2026年高考数学一轮复重难点培优06概率结合数列问题(含马尔科夫链)(复习讲义)(全国通用)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复重难点培优06概率结合数列问题(含马尔科夫链)(复习讲义)(全国通用)(学生版+解析)，共4页。
\l "_Tc28373" 02 题型精研・技巧通法提能力 PAGEREF _Tc28373 \h 2
\l "_Tc16555" 题型一 传球模型（★★★★★） PAGEREF _Tc16555 \h 2
\l "_Tc7141" 题型二 摸球模型（★★★★★） PAGEREF _Tc7141 \h 6
\l "_Tc26803" 题型三 游走模型（★★★★★） PAGEREF _Tc26803 \h 12
\l "_Tc13512" 题型四 赌徒模型（★★★★） PAGEREF _Tc13512 \h 17
\l "_Tc3897" 题型五 其他概率结合数列问题（★★★★★） PAGEREF _Tc3897 \h 21
\l "_Tc25070" 03 实战检测・分层突破验成效 PAGEREF _Tc25070 \h 29
\l "_Tc621" 检测Ⅰ组 重难知识巩固 PAGEREF _Tc621 \h 29
\l "_Tc1659" 检测Ⅱ组 创新能力提升 PAGEREF _Tc1659 \h 40
一、马尔科夫链
①基本原理
1、转移概率：对于有限状态集合，定义：为从状态到状态的转移概率.
2、马尔可夫链：若，即未来状态只受当前状态的影响，与之前的无关.
无记忆性：下一个状态只与当前状态有关，与更前面的状态没有关系
高中阶段考察的马尔科夫链，其实很简单，找到初始状态和递推关系即可
3、完备事件组：如果样本空间中一组事件组符合下列两个条件：
（1）；
（2）.
则称是的一个完备事件组，也称是的一个分割.
4、全概率公式： 设是一个完备事件组，则有
5、一维随机游走模型，即：设数轴上一个点，它的位置只能位于整点处，在时刻时，位于点，下一个时刻，它将以概率或者（）向左或者向右平移一个单位. 若记状态表示：在时刻该点位于位置，那么由全概率公式可得：
另一方面，由于，代入上式可得：
.
进一步，我们假设在与处各有一个吸收壁，当点到达吸收壁时被吸收，不再游走.于是，.随机游走模型是一个典型的马尔科夫过程.
进一步，若点在某个位置后有三种情况：向左平移一个单位，其概率为，原地不动，其概率为，向右平移一个单位，其概率为，那么根据全概率公式可得：
②解题技巧
①找到当下状态下的“前一次事件”的所有可能性
②结合对应概率写出“前一次”状态下所有可能性的数列递推关系（一阶递推数列或二阶递推数列）
③利用数列递推关系求出数列的通项公式


题型一 传球模型
【技巧通法·提分快招】
1．（2025·广东茂名·二模）甲、乙、丙三人练习传球，每次传球时，持球者会等可能地传给另外两人中的任意一位，若第一次由甲开始传球，则经过四次传球后，球回到甲手中的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意可列出球在甲手中的概率递推关系式，构造出等比数列，求出第次球在甲手中的概率表达式，代入计算即可.
【详解】设事件“第次球在甲手中”，“第次球在乙手中”，“第次球在丙手中”，
那么由题意可知：，又，
所以，构造等比数列，
因为第一次由甲传球，可认为第次传球在甲，即，
所以是以为首项，公比为的等比数列，
故，
则.
故选：C.
2．（2024·黑龙江大庆·一模）（多选题）某学校足球社团进行传球训练，甲､乙､丙三名成员为一组，训练内容是从某人开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人.现假定每次传球都能被接到，开始传球的人为第一次触球者，记第次触球者是甲的概率为.已知甲为本次训练的第一次触球者，即，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】与能直接进行求解；项分析出要想第次触球者是甲，则第次触球的不能是甲，且第次触球的人，有的概率将球传给甲，从而求出递推公式；项在项的基础上求出通项公式，计算出，比较出，从而判断求解.
【详解】：甲传球给乙或丙，故，故正确；
：乙或丙传球给其他两个人，故，故错误；
、：由题意得：要想第次触球者是甲，则第次触球的不能是甲，
且第次触球的人，有的概率将球传给甲，
故，则，故C正确；
因为，设，
解得：，所以
因为，所以是以为首项，公比是的等比数列，
故，所以，
故，则，
故，故正确.
故选：．
【点睛】概率与数列结合的题目，要能分析出递推关系，通过递推关系求出通项公式，这是解题的关键.
3．（24-25高三上·广东·期末）甲，乙，丙，丁4人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任何一人，经过两次传球后，球在乙手中的概率为 ；经过次传球后，球在甲手中的概率为 （用含有的式子表示）.
【答案】
【分析】列举出经2次传球后的所有可能，再利用古典概率公式计算即可求解第一空，n次传球后球在甲手上的事件即为，则有，利用全概率公式，结合等比数列的性质可得第二空.
【详解】第一次甲将球传出后，2次传球后的所有结果为：
甲乙甲，甲乙丙，甲乙丁，甲丙甲，甲丙乙，甲丙丁，甲丁甲，甲丁乙，甲丁丙，共9个结果，它们等可能，
2次传球后球在乙手中的事件有：甲丙乙，甲丁乙，2个结果，所以概率是，
记n次传球后球在甲手中的事件为，对应的概率为，，
，
则
，
于是得，即，
而，则数列是首项为，公比为的等比数列，
因此，，即，
所以n次传球后球在甲手中的概率是，
故答案为：；.
【点睛】关键点睛：本题第二个空的关键点在于设n次传球后球在甲手上的事件为，则有，利用全概率公式可得，再构造等比数列求解即可.
4．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第次由甲将球传出，每次传球时，甲传给乙、丙的概率均为，乙传给甲、丙的概率分别为、；丙传给甲、乙的概率分别为、．则次传球后球在甲手中的概率 ．
【答案】
【分析】记事件次传球后球在甲手中，设，利用全概率公式可得出，分析可知，数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求出数列的通项公式.
【详解】记事件次传球后球在甲手中，设，
由题意可得，，
由全概率公式可得，
即，所以，，且，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，，故.
故答案为：.
5．甲､乙､丙､丁四个同学进行篮球传球练习，每个同学随机将接到的球传给其余三个同学中的任意一个人．若球开始在甲同学手上，且每个同学传接球都没有失误，则经过3次传球后球又回到甲同学手上的概率是 ，经过n次传球后球又回到甲同学手上的概率是 ．
【答案】
【分析】空一：根据题意利用积事件的概率公式进行求解即可；
空二：根据题意得到之间的关系进行求解即可.
【详解】空一：因为每个同学随机将接到的球传给其余三个同学中的任意一个人．
所以每个人接到球的概率为，
因为要经过3次传球后球又回到甲同学手上，
所以甲传给的第二个人的时候，第二个人不能传回给甲，
因此经过3次传球后球又回到甲同学手上的概率是；
空二：设经过n次传球后球又回到甲同学手上的概率是，
显然在次传递后球一定不在甲手上，
故有，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
即，
故答案为：；
【点睛】关键点睛：本题的关键在于根据题意得到递推公式.

题型二 摸球模型
1．（多选题）已知红色箱子内有6个红球､2个黄球，黄色箱子内有2个红球､6个黄球，所有球除颜色外完全相同，现从这两个箱子中随机摸球，具体摸球规则如下：第一次从黄色箱子中摸出一个球再放回去，第2次从“与第1次摸出的球颜色相同的箱子”内摸出一个球然后再放回去，…，第次从“与第次摸出的球颜色相同的箱子”内摸出一个球然后再放回去，若记第次摸出的球是黄球的概率为，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据概率公式得出，再证明为等比数列，即可得出答案.
【详解】由题意可知，
若记第次摸出的球是黄球的概率为，则第次摸出的球是红球的概率为
则第次摸到黄球的概率为
即，故为首项为，公比为的等比数列
即，故，
故选：ABD
2．（2025·内蒙古包头·二模）高三某班为缓解学生高考压力，班委会决定在周班会课上进行“听音乐，猜歌名”的趣味游戏比赛，现将全班学生分为9组，每组5人，剩余的学生做裁判．比赛规则如下：比赛共分为两轮，第一轮比赛中9个小组分三场进行比赛，每场比赛有3个小组参加，在规定的时间内猜对歌名最多的小组获胜，获胜的三个小组进入第二轮比赛；第二轮进行一场比赛，选出获胜队伍．已知甲、乙、丙3个小组的学生能成功猜对歌名的概率分别为．
(1)现从甲组中任选一名学生进行歌曲试猜，记5首歌曲中猜对的歌曲数为，求随机变量的数学期望；
(2)若从甲、乙、丙3个小组中任选一名学生参加猜歌游戏，求该学生猜对歌曲的概率；
(3)若第二轮比赛中丁、戊两组并列第一，则设置以下游戏决定最终获胜的小组，游戏规则如下：从丁、戊小组中任选一名代表，从装有3个白球和2个红球的不透明的盒子中有放回地随机摸出一个球，摸出白球记分，摸出红球记分，以0分开始计分，恰好获得分或分则结束摸球．若该代表获得分，则该代表所在小组获得胜利，否则另外一组获得胜利．若该代表来自戊组，试估计戊组获胜的概率．
【答案】(1)4
(2)
(3)
【分析】（1）分析可知，由二项分布的期望公式可得出的值；
（2）记事件、、分别表示该学生来自甲、乙、丙组，事件表示该同学能猜对，利用全概率公式可求得的值；
（3）记得分为的概率为，求得，推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求出数列的通项公式，利用累加法可求得的值，即为所求.
【详解】（1）由题意可知，，由二项分布的期望公式可得．
（2）记事件分别表示该学生来自甲，乙，丙组，事件B表示该同学能猜对，所以，，
由全概率公式可得．
所以，该学生能猜对的概率为．
（3）由题意可知，积分增加1分的概率为，增加2分的概率为，
记得分为的概率为，且，
，
所以，，且，
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，
则，
由累加法可得
．
因此，戊组获胜的概率为．
3．（23-24高三上·山东·月考）某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会．已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为．记该顾客第n次摸球抽中奖品的概率为．
(1)求的值，并探究数列的通项公式；
(2)求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程．
【答案】(1)，
(2)第二次，证明见解析
【分析】（1）根据全概率公式即可求解，利用抽奖规则，结合全概率公式即可由等比数列的定义求解，
（2）根据，即可对分奇偶性求解.
【详解】（1）记该顾客第次摸球抽中奖品为事件A，依题意，，
．
因为，，，
所以，
所以，
所以，
又因为，则，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
故．
（2）证明：当n为奇数时，，
当n为偶数时，，则随着n的增大而减小，
所以，．
综上，该顾客第二次摸球抽中奖品的概率最大．
4．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，因俄国数学家安德烈·马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第n+1次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第次的状态无关，即.已知甲、乙两个盒子中都装有大小、形状、质地相同的2个黑球和1个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，重复次这样的操作后，记甲盒子中黑球的个数为，甲盒中恰有2个黑球的概率为，甲盒中恰有3个黑球的概率为.
(1)求；
(2)证明：，都有；
(3)求的数学期望.
【答案】(1)；
(2)证明见解析
(3)2
【分析】（1）表示1次操作后甲盒有2个黑球的概率，表示甲和乙互换黑球后白球，表示1次操作后甲盒中恰有3个黑球，即甲拿白球和乙的黑球互换，根据独立事件和互斥事件概率公式，即可求解；
（2）由全概率公式得到和，再由数列构造法得到，结合首项，即可证明；
（3）由题意可知，再根据（2）的结果，求期望.
【详解】（1）由题意知：；
（2）证明：n次操作后，甲盒有一个黑球的概率为，由全概率公式知：
，都有
（3）由（2）知
5．（2025·辽宁·一模）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为.
(1)求和；
(2)求证：是等比数列；
(3)求的数学期望（用表示）.
【答案】(1)，；
(2)证明见解析；
(3).
【分析】（1）结合独立事件乘法公式出求，再利用全概率公式求.
（2）利用全概率公式求得、与、的关系，再利用构造法证明等比数列.
（3）求出的分布列及期望，再利用由（2）求出通项公式.
【详解】（1）依题意，，，
，
.
（2）设表示次取球后甲口袋有2个黑球，表示次取球后甲口袋有1个黑球，
表示一次操作甲乙都取的是白球，表示一次操作甲取的是白球同时乙取的是黑球，
表示一次操作甲取的是黑球同时乙取的是白球，表示一次操作甲，乙都取黑球，
当时，
则，
，
，
，
因此，即，，
所以是为首项为公比的等比数列.
（3）依题意，的分布列为
期望，由（2）得，
所以.

题型三 游走模型
1．在单位正方体中，一个质点从顶点A出发沿正方体的棱或面对角线移动到下一个顶点，即每次移动的路程为1或，叫做移动1次．
(1)若该质点移动2次，每次沿着质点所在的每条棱或面对角线移动的概率均相等，第1次移动的距离为x，第2次移动的距离为y，记随机变量，求X的分布列和数学期望；
(2)若该质点沿着棱移动2n次，每次沿着质点所在的每条棱移动的概率均相等，求该质点移动2n次回到顶点A的概率．
【答案】(1)分布列见解析；期望为
(2)
【分析】（1）先确定随机变量 的取值，计算其分布列和期望.
（2）找出 的递推关系，构造等比数列并求出 的表达式.
【详解】（1）因为质点每次移动的路程为1或，且每次移动的路程为1或的概率均为，所以中，x，y的可能取值均为1，，
所以的可能取值为2，，．
所以，，．
所以X的分布列为
所以．
（2）设该质点移动2n次回到顶点A的概率为，则由A移动2次回到A的概率，设该质点移动2n次到达顶点C的概率为，由对称性可知，该质点移动2n次到达顶点，的概率也是，因为2n为偶数，所以由该质点A出发移动2n次，不可能到达，B，D，，所以．
由C，，分别移动2次到达顶点A的概率均为．
则该质点从顶点A出发移动2n次回到顶点A的路径有2类：
第1类：由A移动次到A，再移动2次回到A，概率为；
第2类：由A移动次分别到C，，，再移动2次回到A，概率均为．
所以，考虑，
得，
即，
所以是以为首项、为公比且项数为n的等比数列，
则，
得．
2．（2025·辽宁·二模）已知正四棱锥的体积为，高为.
(1)现有一蚂蚁从点处等可能地沿各条棱向底面匀速移动，已知该蚂蚁每秒移动个单位，求秒后该蚂蚁与点的距离的分布列及期望.
(2)假设有若干只蚂蚁，据统计，其中的蚂蚁计划只可能从点出发，另外的蚂蚁计划既可能从点出发，又可能从点出发. 若蚂蚁只可能从点出发，则记分；若既既可能从点出发，又可能从点出发，则记分. 假设每只蚂蚁计划从哪个点出发相互独立，视频率为概率.
（i）从蚂蚁中随机抽取只蚂蚁，记这只蚂蚁的合计得分恰为分的概率为，求；
（ii）从若干蚂蚁中随机抽取一些蚂蚁，记这些蚂蚁的合计得分恰为分的概率为，随着抽取蚂蚁的无限增加，是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)（i）（ii）是，该常数为.
【分析】（1）先确定该四棱锥的各个参量，再利用分布列和期望的定义得到答案；
（2）（i）计算出，并证明；
（ii）根据题意，利用对立事件概率公式得到递推关系，进而利用数列知识凑项，转化为等比数列问题，进而求得通项公式，即可得到结论.
【详解】（1）该正四棱锥的底面面积，故底面边长，侧棱长.
若该蚂蚁沿着移动，则秒后该蚂蚁与点的距离；
若该蚂蚁沿着或移动，则秒后该蚂蚁与点的距离；
若该蚂蚁沿着移动，则秒后该蚂蚁与点的距离.
所以的分布列为
.
（2）（i）每只蚂蚁有的概率得分，有的概率得分.
从而只蚂蚁的总得分为当且仅当恰有一只蚂蚁得分.
故，所以.
设，则，作差即得
.
所以.
（ii）由于每只蚂蚁至少记分1分，所以抽取的这些蚂蚁的总得分恰为分，必然是至多抽取了只蚂蚁.
在得分为分的前提下，再抽取一只蚂蚁，只能得到分或分，这两者是对立事件，
抽取若干蚂蚁得分分，记为事件，得分分的事件记为，
，
由对立事件的概率关系可得：
，
，
，
所以，
当时，，
所以.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对概率相关性质的熟练运用.
3．（2025·湖北襄阳·二模）一只猫和一只老鼠在两个房间内游走，每经过1分钟，猫和老鼠都可以选择进行一次移动，猫从当前房间移动到另一房间的概率为0.6，留在该房间的概率为0.4，若是一只猫和老鼠都在一个房间，那么下一分钟老鼠必定移动到另一个房间，否则老鼠从当前房间移动到另一房间或留在当前房间的概率均为0.5，已知在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间.设在第n分钟时，猫和老鼠在0号房间的概率分别为，.
(1)求第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率；
(2)求证：为等比数列，并求表达式；
(3)在第几分钟时，老鼠在0号房间的概率最大？
【答案】(1)
(2)证明见解析，
(3)第2分钟
【分析】（1）求出猫和老鼠分别在0与0、0与1、1与0、1与1号房间的概率，再利用全概率公式计算得解.
（2）根据给定条件，求出的递推关系，再利用等比数列的定义推理得证.再根据等比数列定义即可求得结果.
（3）由（2）的通项公式，按取奇数和偶数分类求出最大值.
【详解】（1）在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间，设为第1分钟时，
猫在i号房间，老鼠在j号房间，则
，
设第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为X，则，
所以第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率0.5.
（2）依题意，
当时，猫在第n分钟时位于0号房间包含两种情况：
上一分钟在0号房间，继续保持在0号房间的概率为；
上一分钟在1号房间，转移到0号房间的概率为；
由全概率公式，得，则，
而，因此数列是首项为，公比为的等比数列，
满足上式，则，
老鼠第分钟在0号房间包含3种情况：
上一分钟猫和老鼠都在1号房间，老鼠转移到0号房间的概率为，
上一分钟猫在0号房间，老鼠在1号房间，老鼠转移到0号房间的概率为，
上一分钟猫在1号房间，老鼠在0号房间，老鼠仍在0号房间的概率为，
由全概率公式，得，
即，则，
即，而，
因此数列是首项为，公比为的等比数列，
，而也满足上式，
则，
又，
所以以为首项，为公比的等比数列.
（3）由（2）知，显然不是其最大值，
设，当n为奇数时，，
当且仅当时取等号，最大值为0；当n为偶数且时，，
当时，，最大值为，
则的最大值为,所以在第2分钟时，老鼠在0号房间的概率最大.

题型四 赌徒模型
1．马尔科夫链是机器学习和人工智能的基石，其数学定义为:假设序列状态是...，，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即.著名的赌徒模型就应用了马尔科夫链：假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率都为50%，每局赌赢可以赢得1金币，赌输就要输掉1金币.赌徒自以为理智地决定，遇到如下两种情况就会结束赌博游戏：一是输光了手中金币;二是手中金币达到预期的1000金币，出现这两种情况赌徒都会停止赌博.记赌徒的本金为70金币，求赌徒输光所有金币的概率 .
【答案】/
【分析】设当赌徒手中有元时，最终输光的概率为，分别计算和，由全概率公式可得，可证明为等差数列，从而求出通项公式，得出结果.
【详解】设当赌徒手中有元时，最终输光的概率为，
当时，赌徒已经输光了，所以，
当时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率为，
记：赌徒有元最后输光的事件，：赌徒有元下一次赢的事件，
所以，
即，所以，
所以为等差数列，设，
由于，所以，
所以，
故
故答案为：
2．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是……，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即．
现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．
假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：记赌徒的本金为一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博；另一种是赌徒输光本金后，赌徒可以向赌场借钱，最多借A元，再次输光后赌场不再借钱给赌徒．赌博过程如图的数轴所示．
当赌徒手中有n元时，最终欠债A元（可以记为该赌徒手中有元）概率为，请回答下列问题：
(1)请直接写出与的数值．
(2)证明是一个等差数列，并写出公差d．
(3)当时，分别计算时，的数值，论述当B持续增大时，的统计含义．
【答案】(1)，；
(2)证明见解析，；
(3)当时，，当时，；论述见解析．
【分析】（1）按照游戏约定，易得，；
（2）由全概率公式得出数列的递推公式，根据等差数列的定义易得为等差数列，运用累加法和，的值即可求得公差；
（3）根据（2）求得的概率通项式，代入和，整理即得，逐一代入值，即可求出的值，分析即得结论.
【详解】（1）当时，赌徒已经欠债元，因此．
当时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率；
（2）记赌徒有n元最后输光的事件，赌徒有n元上一场赢的事件，
，即，
所以，
所以是一个等差数列，
设，则，
累加得，故，得；
（3），由（2），
代入可得，即，
当时，，当时，，
当B增大时，也会增大，即输光欠债的可能性越大，因此可知久赌无赢家，
即便是一个这样看似公平的游戏，只要赌徒一直玩下去就会的概率输光并负债．
【点睛】关键点点睛：关键在于对的理解，掌握运用全概率公式正确表达，然后利用数列递推公式的处理方法证明等差和求出通项，即可解决实际问题.
3．随着互联网高速发展，传统的线下赌博也呈现出逐渐发展到线上的趋势，搭上互联网便车的新型赌博模式，其危害性和隐蔽性比起传统赌博模式有过之而无不及，其迷惑性更大，传播范围更广，线上赌博的特点往往是披着“公平游戏”的外衣，利用人性的贪婪最终赌徒输光了一切，如何认识“久赌无赢，赌徒输光”的现象？概率知识给你一双慧眼！有一种掷骰子走跳棋的线上“游戏”：棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…第站……，规定玩家本金为元时，棋子的初始位置在第站，且掷骰子每局赢的概率为，输的概率也；玩家赢一局，棋子向前跳一站，输了则向后跳一站.若棋子在第0站则游戏结束：若棋子不在第0站而玩家要终止游戏，则棋子在第站，玩家可得到元.现有某玩家想要赢得含本金的元（且）时停止游戏，设此玩家手头拥有（，且）元时，输光的概率为.
（1）求，；
（2）证明：为等差数列；
（3）求此玩家本金为100元时，想要赢得含本金的1000元的概率？并试用概率知识来解释“即使是公平的游戏，赌徒最终会输光本金”.
【答案】（1）；；（2）证明见解析；（3）答案见解析.
【解析】（1）由必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，直接求解即可；
（2）设有本金元，由于掷骰子每局赢的概率为，输的概率也，所以一局游戏结束后，可能会剩元和元，所以，进而得，从而可证得为等差数列；
（3）由（2）可得，可求得玩家本金为100元时，想参与该游戏获得1000元的概率为，而当，，由此可知即使是公平的游戏，赌徒最终会输光本金
【详解】解：（1）玩家手头有0元表示输光了，这是必然事件，所以，
玩家通过游戏获得元停止游戏，输光是不可能事件，所以
（2）玩家下一局手头获得元，可由上一局手头元得到，或者手头元得到
，
所以数列（）首项为，公差为的等差数列
(3)玩家手头拥有元时，输光的概率为
所以玩家本金为100元时，想参与该游戏获得1000元的输光的概率，
故玩家本金为100元时，想参与该游戏获得1000元的概率为
当赌徒无限贪婪时，即，，
所以即使是公平的游戏，赌徒最终会全部输光本金
【点睛】关键点点睛：此题考查概率的应用，考查分析问题的能力，解题的关键是由题意得，从而可得数列（）首项为，公差为的等差数列，进而有，属于中档题

题型五 其他概率结合数列问题
1．（2025·河北·模拟预测）新春佳节，上海京剧院、上海昆剧团联手带来“京昆群英会”，名角荟萃、好戏连台．天蟾逸夫舞台自大年初二起“灵蛇献瑞”，以一系列京昆佳作为戏迷观众奉上文化大餐．年初二率先登场的《新春京剧演唱会》汇集上海京剧院老中青三代演员；大年初六，上海昆剧团接棒“京昆群英会”，上海昆剧团优秀青年演员胡维露、罗晨雪将携手献演昆剧《墙头马上》．据统计，有的票友计划只观看《新春京剧演唱会》，余下的票友既观看《新春京剧演唱会》，也观看《墙头马上》．每位票友只观看《新春京剧演唱会》，则会员卡积1分；若既观看《新春京剧演唱会》，也观看《墙头马上》，则会员卡积2分．假设每位票友观看计划相互独立，视频率为概率，所有票友会员卡之前积分均为0．
(1)观看结束后，从票友中随机抽取3人，记3人会员卡的合计得分为X，求X的分布列和数学期望；
(2)观看结束后，从票友中随机抽取n个人（n为正整数），记这n个人会员卡的合计积分是分的概率为，求数列的前n项和．
【答案】(1)分布列见解析，期望为4；
(2).
【分析】（1）由题可得3人得分的情况为3，4，5，6，然后由题意可得分布列及数学期望；
（2）由题可得合计积分是分时，有人只看《新春京剧演唱会》，一人既观看《新春京剧演唱会》，也观看《墙头马上》，据此可得，然后由错位相减法可得答案.
【详解】（1）由题可得X的值可得为3，4，5，6，
则，，，.
则分布列如下：
则；
（2）由题可得合计积分是分时，有人只看《新春京剧演唱会》，一人既观看《新春京剧演唱会》，也观看《墙头马上》，
可得，，，
则.
则
，
两式相减可得：.
则.
2．（24-25高三上·海南海口·月考）为提高我国公民整体健康水平，年月，由国家卫生健康委疾控局指导、中国疾病预防控制中心和国家体育总局体育科学研究所牵头组织编制的《中国人群身体活动指南（）》（以下简称《指南》）正式发布，《指南》建议岁的成年人每周进行分钟中等强度或分钟高强度的有氧运动（以下简称为“达标成年人”），经过两年的宣传，某体育健康机构为制作一期《达标成年人》的纪录片，采取街头采访的方式进行拍摄，当采访到第二位“达标成年人”时，停止当天采访，记采访的岁的市民数为随机变量，且该市随机抽取的岁的市民是达标成年人的概率为，抽查结果相互独立.
(1)求某天采访刚好到第五位可停止当天采访的概率；
(2)若抽取的岁的市民数为离散型随机变量，求的分布列，并求不超过的概率.
【答案】(1)
(2)分布列答案见解析，概率为
【分析】（1）分析可知，采访的前四位中有一位是达标成年人，第五位必是达标成年人，利用独立重复试验的概率公式以及独立事件的概率公式可求得所求事件的概率；
（2）由题意，列出随机变量的分布列，则得，利用错位相减法求和可求出所求事件的概率.
【详解】（1）根据题意，某天采访刚好到第五位可停止当天采访，
即采访的前四位中有一位是达标成年人，第五位必是达标成年人，
所以某天采访刚好到第五位可停止当天采访的概率为.
（2）由题意可知，若采访的人数为，则意味着采访前个人中，有一个是达标成年人，
第个人为达标成年人，
所以，采访的人数为的概率为，
依题意，可得随机变量的分布列如下表所示：
所以，
，
记①，
则②，
由①②，可得，
即，解得，
所以，不超过的概率为.
3．（2024·广东汕头·三模）假设甲同学每次投篮命中的概率均为.
(1)若甲同学投篮4次，求恰好投中2次的概率.
(2)甲同学现有4次投篮机会，若连续投中2次，即停止投篮，否则投篮4次，求投篮次数的概率分布列及数学期望.
(3)提高投篮命中率，甲学决定参加投篮训练，训练计划如下：先投个球，若这个球都投进，则训练结束，否则额外再投个.试问为何值时，该同学投篮次数的期望值最大？
【答案】(1)
(2)分布列见解析，期望为
(3)当时，甲同学投篮次数的期望最大.
【分析】（1）根据伯努利实验模型即可得到答案；
（2）根据步骤列出分布列，再根据期望公式即可得到答案；
（3）设中同学投篮似次数为，再得到的可能取值，写出其分布列，计算出其期望，利用作差法研究其单调性即可得到最大值.
【详解】（1）依题意，甲同学投篮4次，恰好投中2次的概率.
（2）投篮次数的可能取值为2，3，4，
，
，
，
所以的分布列为：
所以.
（3）设甲同学投篮似次数为，则的可能值为，
于是，
数学期望，
令，则，，
因为显然为单调递减函数，
则数列是递减的，
当时，，
当时，，
即有，因此最大，
所以当时，甲同学投篮次数的期望最大.
4．在11分制乒乓球比赛中，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为p，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立．已知在某局双方平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束，且．
(1)求p的值；
(2)求再打2个球甲新增的得分Y的分布列和均值；
(3)记事件“，且甲获胜”的概率为，求．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，均值为
(3)
【分析】（1）根据独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式即可得到关于的方程，解出即可；
（2）首先分析得的可能取值为0，1，2，再按步骤写出其分布列，最后计算均值即可；
（3）对和分析研究，再求出甲先发球，甲、乙各得1分的概率为，最后得到，再利用等比数列的通项公式即可得到答案.
【详解】（1）由题意可知，对应的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”，
所以，解之得.
（2）的可能取值为0，1，2，
的分布列为：，
，
，
所以.
（3）且甲获胜，就是平后，两人又打了个球该局比赛结束，
且这个球的得分情况为：前个球是每两球甲、乙各得1分，
最后第个球均为甲得分；
且甲获胜，就是平后，两人又打了个球该局比赛结束，
且这个球的得分情况为：前个球是每两球甲、乙各得1分，
最后第个球均为甲得分.
按照甲先发球，甲、乙各得1分的概率为，
所以，且，
所以是以为首项，以为公比的等比数列，
所以.
【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是通过对的分析得，最后利用等比数列通项公式即可得到答案.
5．（24-25高三下·云南·期中）某中学在运动会期间，为活跃气氛，举行了一场趣味运动会，准备了两种有奖游戏， 每位参与者只能参加其中一项游戏， 规则如下:
游戏一 （投篮挑战）: 参与者进行投篮， 若某次投篮为首次命中， 则游戏立即结束并获奖; 若未命中，则继续投篮，最多可投篮 次 ，若 次内始终未命中，则游戏结束， 无法获奖;
游戏二 （沙包入筐）: 参与者投掷沙包入筐， 若在投掷过程中累计命中次数达到 2 次， 则游戏立即结束并获奖; 若投掷 次 后仍未累计命中 2 次，则游戏结束， 无法获奖.
已知甲在游戏一中每次投篮的命中率为 ，且每次投篮是否命中相互独立; 甲在游戏二中每次投掷沙包的命中率为 ，且每次投掷沙包是否命中相互独立.
(1)若甲参加游戏一，当 时，求甲的投篮次数 的分布列及数学期望；
(2)当 时，记事件 为 “甲在参加游戏一时获奖”，事件 为 “甲在参加游戏二时获奖”.
（i） 求 ;
（ii） 若 ，求 的最小值.
【答案】(1)分布列见解析，数学期望为
(2)（ⅰ）；（ⅱ）6
【分析】(1) 甲参加游戏一，当时，的可能取值为，，，,求出分布列与数学期望；（2）（i）甲参加游戏一，甲参加游戏一，当时，求出，用表示甲参加游戏二获得奖品抛掷的次数，若甲抛掷（且）次沙包且获得奖品，则前次中只有1次抛掷命中，且第次抛掷命中．．利用错位相减求解；(ii)由题意知,求解单调性，求出的最小值.
【详解】（1）甲参加游戏一，当时，的可能取值为，，，．
，
，
，
；
所以的分布列为
所以的数学期望为．
（2）（ⅰ）甲参加游戏一，
当时，则；
用表示甲参加游戏二获得奖品抛掷的次数，若甲抛掷（且）次沙包且获得奖品，则前次中只有1次抛掷命中，且第次抛掷命中．
由题意，可知，．
所以，
令，
则，
两式相减得
，
故，
所以，
故．
（ⅱ）由题意知，
则．
令（且），则；
则，
所以（且）为单调递减数列．
又，，
所以当且时，恒成立，
故的最小值为．

检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两人中的任何一人.设第次传球后球在甲、乙、丙手中的概率依次为，，，，则第3次传球后球在甲手里的概率 ，第次传球后球在丙手里的概率 .
【答案】 /
【分析】根据已知，应用全概率公式并整理得、，结合、，并应用等比数列的定义写出通项公式，进而求项，即可得.
【详解】由题设，当球在甲手中，则传给甲的概率为0，当球不在甲手中，则传给甲的概率为，
且，，即，
又，即数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，则，故，
当球在丙手中，则传给丙的概率为0，当球不在丙手中，则传给丙的概率为，
且，，即，
又，即数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，易得，则.
故答案为：，
2．（2024·贵州遵义·二模）商场对某种商品进行促销，顾客只要在商场中购买该商品，就可以在商场中参加抽奖活动．规则如下：先赋予参加抽奖的顾客5分的原始分，然后从装有4个红球，2个白球，2个黑球的盒中有放回地随机取球若干次，每次取出一个球，若为红球，则加1分，否则扣1分，过程中若顾客持有分数变为0分，抽奖结束；若顾客持有分数达到15分，则获得一等奖，抽奖结束．
(1)求顾客3次取球后持有分数的数学期望；
(2)设顾客在抽奖过程中持有分数为分最终获得一等奖的概率为；
①证明：是等差数列；
②求顾客获得一等奖的概率．
【答案】(1)5
(2)证明见解析；
【分析】（1）先求出一次取出红球的概率，设顾客3次取球取得红球的次数为随机变量为，可得其服从二项分布，再设3次取球后累计分数为随机变量，得出其与的关系，从而得出答案.
（2）①由可证明；②由①中的结论先求出，然后得出，由题意求出即可.
【详解】（1）记事件：“一次取出红球”，则，
设顾客3次取球取得红球的次数为随机变量为， 3次取球后累计分数为随机变量.
则，
则，故，
所以；
（2）①由题意当时，，即
所以是等差数列；
②由题意，由上可知：，
所以，
又由题意，所以.
由先赋予参加抽奖的顾客5分的原始分，即，
所以先赋予参加抽奖的顾客5分的原始分，顾客获得一等奖的概率.
3．2022年12月18日，第二十二届男足世界杯决赛在梅西率领的阿根廷队与姆巴佩率领的法国队之间展开，法国队在上半场落后两球的情况下，下半场连进两球，2比2战平进入加时赛，加时赛两队各进一球（比分3∶3）再次战平，在随后的点球大战中，阿根廷队发挥出色，最终赢得了比赛的胜利，时隔36年再次成功夺得世界杯冠军，梅西如愿以偿，成功捧起大力神杯．
(1)法国队与阿根廷队实力相当，在比赛前很难预测谁胜谁负．赛前有3人对比赛最终结果进行了预测，假设每人预测正确的概率均为，求预测正确的人数X的分布列和期望；
(2)足球的传接配合非常重要，传接球训练也是平常训练的重要项目，梅西和其他4名队友在某次传接球的训练中，假设球从梅西脚下开始，等可能地随机传向另外4人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外4人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住，记第n次传球之前球在梅西脚下的概率为，求．
【答案】(1)分布列见解析，期望为
(2)
【分析】（1）由题意，据此可得出分布列及期望；
（2）分析第次传球之前球所处位置的概率，根据互斥事件得出第n次传球前球在梅西脚下概率的递推关系，构造等比数列求解.
【详解】（1）因为，，X可能的取值为0，1，2，3，
，，
故X的分布列为：
故．
（2）第n次传球之前球在梅西脚下的概率为，易得，，
则当时，第次传球之前球在梅西脚下的概率为，第次传球之前球不在梅西脚下的概率为，
故，即，
又因为，
所以是以为首项，公比为的等比数列，
所以，．
4．（23-24高三上·贵州贵阳·期中）有个编号分别为的盒子，第1个盒子中有2个红球和1个白球，其余盒子中均为1个红球和1个白球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，现从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，，依次进行．
(1)求从第2个盒子中取到红球的概率；
(2)求从第个盒子中取到红球的概率；
(3)设第个盒子中红球的个数为，的期望值为，求证：．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）由题意，记“从第个盒子中取到红球”为事件，利用全概率公式进行求解即可；
（2）结合（1）中所得信息以及等比数列的定义可得数列是以首项，为公比的等比数列，代入通项公式中即可求解；
（3）先得到的所有可能取值，结合（2）中信息得到相对应的概率，列出分布列，代入期望公式中再进行求解即可．
【详解】（1）记“从第个盒子中取到红球”为事件，
此时，，
则；
（2）因为
，
所以，
则数列是以为首项，为公比的等比数列，
此时，
即，
当时，，符合题意，
综上，从第个盒子中取到红球的概率为；
（3）证明：易知的所有可能取值为1，2，
此时，，
则的分布列为：
所以，
由于，
故．
5．已知甲､乙两个不透明的盒子里共有7个质地､大小均相同的小球，甲盒中有2个红球､1个白球；乙盒中有2个红球､2个白球.现从两个盒子里同时各随机抽取1个球进行交换，经过次这样的交换后，甲盒中白球的个数为，且每次交换互不影响，记.
(1)求的分布列及的值；
(2)求的通项公式.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
【分析】（1）由题意可知，，再根据交换过程，求解概率，以及分布列和数学期望；
（2）分别设出次交换和次交换后的分布列，并求解对应概率间的关系，代入期望公式，得到，再根据地推关系，构造等比数列求通项公式.
【详解】（1）第1次交换后，，
，
.
故的分布列为
故.
（2）设第次交换后，的分布列为
故.
设第次交换后，的分布列为
其中，
，
，
故，
故，
故是以为首项，为公比的等比数列，
故，
得.
6．某商场为促销设计了一项回馈客户的抽奖活动，抽奖规则是：有放回地从装有大小相同的4个红球和2个黑球的袋中任意抽取一个，若第一次抽到红球则奖励40元的奖券，抽到黑球则奖励20元的奖券；第二次开始，每一次抽到红球则奖券数额是上一次奖券数额的2倍，抽到黑球则奖励20元的奖券．记顾客甲第n次抽奖所得的奖券数额的数学期望为．
(1)求及的分布列；
(2)写出与的递推关系式，并证明为等比数列；
(3)若顾客甲一共有6次抽奖机会，求该顾客所得的所有奖券数额的期望值．（参考数据：）
【答案】(1)，分布列见解析
(2)，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据题意，直接求出和的可能取值，计算出概率，由期望公式求出；列出的分布列即可；
（2）根据条件，得到，化简可得，再由等比数列的定义证明即可；
（3）代入（2）结论求出即可.
【详解】（1）依题意知，抽到一个红球的概率为，抽到一个黑球的概率为，
显然的值为20，40，则，，所以，
又的值为20，40，80，则，，，
所以的分布列为
（2）依题意，当时，甲第次抽到红球所得的奖券数额为，对应概率为，
抽到黑球所得的奖券数额为20元，对应概率为，
因此当时，，
则，即，
又，
故数列是首项为、公比为的等比数列．
（3）由（2）得，即，
所以顾客甲抽奖6次，所得奖券数额的期望为．
7．已知一个质点沿正四面体的棱做匀速运动，每秒钟都等可能地从正四面体的一个顶点运动到另一个顶点，且顶点是该质点的初始位置．
(1)若该质点第1秒运动到顶点，则第4秒运动到顶点的不同运动路线有多少条？
(2)设该质点在3秒内经过顶点的次数为，求的分布列与数学期望；
(3)设该质点第秒恰好在顶点处的概率为，求数列的通项公式．
【答案】(1)7条
(2)分布列见解析，
(3)
【分析】（1）根据题意，作出如下树状图，结合树状图，即可求解；
（2）根据题意，得到质点从一个顶点运动到其他三个顶点的概率均为，且的所有可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解；
（2）根据题意，得到，得到数列为等比数列，结合等比数列的通项公式，即可求解.
【详解】（1）解：根据题意，可作出如下树状图：
由图可知，第4秒运动到顶点的不同运动路线有7条．
（2）解：由题意知该质点从一个顶点运动到其他三个顶点的概率均为，
且随机变量的所有可能取值为，
可得，，
．
所以的分布列为
所以，期望为．
（3）解：因为该质点在第秒恰好在顶点处的概率为，
所以第秒该质点不在顶点处的概率为，
所以，所以，
又由，则，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，所以．
8．（24-25高三上·广西柳州·月考）箱中装有大小相同的黄､白两种颜色的乒乓球，黄､白乒乓球的数量比为.现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过次，以表示取球结束时已取到白球的次数.
(1)求的分布列；
(2)求的数学期望.
【答案】(1)分布列见解析
(2)
【分析】（1）由条件确定的可能取值，再求其取各值的概率，由此可得分布列；
（2）根据期望的定义，结合错位相减法求的数学期望.
【详解】（1）依题意取球一次取到黄球的概率，取到白球的概率，
则的可能取值为：，所以，，
所以的分布列为
（2）的数学期望为①，
所以②，
得，.
所以
.
9．（2024·广西贵港·模拟预测）某射击运动员进行射击训练，已知其每次命中目标的概率均为．
(1)若该运动员共射击6次，求其在恰好命中3次的条件下，第3次没有命中的概率；
(2)该运动员射击训练不超过n（）次，当他命中两次时停止射击（射击n次后，若命中的次数不足两次也不再继续），设随机变量X为该运动员的射击次数，试写出随机变量X的分布列，并证明．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，证明见解析
【分析】（1）利用条件概率公式计算即可；
（2）先根据离散型随机变量的分布列及期望公式得，法一、利用，再将列项为，利用放缩法证明即可；法二、利用错位相减法计算可得即可证明.
【详解】（1）设第i次射击时命中目标为事件，该运动员射击6次恰好命中3次为事件B．
，
，
．
（2）随机变量X的所有可能取值为2，3，4，5，…，n．
若射击次停止，则第k次命中，前次射击中有一次命中，
故，，，
若射击n次停止，有两种结果：前次有一次命中或一次都没命中，
故．
随机变量X的分布列为
．
法一、易知，
，
易知时，，即，
∴，
．
法二、令，①
则，②
，得，
令，
则，
得
，
，．
．

检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（2025·湖北武汉·模拟预测）有甲乙两个口袋，甲口袋中有编号为1，2，3的3个白球，乙口袋中有编号为1，2，3的3个黑球，已知每个球除颜色和编号不同外，其余全部相同．现从甲乙两口袋中各随机任取一个球交换放入另一个口袋，重复进行次这样的操作．
(1)求2次换球后，甲口袋中恰有3个白球的概率；
(2)求次换球后，甲口袋中3个球颜色恰好相同的概率（结果用含的式子表示）；
(3)求次换球后，甲口袋中3个球编号恰好为1，2，3的概率（结果用含的式子表示）．当为多少时，概率取得最大值？最大值是多少？
【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）利用独立事件同时发生的乘法公式即可求解；
（2）利用数列的递推思想，结合全概率公式，先得到递推，再构造等比数列求出通项公式；
（3）利用数列的递推思想，结合全概率公式，先得到递推，再构造等比数列求出通项公式，然后利用分类讨论思想求出最大值.
【详解】（1）经过一次交换后，甲口袋中有2白1黑，乙口袋中有2黑1白，
记“2次换球后，甲口袋中恰有3个白球”为事件，则；
（2）记“次换球后，甲口袋中有3个球颜色相同的”概率为，
则
当第次换球后，只有两种可能，一种是同颜色，另一种是有一个不同颜色，
而同颜色的交换后不可能再同颜色，而有一个不同颜色的通过交换可以变为同颜色，
此时发生的概率为，再根据全概率公式可得：
，所以，
则是等比数列，即；
（3）又记“次换球后，甲口袋中有3个球编号分别为1，2，3”概率为，
则，
当第次换球后，只有两种可能，一种是有三个编号为1，2，3，另一种是没有三个编号为1，2，3，
而三个编号为1，2，3的交换后也有可能编号仍为1，2，3，此时发生的概率为，
另一种可能是AAB型，另一边一定是BCC型，这样通过交换A和C就可以变换为有三个编号为1，2，3，此时发生的概率为，再根据全概率公式可得：
，
所以有，
即是等比数列，即，
当为奇数时，，
当为偶数时，，
所以当时，取到最大值.
2．已知某篮球队有五名队员，其中甲是主要得分手，乙是组织后卫.如果球在乙手中，则他传球给甲的概率为，传球给其他队员的概率均为；如果球不在乙手中，则这名队员传球给任何队友的概率都是.开始进攻时，球在乙手中.
(1)求经过2次传球并由甲执行投篮的条件下，球有经过丙之手的概率；
(2)经过次传球后，球回到乙手中的概率；
(3)记经过次传球后，球到甲的手中的概率为，求证：满足的的个数不少于满足的的个数.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）运用条件概率计算即可；
（2）运用条件概率变形得到即，再构造等比数列即可；
（3）解法一：先根据事件概率关系得出的表达式，通过两边同乘构造新数列，利用叠加法求出，进而得到，再根据的奇偶性判断与的大小关系.
解法二：采用反证法，假设结论不成立，即存在至少两个连续自然数、使且，分为偶数和奇数两种情况推出矛盾，从而证明原结论成立.
【详解】（1）记事件“经过2次传球并由甲执行投篮”，“球有经过丙之手”，则
.
（2）记事件“传球后球回到乙手中”，，则，
，
即，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
，即.
（3）事件“传球后球到甲手中”，事件“传球后球不在甲和乙手中”
则，
，
，两边同时乘以，
，
设，则有，而，
叠加得，
，
显然，当为奇数时，，当为偶数时，，
因此的的个数不少于满足的的个数.
解法二：，
假设结论不成立，则至少有两个连续的自然数，，使得且.
若为偶数，且则有：
，
若为奇数，且，则有
，
，.如此连续，
故不存在连续的两个自然数，，使得且.
3．已知一个盒中装有3个大小，形状完全相同的小球（1个红球和2个黑球），从盒中每次随机不放回地取出1个小球，若取出的是红球，则将1个黑球放入盒中；若取出的是黑球，则将1个红球放入盒中，以上取1个球再放1个球的过程称为1次操作．假设每次取球相互独立．
(1)经过2次操作后，记盒中红球的个数为X，求X的分布列；
(2)求第3次操作取到红球的概率；
(3)设经过次操作后，盒中全是黑球的概率为，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题目条件得出盒中红球的个数的可能值，分别求出概率，即可得出分布列；
（2）方法一：设出第次取到红球的事件，即可求出第3次操作取到红球的概率；方法二：根据（1）中第二次的情况，即可求出第3次操作取到红球的概率；
（3）求出当为奇数和偶数时盒中球的情况，得出递推公式，证明是等比数列，即可求出通项公式，进而得出的前n项和.
【详解】（1）由题意，
的所有可能取值为1,3，
,
故的分布列为
（2）由题意，
（方法一）设事件表示第次取到红球，
则

（方法二）由（1）知第3次操作取到红球的概率为．
（3）由题意及（1）（2）得，
设次操作后，盒中全是黑球、1个红球和2个黑球、2个红球和1个黑球、全是红球的概率分别为．
由操作规则可知，
当为奇数时，盒中全是黑球或2个红球、1个黑球，
当为偶数时，盒中全是红球或1个红球、2个黑球，
即，其中．
因为，
所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
则．
故．
即
4．某企业为提高竞争力，成功研发了三种新品，其中能通过行业标准检测的概率分别为，且是否通过行业标准检测相互独立．
(1)设新品通过行业标准检测的品种数为，求的分布列；
(2)已知新品中的一件产品经检测认定为优质产品的概率为0.025，现从足量的新品中任意抽取一件进行检测，若取到的不是优质产品，则继续抽取下一件，直至取到优质产品为止，但抽取的总次数不超过．如果抽取次数的期望值不超过5，求的最大值．
参考数据：
【答案】(1)分布列见解析
(2)5
【分析】（1）由题意的所有可能取值为：0，1，2，3,由独立事件乘法公式以及互斥事件加法公式即可分别求出相应的概率，进而求解.
（2）不妨设抽取第次时取到优质产品，此时对应的概率为，而第次抽到优质产品的概率为，
所以抽取次数的期望值为，
对其求和并结合以及参考数据即可求解.
【详解】（1）由题意的所有可能取值为：0，1，2，3.
,
,
,
;
所以的分布列如下表：
（2）不妨设抽取第次时取到优质产品，此时对应的概率为，而第次抽到优质产品的概率为，因此由题意抽取次数的期望值为 ，
，
两式相减得，
所以，
又由题意可得，
所以，即，
注意到当时，有，
且当时，有；
综上所述：的最大值为5.
5．（2025·宁夏银川·一模）数学中的概率概念最早起源于对赌博问题的研究.一个数学兴趣小组随机调查了名成年人，对关于赌博是否感兴趣的话题进行了统计，其中被选取的男女人数之比为.
(1)请补充完整列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为对赌博感兴趣的情况与性别有关.
(2)假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为，且每局赌赢可以赢得元，每一局赌徒赌输的概率为，且赌输就要输掉元.赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为元，即赌徒输光：一种是赌金达到预期的元，赌徒停止赌博.记赌徒的本金为，当赌徒手中有元时，最终输光的概率为，请回答下列问题：
①请直接写出与的数值.
②证明是一个等差数列，当时，分别计算时，的数值，并结合实际，解释当时，的统计含义.
附：.
【答案】(1)联列表见解析，不能
(2)①，；②证明见解析，时，，时，，统计含义见解析
【分析】（1）根据条件得男生人，女生人，再根据列联表中的数据，即可得到列联表，再利用的计算公式，即可求解；
（2）由全概率公式可得，整理为，即可证明结论；进而可得，即可求得，时，的数值，结合概率的变化趋势，即可得统计含义.
【详解】（1）因为被选取的男女人数之比为，所以男生人，女生人，
所以列联表如图，
又，
所以依据小概率值的独立性检验，不能认为对赌博感兴趣的情况与性别有关.
（2）①当时，赌徒已经输光了，因此，
当时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率.
②记：赌徒有元最后输光的事件，：赌徒有元，且下一场赢的事件，
,
即，
所以，
所以是一个等差数列，
设，则，
累加得，故，得，
当，由得，即，
当时，，
当时，，
当时，，因此可知久赌无赢家，
即便是一个这样看似公平的游戏，只要赌徒一直玩下去就会的概率输光．
【点睛】关键点点睛，本题的关键在于第（2）问，审清楚题意，利用全概率公式得到，即可求解.
6．（2025·河南郑州·模拟预测）一只猫和一只老鼠在两个房间内游走.每经过1分钟，猫和老鼠都可以选择进行一次移动.猫从当前房间移动到另一房间的概率为0.6，留在该房间的概率为0.4；若上一分钟猫和老鼠都在一个房间，那么下一分钟老鼠必定移动到另一个房间，否则老鼠从当前房间移动到另一房间或留在当前房间的概率均为0.5.已知在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间.设在第分钟时，猫和老鼠在0号房间的概率分别为，.
(1)求第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率；
(2)求证：，均为等比数列并求它们的通项公式.
【答案】(1)0.5;
(2)证明见解析，，.
【分析】（1）求出猫和老鼠分别在0与0、0与1、1与0、1与1号房间的概率，再利用全概率公式计算得解；
（2）根据给定条件，求出、的递推关系，再利用等比数列的定义推理得证.
【详解】（1）在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间，
设为第1分钟时，猫在号房间，老鼠在号房间，
则
设第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为，则，
所以第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率0.5.
（2）由题意，，
当时，猫在第分钟时位于0号房间包含两种情况：
上一分钟在0号房间，继续保持在0号房间的概率为；
上一分钟在1号房间，转移到0号房间的概率为，
所以，则，
又因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
满足上式也满足题意，则.
老鼠第分钟在0号房间包含3种情况：
上一分钟猫和老鼠都在1号房间，老鼠转移到0号房间的概率为；
上一分钟猫在0号房间，老鼠在1号房间，老鼠转移到0号房间的概率为；
上一分钟猫在1号房间，老鼠在0号房间，老鼠仍在0号房间的概率为.
所以，
整理可得，
因为，所以，
即，
又因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
则，满足上式也满足题意，则，
又，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，其通项公式为.
7．（23-24高三下·重庆·月考）一个质点在一条直线上“随机游走”，向左走一步和向右走一步的概率均为，试探讨下列问题：
(1)若质点进行了4次“随机游走”，在其中恰有2次向右游走的情况下，求第二次向左游走的概率；
(2)记为次游走中恰有2次向右游走的概率，令.记为不超过次游走的情况下，向右游走2次后停止游走（若向右游走一直不足2次，在游走到次时也停止游走），此时一共游走的次数，的数学期望为.请比较与的大小，并说明理由.
【答案】(1)
(2)，理由见解析
【分析】（1）设出事件，求出相应概率，利用条件概率公式求出答案；
（2）先计算出，进一步得求和式，另一方面若时停止游走，最后一次必然向右游走，可以得出，从而，结合错位相减法、等比数列求和公式得的表达式，进一步结合期望公式得，将与作差即可比较大小.
【详解】（1）设事件表示共有次向右游走，事件表示第二次向左游走，
则表示一共向右游走2次，且第二次向左游走，则从剩余的三次选择两次向右游走，
故，
表示一共向右游走2次，故，
则.
（2）根据题意可知，
.
若，最后一次必然向右游走，
故，，
记①.②.
两式相减得，
，.
所以；
，
故.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是得到，再利用错位相减法得到，再计算出，最后代入作差计算即可.
8．（2024·湖北·模拟预测）如图：一张的棋盘，横行编号：竖排编号.一颗棋子目前位于棋盘的处，它的移动规则是：每次移动到与自身所在格不相邻的异色格中.例如该棋子第一次移动可以从移动到或.棋子每次移动到不同目的地间的概率均为.

(1)①列举两次移动后，该棋子所有可能的位置.
②假设棋子两次移动后，最终停留到第1，2，3行时，分别能获得分，设得分为，求的分布列和数学期望.
(2)现在于棋盘左下角处加入一颗棋子，他们运动规则相同，并且每次移动同时行动.移动次后，两棋子位于同一格的概率为，求的通项公式.
【答案】(1)①，，；②分布列见解析；.
(2)
【分析】（1）列出所有两次移动的路径，求出其概率，根据得分规则，可得的分布列，并求期望.
（2）先探讨棋子的运动轨迹，记两棋子之间的距离为，明确的值，求出对应的概率，设“回合后，的概率”，“回合后，的概率”，“回合后，的概率”，列出，，之间的关系，可求.
【详解】（1）①两次移动的所有路径可能如下：
；；；.
所以两次移动后，该棋子所有可能的位置有：，，.
②棋子两次移动后，最终停留在时，得1分，对应概率为：；
棋子两次移动后，最终停留在时，得1分，对应概率为：；
棋子两次移动后，最终停留在时，得3分，对应概率为：.
所以，.
所以最终得分的分布列为：
所以.
（2）将棋盘按如图所示编号：

将棋子可以去的区域用箭头连接起来，若从3可以连接到4或8，记做；从8可以连接3或1，记做；然后将它们串联起来：.依次类推，可以串联处环状回路：，如下图所示：

则棋子等价于在这个环状回路中运动.
问题（2）可以转化为将两个棋子放在环状回路中的3号、7号位置，每回合3号、7号棋子有四种运动模式：（顺，顺），（顺，逆），（逆，顺），（逆，逆），发生概率均为.
为了转化问题，现规定：“两棋子之间的最短节点数”，例如：

特别规定两棋子重合时，.并统计四种运动模式下会如何变化.
假设3号棋子顺时针走过个节点可以与7号棋子重合；或逆时针走过个节点也可以与之重合.
为了简化问题，不妨假设，于是有下表：
设“回合后，的概率”，
“回合后，的概率”，
“回合后，的概率”，
则有：，
所以，
显然：，，所以，
所以.
【点睛】方法点睛：在第（2）问中，先探讨棋子的运动轨迹，记两棋子之间的距离为，明确的值，求出对应的概率，设“回合后，的概率”，“回合后，的概率”，“回合后，的概率”，列出，，之间的关系，可求.
解决这类题的步骤如下：
（1）理清初始事件的概率p1（或p0）；
（2）利用事件关系寻求第n步的概率pn与第n+1步的概率pn+1之间的关系，即递推关系pn+1=fpn;
（3）利用数列的相关知识，由已知p1与pn+1=fpn求出通项公式pn.
0
1
2
X
2
P
3
4
5
6
X
2
3
4
n
P
2
3
4
0
1
2
X
0
1
2
3
P
1
2
0
1
2
0
1
2
3
0
1
2
3
20
40
80
P
0
1
2
0
1
2
1
3
1
3
0
1
2
3
感兴趣
不感兴趣
合计
成年男性
成年女性
合计
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
感兴趣
不感兴趣
合计
成年男性
成年女性
合计
1
3
（顺，顺）
（顺，逆）
（逆，顺）
（逆，逆）