2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用培优点12利用导数解决双变量问题(7大)(讲义+精练)(学生版+解析)

这是一份2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用培优点12利用导数解决双变量问题(7大)(讲义+精练)(学生版+解析)，共7页。试卷主要包含了变更主元法，构造差函数法，利用极值点关系等内容，欢迎下载使用。
\l "_Tc201739682" 01 重点解读 PAGEREF _Tc201739682 \h 2
\l "_Tc201739683" 02 思维升华 PAGEREF _Tc201739683 \h 3
\l "_Tc201739684" 03 典型例题 PAGEREF _Tc201739684 \h 4
\l "_Tc201739685" 题型一：构造单调性 PAGEREF _Tc201739685 \h 4
\l "_Tc201739686" 题型二：任意存在型 PAGEREF _Tc201739686 \h 8
\l "_Tc201739687" 题型三：比较双变量 PAGEREF _Tc201739687 \h 13
\l "_Tc201739688" 题型四：变量换元类 PAGEREF _Tc201739688 \h 20
\l "_Tc201739689" 题型五：韦达定理类 PAGEREF _Tc201739689 \h 26
\l "_Tc201739690" 题型六：引参换元类（比值代换与差值代换） PAGEREF _Tc201739690 \h 31
\l "_Tc201739691" 题型七：双变量放缩类 PAGEREF _Tc201739691 \h 39
\l "_Tc201739692" 04 课时精练 PAGEREF _Tc201739692 \h 45
在高考数学中，利用导数解决双变量问题是重点与难点。这类问题通常涉及两个变量，需通过导数将其转化为单变量问题求解。解题关键在于找到变量间的关系，如极值点满足的方程，通过消元或整体代换简化问题。常用方法包括：变更主元，指定主变量，将双变量转化为值域或最值问题；利用函数单调性，构造新函数求解；通过韦达定理、对数平均不等式等工具处理极值点偏移问题。解题时需灵活运用导数性质，结合函数图像分析，合理构造函数，利用单调性、极值等性质证明不等式或求解参数范围。掌握这些方法，能有效提升解决双变量问题的能力。
在数学问题中，双变量问题常借助导数求解，以下是常见方法：
1、变更主元法：当问题中两个变量地位不均等，可确定一个为主元，另一个视为参数，将双变量问题转化为关于主元的单变量函数问题。例如已知含双变量的不等式恒成立，把其中一个变量看作主元，构造函数，利用导数求其最值，进而求解另一个变量的范围。
2、构造差函数法：对于双变量不等式，可通过移项构造差函数，将问题转化为证明差函数的单调性或最值问题。对差函数求导，分析其单调性，从而证明不等式。
3、利用极值点关系：若双变量与函数极值点相关，先求出函数极值点满足的方程，再利用方程关系对双变量进行消元或转化，最后结合导数求解。
题型一：构造单调性
【典例1-1】（2025·山东聊城·一模）已知函数，曲线在处的切线交轴于点．
（1）求的值；
（2）若对于内的任意两个数，，当时，恒成立，求实数的取值范围．
【典例1-2】（2025·全国·模拟预测）已知函数（其中为自然对数的底数）.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【变式1-1】已知函数，其中
（1）当时，若在区间，上的最小值为，求的取值范围；
（2）若对于任意，恒成立，求的取值范围．
【变式1-2】已知函数，对于任意，，不等式恒成立，则整数的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式1-3】（2025·河南洛阳·三模）已知函数，其中.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，证明：不等式恒成立（其中，）.
题型二：任意存在型
【典例2-1】（2025·辽宁大连·模拟预测）已知，，其中是自然对数的底数．
(1)讨论的单调性；
(2)设，．存在，，使得成立，试求实数的取值范围．
【典例2-2】已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)设（为自然对数的底数），当时，对任意，存在，使，求实数的取值范围.
【变式2-1】已知函数，，．
(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；
(2)若方程在上恰有两个不同的实数根，求的取值范围；
(3)若对任意，总存在唯一的，使得，求的取值范围．
【变式2-2】已知函数，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围
题型三：比较双变量
【典例3-1】已知函数
(1)求的单调区间；
(2)若对恒成立，求实数的取值范围；
(3)若，其中，证明：．
【典例3-2】已知函数，
(1)当时，求在处的切线方程
(2)若恒成立，求的范围
(3)若在内有两个不同零点，，求证：．
【变式3-1】已知函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数，若一个连续函数在区间I上的二阶导函数，则称为I上的凹函数，若二阶导函数，则称为I上的凸函数．
(1)证明：函数是凸函数．
(2)已知函数，．
①若是上的凹函数，求实数a的取值范围；
②在内有两个不同的零点，，证明：．
【变式3-2】（2025·广东深圳·二模）设函数，其中．
(1)讨论的单调性；
(2)当存在小于零的极小值时，若，且，证明：．
题型四：变量换元类
【典例4-1】（2025·陕西安康·一模）设向量.
(1)讨论函数的单调性；
(2)设函数，若存在两个极值点，证明：.
【典例4-2】已知函数
(1)当时，求的单调区间；
(2)若存在两个极值点，
（i）求的取值范围；
（ii）证明：.
【变式4-1】已知函数的定义域是，导函数，设是曲线在点处的切线．
(1)求的最大值；
(2)当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方；
(3)设过点A的直线与直线垂直，，与x轴交点的横坐标分别是，，若，求的取值范围．
【变式4-2】（2025·江苏·模拟预测）已知函数，其中.
(1)若，判断的单调性；
(2)设有且只有两个不同的极值点.
（i）求的取值范围；
（ii）当时，设，证明：.
【变式4-3】（2025·河南安阳·一模）已知函数与的图象在点处有相同的切线．
（Ⅰ）若函数与的图象有两个交点，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若函数有两个极值点，，且，证明：．
题型五：韦达定理类
【典例5-1】（2025·四川·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求的单调递减区间；
(2)若有两个极值点，（）.
①求实数b的取值范围；
②证明：.
【典例5-2】（2025·高三·云南昆明·开学考试）已知函数，，过原点的直线与曲线相切，也与曲线相切.
(1)求a；
(2)设有两个极值点，.
（ⅰ）求实数m的取值范围；
（ⅱ）证明：.
【变式5-1】已知函数，．
(1)若直线(为自然对数的底数)与函数，的图象均相切，求实数的值．
(2)设函数．
（i）证明：函数有两个极值点，；
（ii）对（i）中的两个极值点，，若恒成立，求实数的取值范围
【变式5-2】已知函数，定义域为．
(1)讨论的单调性．
(2)若函数在定义域内有两个极值点
①求实数的取值范围．
②时，，求的值．
题型六：引参换元类（比值代换与差值代换）
【典例6-1】（2025·高三·重庆·期末）已知函数．
(1)求的最值；
(2)若函数有两个不同的零点，证明：．
【典例6-2】已知函数，.
(1)设函数，试讨论的单调性；
(2)若，的图象存在公切线（与，的图象均相切的直线），求实数的取值范围；
(3)若存在不相等的，，使，，证明：.
【变式6-1】定义：若函数与在公共定义域内存在，使得，则称与为“契合函数”，为“契合点”．
(1)若函数和为“契合函数”，求的取值范围．
(2)已知函数和为“契合函数”且有两个“契合点”．
①求的取值范围；
②若，证明：．
【变式6-2】已知.
(1)求的单调区间；
(2)设，是两个不相等的正数，证明：
题型七：双变量放缩类
【典例7-1】已知函数．
(1)当时，求的最大值；
(2)当时，证明：；
(3)若且，，证明：．
【典例7-2】（2025·甘肃白银·三模）已知函数，且曲线在点处的切线方程为.
(1)求实数的值.
(2)当时，证明：当时，.
(3)当时，若存在，使得成立，证明：.
【变式7-1】（2025·海南海口·模拟预测）已知函数，当时，的切线斜率．
(1)求的单调区间；
(2)已知，若，求证：若，则．
【变式7-2】（2025·河南驻马店·模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，不等式恒成立，求实数a的值；
(3)设不同正数m，n满足，证明：．
1．（2025·安徽·三模）已知函数．
(1)若曲线在处的切线平行于直线，求的值以及函数的最小值；
(2)证明：对一切的，都有；
(3)当时，若曲线与曲线存在两交点，记直线的斜率为，证明：．
2．已知函数．
(1)判断函数的单调性；
(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)若，求证：．
3．已知函数为偶函数，
(1)求实数k的值；
(2)若，，使得恒成立，求实数m的取值范围．
4．（2025·全国·二模）已知函数，()，其中是自然对数的底数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，对于任意的，，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
5．（2025·浙江嘉兴·二模）已知.
(1)若存在实数，使得不等式对任意恒成立，求的值；
(2)若，设，证明：
①存在，使得成立；
②.
6．已知函数，.
（Ⅰ）讨论函数的单调区间与极值；
（Ⅱ）若，对任意，总存在，使得不等式成立，试求实数的取值范围.
7．（2025·陕西安康·三模）设函数.
（1）求函数的递增区间；
（2）若对任意，总存在，使得，求实数k的取值范围.
8．已知函数，其中为自然对数的底数.
（1）证明：在上单调递减，上单调递增；
（2）设，函数，如果总存在，对任意，都成立，求实数的取值范围.
9．（2025·浙江·模拟预测）已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围；
(3)若存在，使得.证明：.
10．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若有两个极值点，求的取值范围；
(3)在（2）的条件下，证明：当时，.
11．已知，.证明：
(1)函数在上单调递减，且存在唯一，使得；
(2)存在唯一，使得，且对（1）中的有：.
12．（2025·河南濮阳·二模）已知函数.
（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；
（Ⅱ）当，时，，其中，证明：.
13．（2025·河南·模拟预测）已知函数，且有两个极值点.
(1)求实数的取值范围；
(2)证明：.
14．（2025·高三·江苏南京·开学考试）已知函数，为函数的导函数
(1)讨论的单调性；
(2)当时，，若，，且，证明：.
15．（2025·高三·广东深圳·期末）已知函数有两个极值点，，其中.
（Ⅰ）求实数的取值范围；
（Ⅱ）当时，求的最小值.
16．（2025·高三·山东潍坊·期末）已知函数有两个极值点，（）．
(1)求实数的取值范围；
(2)设，若函数的两个极值点恰为函数的两个零点，当时，求的最小值．
17．已知函数.
（1）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（2）若有两个极值点，，求证：.
18．（2025·江苏南通·三模）已知函数，，其中为自然对数的底数.
（1）求不等式的解集；
（2）若函数有两个极值点，()(若是函数的极大值或极小值，则m为函数的极值点，极大值点与极小值点统称为极值点).
①求a的取值范围；
②证明：.
19．（2025·高三·福建福州·期末）已知函数.
(1)当时，判断函数的零点个数；
(2)若在上恒成立，求的取值范围；
(3)设，若函数有两个极值点、，求证：.
20．（2025·高三·浙江·期中）已知函数，的导函数为.
(1)记，讨论函数的单调性；
(2)若函数有两个零点
（i）求证：；
（ii）若，求a的取值范围.
21．（2025·高三·江苏南通·期末）已知函数(a∈R)．
(1)若是单调增函数，求a的取值范围；
(2)若，是函数的两个不同的零点，求证：．
22．已知，函数
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)若曲线和有公共点，
（i）当时，求的取值范围；
（ii）求证：．
23．（2025·天津河北·一模）已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)证明：；
(3)若，且，求证：
24．已知函数，.
(1)若，讨论的零点个数；
(2)若函数有零点，证明：.
培优点12 利用导数解决双变量问题
目录 TOC \ "1-2" \h \z \u
\l "_Tc201739682" 01 重点解读 PAGEREF _Tc201739682 \h 2
\l "_Tc201739683" 02 思维升华 PAGEREF _Tc201739683 \h 3
\l "_Tc201739684" 03 典型例题 PAGEREF _Tc201739684 \h 4
\l "_Tc201739685" 题型一：构造单调性 PAGEREF _Tc201739685 \h 4
\l "_Tc201739686" 题型二：任意存在型 PAGEREF _Tc201739686 \h 8
\l "_Tc201739687" 题型三：比较双变量 PAGEREF _Tc201739687 \h 13
\l "_Tc201739688" 题型四：变量换元类 PAGEREF _Tc201739688 \h 20
\l "_Tc201739689" 题型五：韦达定理类 PAGEREF _Tc201739689 \h 26
\l "_Tc201739690" 题型六：引参换元类（比值代换与差值代换） PAGEREF _Tc201739690 \h 31
\l "_Tc201739691" 题型七：双变量放缩类 PAGEREF _Tc201739691 \h 39
\l "_Tc201739692" 04 课时精练 PAGEREF _Tc201739692 \h 45
在高考数学中，利用导数解决双变量问题是重点与难点。这类问题通常涉及两个变量，需通过导数将其转化为单变量问题求解。解题关键在于找到变量间的关系，如极值点满足的方程，通过消元或整体代换简化问题。常用方法包括：变更主元，指定主变量，将双变量转化为值域或最值问题；利用函数单调性，构造新函数求解；通过韦达定理、对数平均不等式等工具处理极值点偏移问题。解题时需灵活运用导数性质，结合函数图像分析，合理构造函数，利用单调性、极值等性质证明不等式或求解参数范围。掌握这些方法，能有效提升解决双变量问题的能力。
在数学问题中，双变量问题常借助导数求解，以下是常见方法：
1、变更主元法：当问题中两个变量地位不均等，可确定一个为主元，另一个视为参数，将双变量问题转化为关于主元的单变量函数问题。例如已知含双变量的不等式恒成立，把其中一个变量看作主元，构造函数，利用导数求其最值，进而求解另一个变量的范围。
2、构造差函数法：对于双变量不等式，可通过移项构造差函数，将问题转化为证明差函数的单调性或最值问题。对差函数求导，分析其单调性，从而证明不等式。
3、利用极值点关系：若双变量与函数极值点相关，先求出函数极值点满足的方程，再利用方程关系对双变量进行消元或转化，最后结合导数求解。
题型一：构造单调性
【典例1-1】（2025·山东聊城·一模）已知函数，曲线在处的切线交轴于点．
（1）求的值；
（2）若对于内的任意两个数，，当时，恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）由，得，
，，
∴曲线在处的切线方程为，
则，解得；
（2），
不妨设，对于内的任意两个数，，，
即有，
设，则在上为减函数．
则对恒成立．
可得在上恒成立．
令，，
则在上单调递减，
∴．
∴，即．
∴实数的取值范围是．
【典例1-2】（2025·全国·模拟预测）已知函数（其中为自然对数的底数）.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）依题意，令，，
则，
令，解得或.
当时，即时，恒成立且不恒为零，
所以，函数的增区间为；
当时，即时，由可得或，由可得，
所以，函数的增区间为、，减区间为；
当时，即时，由可得或，由可得.
所以，函数的增区间为、，减区间为.
综上所述，当时，函数的增区间为；
当时，函数的增区间为、，减区间为；
当时，函数的增区间为、，减区间为.
（2）当时，恒成立，
所以在上单调递增，且.
因为，所以，
则不等式可化为，
即.
令，则问题等价于函数在上单调递增，
即在上恒成立，
即，.
令，，
则.
令，解得，
所以当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增；
所以当时，函数取得最小值，且，
所以当时，，所以.
【变式1-1】已知函数，其中
（1）当时，若在区间，上的最小值为，求的取值范围；
（2）若对于任意，恒成立，求的取值范围．
【解析】（1）函数的定义域为，
当时，
令，解得或；
①当，即时，在上单调递增；
在上的最小值是，符合题意；
②当，即时，在上的最小值是，不合题意；
③当，即时，在上单调递减；
在上的最小值是不合题意；
综上所述，的取值范围是；
（2）令，则只需在上单调递增即可，，
当时，，此时在上单调递增；
当时，只需在上恒成立；
，
只需；
；
对于函数，过定点（0，1），对称轴为，只需，解得，
综上所述，的取值范围是
【变式1-2】已知函数，对于任意，，不等式恒成立，则整数的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解析】，
设，，则有且，即恒成立，
即，令，则在上单调递增，即恒成立，
即，，得，下证成立：
，易证当时，，
考查函数：，则，故函数在区间上单调递减，在区间上单调造增，当时，函数的最小值为，据此可得：，
当时，，故成立．
故选B．
【变式1-3】（2025·河南洛阳·三模）已知函数，其中.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，证明：不等式恒成立（其中，）.
【解析】分析：（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）问题转化为证明 恒成立．设，则上式等价于，要证明对任意，恒成立，要证明g（x1+x2）＞g（x1-x2）对任意x1∈R，x2∈（0，+∞）恒成立，即证明在上单调递增，根据函数的单调性证明即可．
（1）由于.
1）当时，，当时，，递增，
当时，，递减；
2）当时，由得或.
当时，，当时，，递增，
当时，，递减，
当时，，递增；
当时，，递增；
③当时，.
当时，，递增，
当时，，递减，
当时，，递增.
综上，当时，在上是减函数，在上是增函数；
当时，在，上是增函数，在上是减函数；
当时，在上是增函数；
当时，在，上是增函数，在上是减函数.
（2）依题意 恒成立.
设，则上式等价于，
要证明对任意，恒成立，
即证明在上单调递增，又，
只需证明即可.令，则，
当时，，当时，，
∴，即，，那么，当时，，所以 ；当时，， ，
∴恒成立.从而原不等式成立.
题型二：任意存在型
【典例2-1】（2025·辽宁大连·模拟预测）已知，，其中是自然对数的底数．
(1)讨论的单调性；
(2)设，．存在，，使得成立，试求实数的取值范围．
【解析】（1）由题，.
当，则，则此时在上单调递减；
当，则.
若，即时，令得，令得，
故在上单调递减，在上单调递增；
若，即时，此时在上单调递减.
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）时，由（1）可得；
又，则，得在上单调递增，
则.
又注意到存在，，使得，
等价于时，，
则，又，
则.
【典例2-2】已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)设（为自然对数的底数），当时，对任意，存在，使，求实数的取值范围.
【解析】（1）由题意可知：函数的定义域为，
且，，
①当时，令得；令得；
可知在内单调递增；在内单调递减；
②当时，令得；令得；
可知在内单调递增，在内单调递减；
综上所述：当时，在内单调递增；在内单调递减；
当时，在内单调递增，在内单调递减.
（2）当时，由（1）可知：函数在上递增，在上递减，
即当时，函数取得极小值，同时也是最小值.
若对任意，存在，使，
等价于为，即，整理可得，
构建，则，
由，得，或（舍），
当时，；当时，；
可知函数在内单调递增，函数在内单调递减，
则当时，取得极大值同时也是最大值，
且，，
可知，则函数的最小值为，
可得，所以实数的取值范围为.
【变式2-1】已知函数，，．
(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；
(2)若方程在上恰有两个不同的实数根，求的取值范围；
(3)若对任意，总存在唯一的，使得，求的取值范围．
【解析】（1）
，即曲线在点处的切线斜率为，
曲线在点处的切线与直线垂直，
；
（2）若方程在上恰有两个不同的实数根，
即在上恰有两个不同的实数根，
当时，等式不成立，
故在上有个实数根，
令，则恒成立，
故在和上均为增函数；
当时，；
当时，，
综上可得：
（3）由（1）中得：
当时，，函数为减函数；
当时，，函数为增函数；
故当时，函数取最小值，
当时，函数，，
当时，函数；
当时，由得：，
由对任意，总存在唯一的，使得得：
，解得：；
当时，由得：，
满足对任意，总存在唯一的，使得
当时，由得：，
由对任意，总存在唯一的，使得得：，解得：；
综上可得：
【变式2-2】已知函数，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围
【答案】
【解析】由题意可得：，分类讨论a>0,a=0,a