2026年高考数学一轮复重难点培优04解三角形含中线、角平分线、垂线的条件破解(复习讲义)(全国通用)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复重难点培优04解三角形含中线、角平分线、垂线的条件破解(复习讲义)(全国通用)(学生版+解析)，共4页。
\l "_Tc28373" 02 题型精研・技巧通法提能力 PAGEREF _Tc28373 \h 3
\l "_Tc16555" 题型一 含中线（向量法）（★★★★★） PAGEREF _Tc16555 \h 3
\l "_Tc7141" 题型二 含中线（常规思路和余弦值相加为0）（★★★★★） PAGEREF _Tc7141 \h 4
\l "_Tc26803" 题型三 含中线（同理变形）（★★★★） PAGEREF _Tc26803 \h 5
\l "_Tc13512" 题型四 含角平分线（角平分线定理和直接正（余）弦定理）（★★★★） PAGEREF _Tc13512 \h 6
\l "_Tc3897" 题型五 含角平分线（等积法）（★★★★★） PAGEREF _Tc3897 \h 7
\l "_Tc326" 题型六 含垂线（★★★） PAGEREF _Tc326 \h 9
\l "_Tc25070" 03 实战检测・分层突破验成效 PAGEREF _Tc25070 \h 10
\l "_Tc621" 检测Ⅰ组 重难知识巩固 PAGEREF _Tc621 \h 10
\l "_Tc1659" 检测Ⅱ组 创新能力提升 PAGEREF _Tc1659 \h 13
一、中线问题
如图，△ABC中，AD为BC的中线，已知AB,AC,及∠A，求中线AD长.
①向量法：,平方即可；
②余弦定理：邻补角余弦值为相反数，即
二、角平分线问题
△ABC中，AD平分∠BAC.
①角平分线定理：
证法1（等面积法），得
注：为A到BC的距离，为D到AB,AC的距离.
证法2（正弦定理）
如图，，,而，整理得
②等面积法
三、垂线问题
①等面积法：
②
③


题型一 含中线（向量法）
【技巧通法·提分快招】
1．在中，角的对边分别为是边上的中点，则中线的长等于（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·河北保定·一模）记的内角所对的边分别为，若，则边上的中线长度的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，已知，点为的中点，则中线的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知的内角所对的边分别为，，，且．
(1)求角的大小；
(2)若的面积为，中线，求．
5．已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求；
(2)若BD为AC边上的中线，且，求面积的最大值.
6．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)证明：.
(2)已知C为钝角，记.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）若BD为AC边上的中线，求的取值范围.

题型二 含中线（常规思路和余弦值相加为0）
【技巧通法·提分快招】
1．在中，若，，边上的中线长为，则 .
2．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知的内角的对边分别为，且边上中线长为1，则最大值为（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三上·浙江绍兴·月考）记三个内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求；
(2)设是的中线，若，，求.
4．（2025·广东·一模）在中，角的对边分别为，为边上的中线.
(1)证明：；
(2)若，，求的最大值.
5．（24-25高三上·河北石家庄·月考）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足.
(1)求角A；
(2)若，边上的中线，求的面积．
6．（24-25高三上·江苏盐城·月考）在中，，且边上的中线长为1．
(1)若，求的长；
(2)若，求的长．

题型三 含中线（同理变形）
【技巧通法·提分快招】
1．如图，在中，，，P为CD上一点，且满足，若的面积为，则的最小值是（ ）
A．1B．C．D．
2．已知中，角、、所对的边分别为、、，是上的三等分点（靠近点）且，，则的最大值是（ ）
A．4B．C．D．2
3．（2025·四川广安·模拟预测）已知在中，角，边.点在线段上满足，则线段长度的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2025年第四届典韦杯线上联考高考模拟数学试题）在中，分别是角的对边
(1)求；
(2)若点是上靠近的三等分点，且，求．
5．在锐角中，角的对边分别是，向量，且.
(1)求；
(2)若，求面积的最大值；
(3)若，求的取值范围.

题型四 含角平分线（角平分线定理和直接正（余）弦定理）
【技巧通法·提分快招】
1．在中，角A的角平分线交于点D，且，则等于（ ）
A．B．
C．D．
2．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知在中，，，.若的角平分线交边于点，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·四川成都·三模）在中，，的角平分线AD交BC于点D，若，则（ ）
A．B．C．1D．
4．在中，角A、B、C的对边分别为a，b、c，若，是的角平分线，点在上，，，则（ ）
A．B．C．D．4
5．（2024·河北沧州·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求证：；
(2)若的角平分线交AC于点D，且，，求BD的长．
6．（2024·江西新余·模拟预测）在中，，为的角平分线，在线段上.
(1)求证：；
(2)求的长.

题型五 含角平分线（等积法）
【技巧通法·提分快招】
1．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，.
(1)求的面积；
(2)求中的角平分线的长.
2．（2025·湖北武汉·三模）记的内角，，的对边分别为，，，已知，，角的角平分线交于点，且．
(1)求的长；
(2)求的面积．
3．已知中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，，D是边AC上的一点，且．
(1)若，，求AD；
(2)若BD为的角平分线，求面积的最小值．
4．的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D在上，
(1)若，，求c；
(2)若是的角平分线，，求周长的最小值．
5．在中,为的角平分线,且.
(1)若,,求的面积;
(2)若,求边的取值范围.
6．已知的内角，，的对边为，，，且.
(1)求；
(2)若的面积为；
①为的中点，求底边上中线长的最小值；
②求内角的角平分线长的最大值.

题型六 含垂线
【技巧通法·提分快招】
1．（2024·江苏·模拟预测）锐角中，，，，则AB边上的高CD长为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·广西贵港·开学考试）在中，，且边上的高为，则（ ）
A．的面积有最大值，且最大值为
B．的面积有最大值，且最大值为
C．的面积有最小值，且最小值为
D．的面积有最小值，且最小值为
3．在中，内角所对的边分别是，若，边上的高为，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·湖北襄阳·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，边上的高为.若，则的最大值为 .
5．（2025·海南三亚·一模）在锐角中，角所对的边分别为，且.
(1)求；
(2)若，求边上的高的长.
6．（2025·湖北·三模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
(1)求C；
(2)若边上的高为，求的最小值．
7．（24-25高三上·广东深圳·期末）记的内角A，B，C的对边分别为.
(1)求；
(2)设AC边上的高为，若，且，求周长的取值范围.

检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（2025·湖北孝感·三模）在△ABC中，已知AB=4，AC=7，BC边的中线AD=，那么BC= ．
2．（2024·河北·三模）中，，．则的角平分线的长为 ．
3．中，的角平分线交AC于D点，若且，则面积的最小值为 .
4．（2025·河南·二模）在中，角，，所对的边分别为，，，边上的高为.若，，则的最小值为 ；若，则的最大值为 .
5．（24-25高三上·天津·开学考试）如图，在中，为中点，为上一点，且满足的面积为，则 ；的最小值为 .
6．（2024·安徽池州·模拟预测）在中，是的角平分线，且的面积为1，当最短时， ．
7．（2024·新疆喀什·三模）在中，，，，是边一点，是的角平分线，则（ ）
A．B．1C．2D．
8．在中，，，，是中点，是上靠近的三等分点，则的长为（）
A．B．C．D．
9．（2024·广东广州·模拟预测）在中，角、、的对边分别为、、，若，，的平分线的长为，则边上的中线的长等于（ ）
A．B．C．D．
10．（2025·北京丰台·二模）在中，．
(1)求；
(2)若,，求边上的高．
11．（2025·北京大兴·三模）在中，内角，，所对的边分别为，，，角的角平分线交于点，且．
(1)求；
(2)若，且的面积为，角的角平分线为，求的长．
12．（24-25高三下·浙江·开学考试）在中，角的对边分别为，已知.
(1)求角A的大小；
(2)若BC边上的高为3，求面积的最小值.
13．（24-25高三上·山东德州·期中）已知中的三个角的对边分别为，且满足.
(1)求；
(2)若的角平分线交于，，求面积的最小值.
14．（24-25高三上·云南·月考）记的内角的对边分别为，已知.
(1)求A；
(2)若边上的高为2，且的平分线交边于，，求.
15．（2025·河北张家口·一模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.
(1)若，求；
(2)当BC边上的中线最小时，求的面积.
16．（2025·江西·三模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若∠BAC的角平分线AD与边BC交于点D，且，求的最小值．
17．在中，角所对的边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若，，，求的值；
(3)设是边上一点，为角平分线且，求的值.
18．（24-25高三上·江苏·月考）在面积为S的中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)若，求周长的最大值；
(2)若为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求面积的取值范围．
19．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，的角平分线AD交BC于点D．
(1)若，，求AD的长度；
(2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围．
20．的内角、、的对边分别为、、，已知，且.
(1)求；
(2)若的面积为，角C的角平分线为，求的长；
(3)若为锐角三角形，E为边的中点，求的取值范围.
21．在锐角中，内角的对边分别为，且.点在上，满足且.
(1)求角；
(2)求证：；
(3)求面积的取值范围.

检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（24-25高三上·江西新余·月考）在△中，为的角平分线（在线段上），，当取最小值时，（ ）.
A．B．C．D．
2．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知面积为1，边上的中线为，且，则边的最小值为 ．
3．设中角所对的边分别为，，，为边上的中线；已知且，．则 ．
4．（2025·山东青岛·一模）已知的内角对边分别为，边上的高为h，，则的最小值为 .
5．已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且．
(1)求；
(2)若的面积为，求内角A的角平分线长的最大值．
1、向量法：AD2＝14(b2＋c2＋2bccs A).
推导过程：由AD＝12(AB＋AC)，得AD2＝14(AB＋AC)2＝14AB2＋14AC2＋12｜AB｜｜AC｜·cs A，
所以AD2＝14(b2＋c2＋2bccs A).
2、中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2).
推导过程：在△ABD中，cs B＝AB2＋BD2－AD22AB·BD，在△ABC中，cs B＝AB2＋BC2－AC22AB·BC，
联立得AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2).
如图，△ABC中，AD为BC的中线，已知AB,AC,及∠A，求中线AD长.
余弦定理：邻补角余弦值为相反数，即
线段定比分点的向量表达式
如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量
D
A
C
B
三角形中与角平分线有关的解题策略
在△ABC中，AD平分∠BAC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
1、利用角度的倍数关系：∠BAC＝2∠BAD＝2∠CAD.
2、内角平分线定理：ABAC＝BDDC.
等面积法
因为S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，
所以12c·ADsinA2＋12b·ADsinA2＝12bcsin A，
所以b＋cAD＝2bccsA2，整理得AD＝2bccsA2b＋c(角平分线长公式).
垂线问题的处理策略
1、等面积法：AD·BC＝AB·AC·sin ∠BAC.
2、AD＝AB·sin ∠ABD＝AC·sin ∠ACD.