函数的导数，可记为．若，则表示曲线，，以及轴围成的曲边梯形”的面积（其中．
(1)若，且，求；
(2)当时，证明：；
(3)证明：．
2．微积分的发现是数学发展中的里程碑，它为研究变量和函数提供了重要的方法.对于函数在区间上连续.如图所示，定积分是由直线、直线、直线和曲线所围成区域（即曲边梯形ABQP）的面积.根据微积分基本定理可得，因为曲边梯形ABQP的面积小于梯形ABQP的面积，即.
(1)请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明：
(2)已知函数，其中.
（ⅰ）证明：对任意两个不相等的正数，曲线在点和点处的切线不重合；
（ⅱ）当时，若不等式恒成立，求实数a的取值范围.
3．在必修一中，我们曾经学习过用二分法来求方程的近似解，而英国物理学家、数学家艾萨克•牛顿与德国哲学家、数学家戈特弗里德•莱布尼茨各自独立发明了微积分．其中牛顿在《流数法与无穷级数》（The Methd f Fluxins and Inifinite Series）一书中给出了“牛顿切线法”求方程的近似解．具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值．一直继续下去，得到．一般地，作点处曲线的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值，称数列为牛顿数列．
(1)已知函数的零点为，，求的2次近似值．
(2)函数的两个零点分别为，，数列为函数的牛顿数列，若数列满足，，．
（i）证明：；
（ii）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在4项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的4项；若不存在，请说明理由．

题型四 洛必达法则
1．极限，是微积分学中一个重要概念.有些简单函数的求极限是可以直接写出的，例如，.如果当（或）时，两个函数与都趋于零或都趋于无穷大，那么我们通常把极限叫作未定式，并分别简记为或.当（或），极限为未定式且、、存在时，有：.这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则（）.
(1)使用洛必达法则，求极限；
①；②；③
(2)求极限（选择一个可用合适方式解答的式子作答，多个题目作答，以第一道作答题目计分）：
①；②；③；
(3)且，，恒成立.
①直接写出解析式；
②求的取值范围.
2．对于给定函数，，，分别是，的导函数，当，时，根据洛必达法则知．已知函数，．
(1)当时，求的值；
(2)设函数，若不等式在上恒成立．
（i）求的取值范围；
（ii）证明：，．
3．①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有一结论：若函数，的导函数分别为，，且，则；
②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题：
(1)证明不是区间上的2阶无穷递降函数；
(2)计算：；
(3)记，；求证：.

题型五 伯努利与琴生不等式
1．伯努利不等式又称贝努力不等式，由著名数学家伯努利发现并提出．伯努利不等式在证明数列极限、函数的单调性以及在其他不等式的证明等方面都有着极其广泛的应用．伯努利不等式的一种常见形式为：当时，，当且仅当或时取等号．
(1)假设某地区现有人口万，且人口的年平均增长率为，以此增长率为依据，试判断年后该地区人口的估计值是否能超过万？
(2)数学上常用表示，，，的乘积，．
①证明：；
②数列，满足：，，证明：．
2．设函数定义域在区间连续，对于内任意两数，，都有，则称为上的凹函数；若，则称为上的凸函数；若在区间上为凸函数，则对任意的，有琴生不等式恒成立（当且仅当时，等号成立）．
(1)证明：函数在上为凸函数；
(2)设，且，求的最大值；
(3)设为正实数，且，证明：．
3．（24-25高三上·黑龙江·月考）若为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凸函数”.也可设可导函数在上的导函数为在上的导函数为，当时，函数在上的为“凸函数”.若为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凹函数”.也可设可导函数在上的导函数为在上的导函数为，当时，函数在上的为“凹函数”.这里关于凹凸函数的不等式即为著名的琴生不等式.
(1)讨论函数的凹凸性；
(2)在锐角中，求的最小值；
(3)若个正数满足，证明:.
4．瑞士数学家伯努利（Bernulli，1654－1705）提出“让式子丢掉次数”，是高等数学在解决不等关系问题中最常见的一种方法．伯努利提出“若实数，则有”，这就是伯努利不等式，并给出了这个结论的完美证明．
(1)指出伯努利不等式中等号成立的条件（不必说明理由）；
(2)证明伯努利不等式；
(3)已知无穷数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列，…，依次类推．试用n与d表示，并证明．

题型六 行列式与矩阵
1．（2024·河北保定·三模）对于任意给定的四个实数，，，，我们定义方阵，方阵对应的行列式记为，且，方阵与任意方阵的乘法运算定义如下：，其中方阵，且.设，，.
(1)证明：.
(2)若方阵，满足，且，证明：.
2．（2024·安徽·二模）在平面直角坐标系中，利用公式①（其中，，，为常数），将点变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由，，，组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母，，…表示．
(1)在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转得到点（到原点距离不变），求点的坐标；
(2)如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转角得到点（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；
(3)向量（称为行向量形式），也可以写成，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式①可以表示为：，则称是二阶矩阵与向量的乘积，设是一个二阶矩阵，，是平面上的任意两个向量，求证：．
3．（24-25高三上·云南昆明·期中）行列式最早起源于对线性方程组的研究，起初是一种速记的表达式，发展到现在已经成为一种非常有用的数学工具．已知表示二阶行列式，规定；表示三分行列式，规定．设．
(1)求；
(2)以为切点，作直线交的图象于异于的另一点，其中．若，当时，设点的横坐标构成数列．
①求的通项公式；
②证明：．
4．（2024·山东泰安·模拟预测）在数学中，由个数排列成的m行n列的数表称为矩阵，其中称为矩阵A的第i行第j列的元素.矩阵乘法是指对于两个矩阵A和B，如果4的列数等于B的行数，则可以把A和B相乘，具体来说：若，，则，其中.已知，函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若是的两个极值点，证明：，.

题型七 初等数论
1．（2024·河北秦皇岛·三模）“完全数”是一类特殊的自然数，它的所有正因数的和等于它自身的两倍.寻找“完全数”需要用到函数，记函数，为的所有正因数之和.
(1)判断28是否为完全数，并说明理由.
(2)已知，若为质数，证明：为完全数.
(3)已知，求，的值.
2．同余理论是大学数学教材《初等数论》中的重要内容．同余的定义为：设a，b，m为正整数，其中，若存在正整数k，使得，则称a同余于b模m，记作．例如：，可记为．
(1)证明：数列中的每一项都是同余方程的解；
(2)已知同余方程．
（ⅰ）求同余方程所有的正整数解：
（ⅱ）将上述同余方程所有的正整数解按从小到大的顺序排列构成数列，求数列的前n项和．
3．设，.如果存在使得，那么就说可被整除（或整除），记做且称是的倍数，是的约数（也可称为除数，因数），由整除的定义，不难得出整除的下面几条性质；①若，，则；②，互质，若，，则；③若，则，其中，.
(1)证明：；；
(2)若为奇数，求证：能被整除；
(3)对于整数与，，求证：可整除.
4．（2024·湖南衡阳·二模）莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用．所有大于1的正整数都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式：（为的质因数个数，为质数，），例如：，对应．现对任意，定义莫比乌斯函数
(1)求；
(2)若正整数互质，证明：；
(3)若且，记的所有真因数（除了1和以外的因数）依次为，证明：．

题型八 切比雪夫不等式、马尔科夫链
1．概率论中有很多经典的不等式，其中最著名的两个当属分别由两位俄国数学家马尔科夫和切比雪夫分别提出的马尔科夫不等式和切比雪夫不等式．切比雪夫不等式：设随机变量X的期望为，方差为，则对任意，均有．
(1)根据以上参考资料，证明切比雪夫不等式对离散型随机变量X成立．
(2)某药企研制出一种新药，宣称对治疗某种疾病的有效率为80%．现随机选择了100名患者，经过使用该药治疗后，治愈的人数为60人，请结合切比雪夫不等式通过计算说明药厂的宣传内容是否真实可信．
2．（24-25高三上·湖南益阳·期末）某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为合格品，小于76为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表：
(1)现从这100件样品中随机抽取2件，在其中一件为合格品的条件下，求另一件为不合格品的概率；
(2)关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立．
（i）若，证明：；
（ii）由切比雪夫不等式可知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的．若该工厂声称本厂元件合格率为，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件发生的概率小于0.05时，可称事件为小概率事件）
3．（2024·湖北·模拟预测）某农户购入一批种子，已知每粒种子发芽的概率均为0.9，总共种下n粒种子，其中发芽种子的数量为X．
(1)要使的值最大，求n的值；
(2)已知切比雪夫不等式：设随机变量X的期望为，方差为，则对任意均有，切比雪夫不等式可以使人们在随机变量X的分布未知的情况下，对事件的概率作出估计．
①当随机变量X为离散型随机变量，证明切比雪夫不等式（可以直接证明，也可以用下面的马尔科夫不等式来证明切比雪夫不等式）；
②为了至少有的把握使种子的发芽率落在区间，请利用切比雪夫不等式估计农户种下种子数的最小值．
注：马尔科夫不等式为：设X为一个非负随机变量，其数学期望为，则对任意，均有．
4．（2025·四川成都·模拟预测）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，在人工智能、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，，，，，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即．已知甲盒子中装有个黄球和个黑球，乙盒子中装有个黄球和个黑球（个球的大小形状完全相同）．记操作：从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中．在重复次操作后，记甲盒子中黄球个数为，恰有个黄球的概率为，恰有个黄球的概率为，并记的数学期望为．
(1)求、；
(2)求；
(3)证明：是等比数列．
5．（24-25高三上·湖北·期中）马尔科夫链是一种随机过程，它具有马尔科夫性质，也称为“无记忆性”，即一个系统在某时刻的状态仅与前一时刻的状态有关.为了让学生体验马尔科夫性质，数学老师在课堂上指导学生做了一个游戏.他给小明和小美各一个不透明的箱子，每个箱子中都有个红球和1个白球，这些球除了颜色不同之外，其他的物质特征完全一样规定“两人同时从各自的箱子中取出一个球放入对方的箱子中”为一次操作，假设经过次操作之后小明箱子里的白球个数为随机变量，且.
(1)求的值；
(2)求；
(3)证明：为定值.


检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．概率论中有很多经典的不等式，其中最著名的两个当属由两位俄国数学家马尔可夫和切比雪夫分别提出的马尔可夫不等式和切比雪夫不等式.马尔可夫不等式的形式如下：设为一个非负随机变量，其数学期望为，则对任意，均有，马尔可夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界，阐释了随机变量尾部取值概率与其数学期望间的关系.当为非负离散型随机变量时，马尔可夫不等式的证明如下：设的分布列为，，其中，，，则对任意，，其中符号表示对所有满足的指标所对应的求和.切比雪夫不等式的形式如下：设随机变量的期望为，方差为，则对任意，均有.
(1)根据以上参考资料，证明切比雪夫不等式对离散型随机变量成立.
(2)某药企研制出一种新药，宣称对治疗某种疾病的有效率为80%.现随机选择了100名患者，经过使用该药治疗后，治愈的人数为60，请结合切比雪夫不等式通过计算说明药厂的宣传内容是否真实可信.
2．丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.若为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立.则称函数在上为“上凸函数”.若为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立.则称函数在上为“下凸函数”这里关于凹凸函数的不等式即为著名的琴声不等式.
(1)已知函数，
①若判断函数是上凸还是下凸函数并给予证明，
②试判断是上凸还是下凸函数，直接写出结论.
(2)若是一组实数且，求的最小值.
3．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程．该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关．甲、乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为，恰有1个黑球的概率为．
(1)求的值；
(2)求的值（用表示）；
(3)求证：的数学期望为定值．
4．（2025·河北·三模）洛必达法则对导数的研究产生了深远的影响.洛必达法则：给定两个函数，当时，.已知函数，.
(1)证明：在区间上单调递减；
(2)对于恒成立，求实数的取值范围；
(3)，证明：（附：）.
5．给出以下三个材料：①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作.类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作，三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地，阶导数的导数叫做阶导数，记作.②若，定义.③若函数在包含的某个开区间上具有阶的导数，那么对于任一有，我们将称为函数在点处的阶泰勒展开式.例如，在点处的阶泰勒展开式为.根据以上三段材料，完成下面的题目：
(1)求出在点处的阶泰勒展开式，并直接写出在点处的阶泰勒展开式；
(2)比较（1）中与的大小.
(3)证明：.
6．（24-25高三上·重庆·月考）给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，.已知在处的阶帕德近似注：，，，，…
(1)求，，的值；
(2)比较的大小，并说明理由；
(3)求不等式的解集，其中
7．柯西中值定理是数学的基本定理之一，在高等数学中有着广泛的应用．定理内容为：设函数，满足①图象在上是一条连续不断的曲线；②在内可导；③对，．则，使得．特别的，取，则有：，使得，此情形称之为拉格朗日中值定理．
(1)设函数满足，其导函数在上单调递增，判断函数在的单调性并证明；
(2)若且，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)若，求证：．
8．（24-25高三上·河北·期中）若正整数，则称为的一个“分解积”.
(1)当分别等于时，写出的一个分解积，使其值最大；
(2)当正整数的分解积最大时，求中2的个数；
(3)当正整数的分解积最大时，求出中的值.
9．对于任意实数，引入记号表示算式，即，称记号为二阶行列式.是上述行列式的展开式，其计算的结果叫做行列式的值.
(1)求下列行列式的值：
①；②；
(2)求证:向量与向量共线的充要条件是；
(3)讨论关于的二元一次方程组有唯一解的条件，并求出解.（结果用二阶行列式的记号表示）.
10．（23-24高三下·贵州·月考）伯努利不等式又称贝努力不等式，由著名数学家伯努利发现并提出. 伯努利不等式在证明数列极限、函数的单调性以及在其他不等式的证明等方面都有着极其广泛的应用. 伯努利不等式的一种常见形式为：
当，时，，当且仅当或时取等号.
(1)假设某地区现有人口100万，且人口的年平均增长率为，以此增长率为依据，试判断6年后该地区人口的估计值是否能超过107万？
(2)数学上常用表示，，，的乘积，，.
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）已知直线与函数的图象在坐标原点处相切，数列满足：，，证明：.
11．由个数排成的行列的数表称为行列的矩阵，简称矩阵. 矩阵是高等代数中的常见工具，在物理学、计算机科学中都有广泛的应用. 现有矩阵，其中.设. 定义变换 : “对于矩阵的每一行的数，若其中有或，则将这一行中每个数变为其相反数; 否则这一行中所有数均保持不变”. 表示对用变换得到，再对用变换得到，以此类推，最后得到. 记矩阵中四个数的和为.
(1)若，写出经过变换后得到的矩阵，并求的值；
(2)若 ，求的所有可能取值的和；
(3)对任意矩阵，证明: 的所有可能取值的和不超过 0 .
12．（24-25高三上·江苏南通·月考）小学我们都学过质数与合数，每一个合数都能分解为若干个质数的积，比如，等等，分解出来的质数称为这个合数的质因子，如2，3都是6的质因子．在研究某两个整数的关系时，我们称它们是互质的，如果它们没有相同的质因子．例如25的质因子只有5，而36的质因子只有2，3，所以25，36是互质的．为方便表示，对于任意的正整数，我们将比小且与互质的正整数的个数记为．例如，小于10且与10互质的数有1，3，7，9，所以，同理有．
(1)求，；
(2)求所有，，使得是奇数；
(3)若正整数，其中表示互不相同的质数．证明：.

检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（24-25高三上·河北唐山·月考）约瑟夫·路易斯·拉格朗日是闻名世界的数学家，拉格朗日中值定理就是他发现的.定理如下：若函数满足如下条件：
①函数在区间上连续（函数图象没有间断）；
②函数在开区间内可导（导数存在）．则在区间内至少存在一点，使得成立，其中称为“拉格朗日中值点”．
(1)求函数在上的“拉格朗日中值点”的个数；
(2)对于任意的实数，，证明：；
(3)已知函数在区间上满足拉格朗日中值定理的两个条件，当时，证明：．
2．（24-25高三上·河北邯郸·月考）定义：设为区间D上的可导函数，若为增函数，则称为区间D上的凹函数.对于凹函数，丹麦著名数学家琴生（Jhan Jensen）提出了著名的琴生不等式：若函数为其定义域上的凹函数，则对其定义域内任意n个数，均有成立（当且仅当时等号成立）.
(1)分别判断函数与是否为其定义域上的凹函数；
(2)若函数为上的凹函数，求m的取值范围；
(3)设数列中的各项均不小于1，证明：.
3．设正整数，其全部正因数构成集合，且满足，设任意相邻两项之积，若整除，则称符合该条件的为可除整数.
(1)判断是否为可除整数；
(2)证明：；
(3)证明：所有的可除整数构成素数集.
4．（2025·陕西榆林·模拟预测）帕德近似是法国数学家亨利•帕德发明的，用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，函数在处的阶帕德近似定义为：，其中和分别是和次多项式，且满足.其中为的导数.已知在处的阶帕德近似为.
(1)求实数的值，利用的阶帕德近似估计的近似值（结果保留3位有效数字）；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围；
(3)证明：当时，.
5．极限，是微积分学中一个重要概念.有些简单函数的求极限是可以直接写出的，例如，.如果当（或）时，两个函数与都趋于零或都趋于无穷大，那么我们通常把极限叫作未定式，并分别简记为或.当（或），极限为未定式且、、存在时，有：.这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则（）.
(1)使用洛必达法则，求极限；
①；②；③
(2)求极限（选择一个可用合适方式解答的式子作答，多个题目作答，以第一道作答题目计分）：
①；②；③；
(3)且，，恒成立.
①直接写出解析式；
②求的取值范围.
6．（24-25高三上·辽宁沈阳·开学考试）在高等数学中，我们将在处及其附近可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：（其中表示的n次导数），以上公式我们称为函数在处的泰勒展开式．
(1)分别求在处的泰勒展开式；
(2)若上述泰勒展开式中的x可以推广至复数域，试证明：．（其中为虚数单位）；
(3)当时，求证：．（参考数据）
7．（2024·江西鹰潭·二模）“让式子丢掉次数”—伯努利不等式（Bernulli’sInequality），又称贝努利不等式，是高等数学分析不等式中最常见的一种不等式，由瑞士数学家雅各布.伯努利提出，是最早使用“积分”和“极坐标”的数学家之一.贝努利不等式表述为：对实数，在时，有不等式成立；在时，有不等式成立.
(1)证明：当，时，不等式成立，并指明取等号的条件；
(2)已知，…，（）是大于的实数（全部同号），证明：
(3)求证：.
8．（2024·江西南昌·模拟预测）微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段.对于函数在区间上的图像连续不断，从几何上看，定积分便是由直线 和曲线所围成的区域（称为曲边梯形ABQP）的面积，根据微积分基本定理可得，因为曲边梯形ABQP的面积小于梯形ABQP的面积，即，代入数据，进一步可以推导出不等式：，用同样的方式也可以推导不等式.

已知函数，其中.
(1)请参考上述材料证明：函数图象上的任意两点切线均不重合；
(2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围.
9．（24-25高三上·河北邯郸·月考）记为有穷数列的前项和，若满足下列两个条件则称为阶“期待数列”：①；②.形如的数表表示2行列的矩阵，设是由阶“期待数列”中的项任意排列组成的2行列的矩阵，记为阶“期待数列”组成的所有2行列的矩阵的集合.设为的第行各数之和为的第列各数之和，记为，中的最小值.
(1)若等差数列是递增的2023阶“期待数列”，且，求；
(2)对所有的矩阵，求的最大值；
(3)给定，对所有的矩阵，求的最大值.
10．（2024·江苏南通·模拟预测）解二元一次方程组是数学学习的必备技能.设有满足条件的二元一次方程组.
(1)用消元法解此方程组，直接写出该方程组的两个解；
(2)通过求解，不难发现两个解的分母是由方程组中的系数所唯一确定的一个数，按照它们在方程组中的位置，把它们排成一个数表，由此可以看出是这个数表中左上到右下对角线上两个数的乘积减去右上到左下对角线上两个数的乘积的差，称为该数表的二阶行列式，记为.当≠0时，二元一次方程组有唯一一组解.同样的，行列式称为三阶行列式，且=.
（i）用二阶行列式表示方程组的两个解；
（ii）对于三元一次方程组，类比二阶行列式，用三阶行列式推导使得该三元一次方程组有唯一一组解的条件（结论不得使用行列式表达），并用三阶行列式表示该方程组的解.
(3)若存在，使得，求的取值范围.
11．矩阵可以理解为一个二维数列，在数列的研究中有重要的应用.记一个m行l列的矩阵A为，A中第i行第j列的元素为（，2，3，…，m，，2，3，…，l），记一个l行n列的矩阵B为，我们定义一个双目运算符“”使得矩阵，那么有以下规则：
a.A的列数必须与B的行数相等.
b.C是一个m行n列的矩阵.
c.C中的元素.
d.若有n个相同的矩阵A相后得到一个新矩阵，可将其记作.
e.运算满足结合律，不满足交换律.
(1)求.
(2)数列满足：，其中.存在唯一的矩阵D使得（，）.
①求矩阵D，并用矩阵相的形式表示出矩阵（，）；
②用矩阵相的形式表示出矩阵（，）.
12．（2025·安徽合肥·模拟预测）合肥一中2025年元旦联欢会上一个抽奖游戏，主持人从编号为的个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将个箱子关闭.主持人知道奖品在哪个箱子里.游戏规则是主持人请抽奖人在个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由抽奖人获得.抽奖人当然希望选中有奖品的箱子!假定你是抽奖人，不妨设你选择了号箱.在打开号箱之前，主持人先打开了另外个箱子中的一个空箱子.按游戏规定，主持人打开你的选择之外的空箱子，当你的选择之外有多个空箱子时，主持人随机选择其中一个打开.
(1)若，不妨设主持人打开的是3号箱.现在给你一次重新选择的机会，你是坚持选1号箱，还是改选2号箱？试说明理由；
(2)若，不妨设主持人打开的是3号箱.现在给你一次重新选择的机会，你是坚持选2号箱，还是改选其他号码的箱？试说明理由；
(3)切比雪夫不等式是概率中经典的不等式之一，其形式如下：设随机变量的期望和方差存在，则对任意的，有.若，设主持人打开箱的号码为随机变量，求的期望和方差，并验证随机变量满足切比雪夫不等式.
13．（2024·河北·模拟预测）为增强学生身体素质，提高学生健康水平，促进学生的全面发展，更好地推进“一核四翼”高质量发展，丰富全校师生的校园文化生活，某学校开展了为期两天的秋季运动会，运动会设置了多个项目，小宇参加了“定点投篮”的比赛，规定：一场比赛总共投篮10次，若未命中不得分，单独命中1球得1分，连续命中2球得3分，连续命中3球得6分，连续命中4球得10分，以此类推，连续命中球得分，假设小字每次投篮命中率为，且每次投篮之间相互独立.
(1)求小宇在一场比赛中最终得分为10分的概率；
(2)小宇在赛前进行了大量练习，在一次训练中，小宇决定只要连续命中3球就回家，在以下三种方法中选择一种，求解小宇投篮次数的均值.
①马尔科夫链：以代表当小宇已经连续命中球时，最终达到连续命中3球状态所需的平均投篮次数，那么当小宇一开始投篮时，若他下一次投篮将球命中，他只需要再投中个球就能回家，若下次投篮未命中，则需要再投中个球才能回家.由此我们得出，若将来的状态仅与当下的状态有关，与过去的状态无关，根据下图，推导其余关系式.
②概率母函数：小明投篮的情况可划分为四种，（i）未命中；（ii）命中，未命中；（iii）命中，命中，未命中；（iv）命中，命中，命中，概率分别为，则小宇投篮次数的均值恰好为函数在处的导数值；（当时，）
③鞅的停时定理：试想小宇在和球场管理员玩一个赌博游戏，每次投篮都要下注，当小宇下注为元时，若命中就会赢得元，未命中就会输掉元，小宇一开始没有钱，小华决定每次投篮前都会借给小宇1元钱，而小宇每次都会将自己所有的钱全部押为下一次投篮的赌注，已知此游戏是“公平的”，也就是小宇停止时的赌本的期望值和他开始时的赌本相同.
测试指标
元件数（件）
2
18
36
40
4