2026年高考数学一轮复重难点培优02高中数学结构不良问题全归纳(复习讲义)(全国通用)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复重难点培优02高中数学结构不良问题全归纳(复习讲义)(全国通用)(学生版+解析)，共33页。
\l "_Tc28373" 02 题型精研・技巧通法提能力 PAGEREF _Tc28373 \h 1
\l "_Tc16555" 题型一 解三角形结构不良（★★★★★） PAGEREF _Tc16555 \h 1
\l "_Tc7141" 题型二 数列结构不良（★★★★★） PAGEREF _Tc7141 \h 3
\l "_Tc26803" 题型三 立体几何结构不良（★★★★★） PAGEREF _Tc26803 \h 5
\l "_Tc13512" 题型四 圆锥曲线结构不良（★★★★★） PAGEREF _Tc13512 \h 9
\l "_Tc3897" 题型五 导数结构不良（★★★★★） PAGEREF _Tc3897 \h 10
\l "_Tc25070" 03 实战检测・分层突破验成效 PAGEREF _Tc25070 \h 12
\l "_Tc621" 检测Ⅰ组 重难知识巩固 PAGEREF _Tc621 \h 12
\l "_Tc1659" 检测Ⅱ组 创新能力提升 PAGEREF _Tc1659 \h 15
1、“结构不良问题”的解题策略
（1）题目所给的三个可选择的条件是平行的，无论选择哪个条件，都可解答题目；
（2）在选择的三个条件中，并没有哪个条件让解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满分，但计算要细心、准确，避免出现低级错误导致失分．


题型一 解三角形结构不良
【技巧通法·提分快招】
1．（25-26高三上·山东枣庄·月考）在中，，.
(1)求；
(2)在以下三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的高.
①；②；③面积为.
2．（25-26高三上·北京·期中）在中，，，分别为角，，的对边，，，且.
(1)求角的大小；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积.
条件①：，为锐角；条件②：；条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分.
3．（25-26高三上·北京延庆·月考）已知函数，从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在.
(1)求的值；
(2)求在区间上的最大值和最小值.
条件①：；
条件②：是奇函数；
条件③：是的一个零点.
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
4．（25-26高三上·安徽·月考）在锐角中，内角所对的边分别为．在下面所给的三个条件中任选一个完成题目的解答：
①；②；③．
(1)求的值；
(2)若为延长线上一点，且，求的取值范围．
注：若多选，则按所选第一个计分．
5．（25-26高三上·北京·月考）已知函数.从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定.
(1)求的值；
(2)若不等式在区间内有解，求的取值范围.
条件①：；
条件②：图象关于对称，且在区间有且只有一个最大值和一个最小值；
条件③：在区间内无极值点，且恒成立.
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

题型二 数列结构不良
【技巧通法·提分快招】
1．（2024·四川德阳·三模）已知是等差数列，是等比数列，且的前项和为，，，在①，②这两个条件中任选其中一个，完成下面问题的解答.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求.
2．（2025·江苏·一模）在①；②；③这三个条件中，请选择一个合适的条件，补充在下题横线上（只要写序号），并解答该题．
已知数列的各项均为正数，其前项和为，且对任意正整数，有______．
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：．
3．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知数列，______．在①数列的前项和为，；②数列的前项之积为这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分．在答题前应说明“我选______”）
(1)求数列的通项公式；
(2)令，设数列的前项和为，求证：．
4．（23-24高三下·安徽黄山·月考）已知数列满足，数列为等比数列，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列的前项和为，若 ，记数列满足，求数列的前项和.
在①是的等差中项；②；③这三个条件中任选一个，补充在第（2）问中，并对其解答.
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
5．（2024·青海玉树·二模）已知单调递增的等差数列的前n项和为，且，______.从下列三个条件中任选一个，补充在题目的横线上，并解答.
(1)求的通项公式；
(2)令是以2为首项，2为公比的等比数列，数列的前n项和为.若，，求实数的取值范围.
①，，成等比数列；②，，成等比数列；③是与的等差中项.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

题型三 立体几何结构不良
【技巧通法·提分快招】
1．（24-25高三下·青海玉树·开学考试）如图，在三棱台中，，，侧面侧面，分别为的中点．

(1)求证：平面；
(2)已知，，请从下面两个条件中选择一个作为已知，求二面角的正弦值．
条件①：；
条件②：直线与平面所成角的正切值为
2．（2025·江西赣州·一模）如图所示，平面平面，且四边形为矩形，在四边形中，，．
(1)证明：平面平面；
(2)若，再从条件①、条件②中选择一个作为已知条件，求二面角的余弦值．
条件①：异面直线CD与BE所成角的余弦值为；
条件②：直线BF与平面ACEF所成角的正弦值为．
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的的条件分别进行解答，按第一个解答计分．
3．（2025·北京丰台·二模）如图，在四棱柱中，底面与侧面均为菱形，平面为的中点，与平面交于点．

(1)求证：为的中点；
(2)再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，判断在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①，条件②分别解答，按第一个解答计分．
4．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知四棱柱的各棱长均为2，，，，．

(1)证明：；
(2)请从下列条件①，条件②，条件③中选出两个作为已知条件，使得点G的位置确定．
（i）求λ的值；
（ii）求直线GB与平面所成的角的正弦值．
条件①：三棱锥的体积为1；
条件②：；
条件③：二面角的余弦值为．
5．（2025·北京大兴·三模）如图，在三棱柱中，是边长为2的正三角形，且．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值．
条件①：平面平面；
条件②：三棱柱的体积为；
条件③：三棱锥是正四面体．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

题型四 圆锥曲线结构不良
1．设椭圆方程的离心率为，上､下顶点分别为，右焦点为，且__________．
在①，②③这三个条件中任选一个，填在上面的横线上，并解答．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线交椭圆于两点（不同于两点），且，试求直线的方程．
注：若选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分．
2．设为抛物线上一点，且______．从下面两个条件中任选一个作为已知，补充在横线上，并作答．①经过点；②点到的距离等于到直线的距离．
(1)求的方程；
(2)设是的准线上两个不同的点，在直线的右侧，若直线是圆的切线，求面积的最小值．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
3．（24-25高三下·甘肃平凉·开学考试）已知点，P是直线AB外的一个动点，，垂足为Q，且Q在线段AB外，，记点P的轨迹为曲线C．
(1)求C的方程；
(2)若直线l交C于M，N两点，M关于x轴的对称点为T，请再从条件①、②和③中选择一个合适的作为已知，证明以下问题：
（i）l过定点；
（ⅱ）不可能为锐角三角形．
条件：①直线TB和NA的斜率之和为0；
②直线TB和NB的斜率之积为6；
③直线TB和NA的斜率之商为2．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
4．已知分别为椭圆的左、右焦点，过原点的直线与交于两点（点在轴上方），四边形面积的最大值为，且当轴时，．
(1)求的方程；
(2)若点为轴上一点，为上异于的一点，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①；②；③三点共线．
注：如果选择不同的组合分别解答，按第一个解答计分．
5．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为.等轴双曲线的顶点是的焦点，焦点是的顶点.点在上，且位于第一象限，直线与的交点分别为和，其中在轴上方.
(1)求和的方程；
(2)求证：为定值；
(3)设点满足直线的斜率为1，记的面积分别为.从下面两个条件中选一个，求的取值范围.
①；②.

题型五 导数结构不良
1．（24-25高三·上海·随堂练习）已知函数，其中，，其中，
(1)在条件①；②中选择一个，研究函数的单调性；
(2)当时，若和在上具有相同的单调性，求实数a的取值范围．
2．（25-26高三上·北京海淀·期中）已知函数，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得唯一确定，求：
(1)曲线在点处的切线方程；
(2)函数的单调区间．
条件①：；
条件②：；
条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，本题得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
3．在①曲线在处的切线斜率为1；②；③有两个极值点，这三个条件中任选一个补充在下面的问题（1）中，并加以解答.
已知.
(1)若___________，求实数的值并判断函数的极值；
(2)试讨论函数的单调性.
4．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)从条件：①函数有两个零点；②当时，恒成立中任选一个作为已知，求实数的取值范围．
注：若选择条件①和条件②分别解答，则按第一个解答计分．
5．已知函数.
(1)讨论函数的单调性.
(2)从下面两个条件中任选一个作为已知条件，证明：只有一个零点.
①，；②，.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（25-26高三上·北京·月考）在中，角，，所对边分别为，，，且.
(1)求；
(2)已知，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，并求的面积.①；②；③.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
2．（2024·四川眉山·三模）已知数列的前项和为，且
(1)求数列的通项公式；
(2)若__________，求数列的前项和
从①；②；③，这三个条件中任选一个补充在上面的横线上并解答问题
3．（24-25高三下·广西河池·月考）的内角所对的边分别为，且，．
(1)若为锐角三角形，求的取值范围；
(2)在①；②；③中选一个作为条件，判断是否存在，若存在，求出的面积；若不存在，说明理由．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
4．（23-24高三上·江苏无锡·月考）在①，②，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
问题：设是数列的前项和，，________．
(1)求数列的通项公式；
(2)对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为，求的前项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
5．（2024·宁夏银川·一模）已知等差数列的前n项和为，，数列的前n项和，从下面两个条件中任选一个作为已知条件，解答下列问题：
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和．
条件①：；条件②：．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
6．（2025·浙江杭州·三模）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，．
(1)求证：平面PAD；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面PBC与平面PAD所成角的大小．
条件①：；
条件②：平面PAD．
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
7．（24-25高三上·北京房山·期末）已知三棱柱中，侧面为菱形，侧面为正方形，，，为的中点.

(1)求证：平面；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知.
（ⅰ）求证：平面；
（ⅱ）求与平面所成角的正弦值.
条件①：；
条件②：.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
8．在平面直角坐标系中，、为圆：与轴的交点，点为该平面内异于、两点的动点，且______，从下列条件中任选一个补充在上面问题中作答.
条件①：直线与直线的斜率之积为；
条件②：设为圆上的动点，为点在轴上的射影，且为的中点；
注：如果选择多个条件作答，按第一个计分.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)若直线与（1）问中轨迹方程交于、两点，与圆相交于、两点，且，求面积最大值.
9．（24-25高三上·北京西城·开学考试）已知函数.请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题.
条件①：；
条件②：.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
(1)求实数k的值；
(2)设函数，求函数的单调区间；
(3)设函数，指出函数在区间上的零点个数，并说明理由.
10．（24-25高三上·广西·月考）已知三棱锥的四个顶点均在球的球面上，分别为中点.
(1)现有如下两个条件：
条件①；
条件②.
请从上述二个条件中选择一个条件，能使成立，
并写出证明过程.（注：多选择分别证明，只按第1次选择计分）
(2)若，求三棱锥体积最大时，二面角的正弦值.

检测Ⅱ组 创新能力提升
1．已知抛物线过点.
(1)求的准线方程.
(2)若直线与交于两点，是上异于的一点，记直线的斜率分别为.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
①点的坐标为；②；③直线经过点.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
2．已知数列的前n项和为，，且．
(1)证明：数列为等比数列，并求其通项公式；
(2)若______，求数列的前n项和．
从①；②；③，这三个条件中任选一个补充在上面的横线上并解答问题．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
3．在中，为角对应的边，S为的面积，且满足如下条件：.
(1)求角A；
(2)若，求面积的最大值；
(3)为锐角三角形，且，若恒成立，求实数的取值范围.
4．如图，已知四棱锥，底面是平行四边形，且，是线段的中点，.
(1)求证：平面；
(2)下列条件任选其一，求二面角的余弦值.
①与平面所成的角为；
②到平面的距离为.
注：如果选择多个条件分别解答，按一个解答计分.
5．在平面直角坐标系 ​中：①已知点​， 直线​，动点​满足到点​的距离与到直线​的距离之比​；②已知点​分别在​轴，​轴上运动， 且​， 动点​满​； ③已知圆​的方程为​， 直线​为圆​的切线， 记点​到直线​的距离分别为​， 动点​满足​．
(1)在①，②，③这三个条件中任选一个， 求动点 ​的轨迹方程；
(2)记 （1）中动点 ​的轨迹为​， 经过点​的直线​交​于​两点， 若线段​的垂直平分 线与​轴相交于点​， 求点​纵坐标的取值范围．
6．已知函数．
(1)二次函数，在“①曲线，有1个交点；②”中选择一个作为条件，另一个作为结论，进行证明；
(2)若关于x的不等式在上能成立，求实数m的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
7．已知数列的通项公式为，数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)设，记数列．的前项和为，从下面两个条件中选一个，判断是否存在符合条件的正整数，，，若存在，求出，，的一组值；若不存在，请说明理由．
①，，成等比数列且，，成等比数列；
②，成等差数列且，，成等差数列．
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
8．已知函数．
(1)求的单调区间和最值；
(2)已知函数，若在区间内有两个极值点，．
（ⅰ）求实数a的取值范围；
（ⅱ）从下面两个不等式中任选一个进行证明．
① ；
② ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
1、“正弦定理”与“余弦定理”的选用策略
在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．
（1）如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；
（2）如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；
（3）以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
2、“边化角”或“角化边”的变换策略
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理．
2、数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；
（2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和；
（3）对于型数列，利用分组求和法；
（4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和．
3、常见的裂项公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
1、空间向量与立体几何的求解公式
(1)异面直线成角：设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则l1与l2所成的角θ满足：cs θ＝eq \f(|a·b|,|a||b|)；
(2)线面成角：设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，a与n的夹角为β，
则直线l与平面α所成的角为θ满足：sin θ＝|cs β|＝eq \f(|a·n|,|a||n|).
(3)二面角：设n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，
则两面的成角θ满足：cs θ＝cs〈n1，n2〉＝eq \f(n1·n2,|n1|·|n2|)；
注意：二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角或是向量n1与n2的夹角的补角，具体情况要判断确定．
(4)点到平面的距离：
如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，
则点B到平面α的距离为：|eq \(BO,\s\up6(→))|＝eq \f(|\(AB,\s\up6(→))·n|,|n|)，即向量eq \(BO,\s\up6(→))在法向量n的方向上的投影长.
2、几种常见角的取值范围
①异面直线成角∈(0，eq \f(π,2)] ；②二面角∈[0，π] ；③线面角∈[0，eq \f(π,2)] ；④向量夹角∈[0，π]
3、平行构造的常用方法
①三角形中位线法；②平行四边形线法；③比例线段法.
4、垂直构造的常用方法
①等腰三角形三线合一法；②勾股定理法；③投影法.
5、用向量证明空间中的平行关系
(1)线线平行：设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2.
(2)线面平行：设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u.
(3)面面平行：设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1 ∥u2.
6、用向量证明空间中的垂直关系
(1)线线垂直：设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.
(2)线面垂直：设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u.
(3)面面垂直：设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.
七、点面距常用方法
①作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离；②等体积法；③向量法