2026年高考数学一轮复重难点培优04四大分布及其应用(复习讲义)(全国通用)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复重难点培优04四大分布及其应用(复习讲义)(全国通用)(学生版+解析)，共4页。
\l "_Tc28373" 02 题型精研・技巧通法提能力 PAGEREF _Tc28373 \h 4
\l "_Tc16555" 题型一 两点分布（★★★★） PAGEREF _Tc16555 \h 4
\l "_Tc7141" 题型二 二项分布（★★★★★） PAGEREF _Tc7141 \h 7
\l "_Tc26803" 题型三 独立事件的乘法公式（★★★★★） PAGEREF _Tc26803 \h 12
\l "_Tc13512" 题型四 超几何分布（★★★★★） PAGEREF _Tc13512 \h 18
\l "_Tc3897" 题型五 正态分布（★★★★★） PAGEREF _Tc3897 \h 22
\l "_Tc326" 题型六 其他离散型随机变量的分布列（★★★★★） PAGEREF _Tc326 \h 27
\l "_Tc11957" 题型七 离散型随机变量的期望与方差性质（★★★★★） PAGEREF _Tc11957 \h 33
\l "_Tc25070" 03 实战检测・分层突破验成效 PAGEREF _Tc25070 \h 36
\l "_Tc621" 检测Ⅰ组 重难知识巩固 PAGEREF _Tc621 \h 36
\l "_Tc1659" 检测Ⅱ组 创新能力提升 PAGEREF _Tc1659 \h 55
一、离散型随机变量分布列均值，方差
1、离散型随机变量分布列均值，方差
（1）
（2）
2、均值和方差的性质
①若与都是随机变量，且，则由与之间分布列的关系可知.
②若与相互独立，则.
③若与都是随机变量，且，则由与之间分布列的关系可知.
二、二项分布
1、定义
一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，）
于是得到的分布列
由于表中第二行恰好是二项式展开式
各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率．
注意：①由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式．
②本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的．
3、二项分布的期望、方差
若，则，．
三、超几何分布
1、定义
在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布．
2、超几何分布的适用范围件及本质
（1）适用范围：
①考察对象分两类；
②已知各类对象的个数；
③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数的概率分布．
（2）本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的．
四、正态曲线
1.定义：我们把函数，（其中是样本均值，是样本标准差）的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线．正态曲线呈钟形，即中间高，两边低．
2.正态曲线的性质
（1）曲线位于轴上方，与轴不相交；
（2）曲线是单峰的，它关于直线对称；
（3）曲线在处达到峰值（最大值）；
（4）曲线与轴之间的面积为1；
（5）当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移，如图甲所示：
（6）当一定时，曲线的形状由确定．越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示：：

甲 乙
五、正态分布
1、定义
随机变量落在区间的概率为，即由正态曲线，过点和点的两条轴的垂线，及轴所围成的平面图形的面积，如下图中阴影部分所示，就是落在区间的概率的近似值．
一般地，如果对于任何实数，，随机变量满足，则称随机变量服从正态分布．正态分布完全由参数，确定，因此正态分布常记作．如果随机变量服从正态分布，则记为．
其中，参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．
2、原则
若，则对于任意的实数，为下图中阴影部分的面积，对于固定的和而言，该面积随着的减小而变大．这说明越小，落在区间的概率越大，即集中在周围的概率越大
特别地，有；；．
由，知正态总体几乎总取值于区间之内．而在此区间以外取值的概率只有，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，即为小概率事件．在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取之间的值，并简称之为原则．


题型一 两点分布
【技巧通法·提分快招】
1．若服从两点分布，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】按照两点分布的性质计算.
【详解】依题意可得，解得.
故选：C
2．（23-24高三上·江苏镇江·月考）若随机变量服从两点分布，其中，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据随机变量服从两点分布推出，根据公式先计算出、，由此分别计算四个选项得出结果.
【详解】随机变量服从两点分布，其中，，
，
，
在A中，，故A正确；
在B中，，故B正确；
在C中，，故C错误；
在D中，，故D正确.
故选：C.
3．若随机变量服从两点分布，则的最大值为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【分析】根据两点分布期望和方差公式可将所求式子化为，利用基本不等式可求得结果.
【详解】服从两点分布，设成功的概率为，则可得，，其中，
（当且仅当，即时取等号），
的最大值为．
故选：D.
4．（2025·重庆·二模）（多选题）已知随机变量均服从两点分布，若 ，且，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据随机变量均服从两点分布可求，再利用期望的性质可判断A；由得到，再根据和可计算，，逐项判断即可.
【详解】因为随机变量均服从两点分布，，，，
，故A正确；
对于B，，，故B正确；
对于C，，解得，故C错误；
，解得，
，
所以，，故D正确；
故选：ABD.
5．（25-26高三上·广东东莞·开学考试）有个相同的球，分别标有数字，，，，，从中有放回地随机取次，每次取个球记为这个球中至少被取出次的球的个数，则的数学期望
【答案】
【分析】根据题意对于每个标号，记为，利用对立事件与独立事件的概率公式求得，进而利用数学期望的性质求得.
【详解】箱中有个标号为的球，有放回地取三次，记为三次抽取中至少被取出一次的不同球的个数，
对于每个标号，记为如：表示三次抽取中至少出现过一次标号表示三次抽取中从未出现标号，
则可表示为所有的和，即，
由于每个小球都相同，则每个的期望相同，且服从两点分布，
则，
每次未抽到的概率为，三次均未抽到的概率为，
，
则．
故答案为：.

题型二 二项分布
【技巧通法·提分快招】
1．（25-26高三上·云南·期中）有一个翻牌游戏，规则如下：每一轮翻牌两次，每次翻出花色牌的概率为，且每次翻牌相互独立.若参与者在一轮翻牌游戏中，翻出的花色牌数不少于1，则获得一份精美礼品（多次参与可获得多份精美礼品）.
(1)若甲参与一轮翻牌游戏，求甲获得一份精美礼品的概率；
(2)若乙参与三轮翻牌游戏，设乙获得的精美礼品数量为，求的分布列与期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）应用独立事件概率乘积公式及对立事件概率公式计算求解；
（2）应用二项分布写出概率，再写出分布列，最后应用公式计算数学期望即可.
【详解】（1）甲获得一份精美礼品的概率为.
（2）由题意得，
则，
，
，
，
所以的分布列为
.
2．（2025·云南昭通·模拟预测）某科技公司研发了一种新型的AI模型，用于图像识别任务．为了测试该模型的性能，对其进行了1000次试验，并记录了每次试验中模型正确识别图像的数量，得到如图所示的样本数据频率分布直方图．
(1)估计这1000次试验中该AI模型正确识别图像数量的均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)以频率估计概率，随机对该模型进行4次试验，用表示这4次试验中正确识别图像数量不少于20个的次数，求的分布列和数学期望．
【答案】(1)29
(2)分布列见解析；期望为
【分析】（1）由平均数的计算公式即可求解；
（2）确定可能取值，由题意得到，即可求解.
【详解】（1），
故均值为29．
（2）设1次试验中正确识别图像数量不少于20个的概率为，
则，
则，
；
．
列出的分布列如下：
．
3．（24-25高三上·宁夏银川·期末）随着国家以旧换新政策的深入实施与完善，某商场现有更换电视机与洗衣机的活动，经调查统计居民更换电视机的概率为0.6，更换洗衣机的概率为0.4，两种电器都不更换的概率为0.2．
(1)①求居民甲至少更换一种电器的概率；
②居民甲更换洗衣机且更换电视机的概率；
③居民甲在不更换洗衣机的条件下，更换电视机的概率；
(2)若至少更换一种电器视为参加了以旧换新活动，现有居民甲，乙，丙，丁，戊五人，是否参加活动相互独立，求参加活动居民人数X的分布列，并求出期望与方差．
【答案】(1)① ；②；③
(2)分布列见解析；，
【分析】（1）根据条件概率的计算公式求值.
（2）判断的分布列模型，求出分布列即可.
【详解】（1）设事件“更换电视机”，事件“更换洗衣机”，
因为， 至少更换一种电器的概率
由得更换洗衣机且更换电视机的概率.
则在不更换洗衣机的条件下，更换电视机的概率.
（2）由题意，服从二项分布.
所以．则分布列为，
所以：，.
4．（25-26高三上·广东·月考）某罐中装有除颜色外完全相同的4个红球和3个绿球，每次随机摸出1个球．
(1)若每次都是不放回地摸球，连续摸两次，求在第二次摸球时摸得红球的条件下，第一次摸球时摸得红球的概率；
(2)若每次都是有放回地摸球，连续摸四次，摸得红球记1分，摸得绿球记0分，设四次摸球总得分为，求的分布列与数学期望．
【答案】(1)
(2)的分布列为
的数学期望是.
【分析】（1）解法一，利用条件概率公式及全概率公式即可求解；
（2）由题意可得，根据二项分布的特征即可求解分布列及数学期望.
【详解】（1）记第一次摸到红球为事件A，第二次摸到红球为事件B.
.
所以.
故在第二次摸球时摸得红球的条件下，第一次摸球时摸得红球的概率为.
（2）由题可知，每次摸球，摸到红球的概率为，摸到绿球的概率为.
记四次摸球活动中，摸到红球的次数为，则.
因为四次摸球总得分为，所以.所以.
所以，
，
，
，
.
所以的分布列为
所以的数学期望是.
5．小王早晨7：30从家出发上班，有A，B两个出行方案供其选择，他统计了最近100天选择A，B两个出行方案到达单位的时间，制成如下表格：
(1)根据小概率值的独立性检验，判断8点前到单位是否与出行方案选择有关．
(2)小王准备下周一选择A方案上班，下周二至下周五选择B方案上班，记小王下周一至下周五这5天中，8点前到单位的天数为随机变量．若用频率估计概率，求．
附：，其中．
【答案】(1)8点前到单位与出行方案选择有关
(2)
【分析】（1）提出零假设，计算的值，并与临界值比较，根据比较结果下结论即可．
（2）分别计算A，B两个出行方案8点前到单位的概率，理解事件，并找准讨论标准，再由互斥事件的概率公式求概率．
【详解】（1）零假设为：8点前到单位与出行方案选择无关．
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为8点前到单位与出行方案选择有关．
（2）选择A方案上班，8点前到单位的概率为，
选择B方案上班，8点前到单位的概率为．
当时，分两种情况：
①若下周一8点前到单位，
则这5天中，8点前到单位的天数为3的概率；
②若下周一8点前没有到单位，
则这5天中，8点前到单位的天数为3的概率．
综上，．

题型三 独立事件的乘法公式
【技巧通法·提分快招】
1．（25-26高三上·广东·月考）某超市为促销举办抽奖活动，设有两种奖券：甲奖券和乙奖券.顾客每次抽取甲奖券中奖的概率为0.4，每次抽取乙奖券中奖的概率为0.5，每次抽奖结果相互独立、某顾客计划先抽取2张甲奖券，再抽取1张乙奖券.
(1)求该顾客至少中奖1次的概率；
(2)设该顾客中奖的总次数为，求的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，数学期望为1.3
【分析】（1）“至少中奖1次”的对立事件为“没有一次中奖”，根据对立事件的概率关系求解；
（2）确定的可能取值，求得相应概率即可求解.
【详解】（1）设事件为“至少中奖1次”，则事件为“没有一次中奖”.
则.
（2）由题可得的取值为，
，，
，，
则的分布列为：
数学期望.
2．（2025·浙江嘉兴·二模）甲、乙两选手进行羽毛球比赛，比赛采用5局3胜制，如果每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，求：
(1)赛完4局且甲获胜的概率；
(2)在第3局乙获胜的情况下，最终是甲获胜的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据第4局甲胜，前3局甲胜两局可求概率；
（2）先求第3局乙获胜的概率，再求出第3局乙获胜且甲最终获胜的概率，从而可得所求的条件概率.
【详解】（1）赛完4局，甲获胜，则第4局甲胜，前3局甲胜两局，
设事件为“赛完4局且甲获胜”，则.
（2）设为“甲获胜”，为“第3局乙获胜”，则，
事件包含两种情况，第3局乙获胜，第4局比赛后最终甲获胜和第3局乙获胜，第5局比赛后最终甲获胜，
其中第3局乙获胜，第4局比赛后最终甲获胜，则乙只在第3局获胜，概率为，
第3局乙获胜，第5局比赛后最终甲获胜，则第1,2,4局中，有1局乙获胜，有2局甲获胜，
第5局甲获胜，概率为，
而，
故.
3．（2025·河南·三模）2024年10月30日，我国神舟十九号载人飞船顺利升空，并与中国空间站成功对接．为弘扬航天精神，某大学举办了一次“逐梦星辰大海——航天杯”知识竞赛．竞赛分为初赛和决赛，初赛规则为：每位参赛者依次回答5道题，连续答错2道题或5道题都答完，则比赛结束．假定大学生张某答对这5道题的概率依次为，且各题是否答对互不影响．
(1)若至少连续答对4道题，可得到一张直升卡，直接进入决赛，求张某得到直升卡的概率；
(2)记张某初赛结束时已答题的个数为，求的分布列及数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）利用事件的相互独立，根据连续答对4道题的要求，分两类进行求解；
（2）确定的可能取值为，分别求出，，，再列出分布列即可求解．
【详解】（1）用表示张某第道题答对，
用表示张某第道题答错，
由题意得，
记张某得到直升卡为事件，
则
．
即张某得到直升卡的概率为．
（2）由题可得的可能取值为．
，
，
，
，
则的分布列如下，
所以．
4．为丰富学生的业余生活， 学校开展了一系列文体活动， 其中有一项是 3 对 3 篮球对抗赛. 现有甲、乙两队进行比赛，假设每局比赛结果相互独立且无平局，每局比赛甲队获胜的概率为 ，乙队获胜的概率为 .
(1)若采用三局两胜制(即先胜两局者赢得比赛，同时比赛结束)进行比赛，求甲队获胜的概率;
(2)若比赛有三局两胜制(即先胜两局者赢得比赛，同时比赛结束)和五局三胜制(即先胜三局者赢得比赛， 同时比赛结束)两种选择， 从概率角度考虑， 甲队如何选择对自己更有利? 请说明理由.
【答案】(1)
(2)选择五局三胜制对甲队更有利，理由见解析
【分析】（1）用表示事件 “第局甲队胜” ， 表示事件 “第局乙队胜” ，设表示事件“三局两胜制下甲队获胜”，得到，结合相互独立事件和互斥事件的概率公式，即可求解；
（2）用表示事件 “ 局赛完，甲队胜” ，设 表示事件“五局三胜制下甲队获胜”，根据相互独立事件的概率公式，求得，即可求解.
【详解】（1）解：用表示事件 “第局甲队胜” ， 表示事件 “第局乙队胜” ( )，
则 ，
设表示事件“三局两胜制下甲队获胜”，则 ，
由各局比赛结果相互独立，且事件互斥，
所以.
（2）解：用表示事件 “ 局赛完，甲队胜” ，
则 ，
设 表示事件“五局三胜制下甲队获胜”，则，
由各局比赛结果相互独立，且事件 互斥，
所以，
因为，所以选择五局三胜制对甲队更有利.
5．已知甲、乙两位同学参加某高校的入学面试．入学面试中有3道难度相当的题目，已知甲答对每道题目的概率都是 ，乙答对每道题目的概率都是 ．若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止．假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人互不影响．
(1)求甲第二次答题通过面试的概率；
(2)求乙最终通过面试的概率；
(3)求甲、乙两人至少有一人通过面试的概率．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意甲第二次答题通过为，从而可求解；
（2）乙通过最终面试分：第一次答题通过、第二次答题通过、第三次答题通过共三种情况讨论，即可求解；
（3）甲、乙两人至少有一人通过面试的对立事件是甲、乙两人都没有通过面试，从而可求解.
【详解】（1）由题意得：甲第二次通过面试的概率为：，
故甲第二次答题通过面试的概率为.
（2）乙通过最终面试分：第一次答题通过、第二次答题通过、第三次答题通过共三种情况：
第一次答题通过的概率为；
第二次答题通过的概率为，
第三次答题通过的概率为，
则乙最终通过面试的概率为.
（3）甲、乙两人至少有一人通过面试的对立事件是甲、乙两人都没有通过面试，
则甲、乙两人都没有通过面试的概率为，
所以甲、乙两人至少有一人通过面试的概率为.
故甲、乙两人至少有一人通过面试的概为.
6．五一假期后，高二年级篮球赛进入白热化阶段，甲、乙、丙三支种子队在进入半决赛之前不会相遇．他们都需要在最后一轮小组赛中战胜对手从而进入淘汰赛，然后在淘汰赛中胜出才能进入半决赛．已知甲队在小组赛最后一轮和淘汰赛中获胜的概率分别为和；乙队在小组赛最后一轮和淘汰赛中获胜的概率分别为和；丙队在小组赛最后一轮和淘汰赛中获胜的概率分别为和，其中．
(1)甲、乙、丙三队中，谁进入半决赛的可能性最大？
(2)若甲、乙、丙三队中恰有两队进入半决赛的概率为，求的值；
(3)在（2）的条件下，设甲、乙、丙三队中进入半决赛的队伍数为，求的分布列及期望．
【答案】(1)乙队进入半决赛的可能性最大
(2)
(3)分布列见解析；期望为
【分析】（1）根据题意，利用相互独立事件的概率乘法公式，分别求得甲乙丙进入半决赛的概率，即可求解；
（2）由甲、乙、丙三队中恰有两队进入半决赛的概率，结合列出方程，即可求解；
（3）根据题意，得到的可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，结合期望公式，即可求解.
【详解】（1）由题意，甲队进入半决赛的概率为，乙队进入半决赛的概率为，
丙队进入半决赛的概率为，
因为，所以，
显然乙队进入半决赛的概率最大，所以乙进入半决赛的可能性最大.
（2）因为甲、乙、丙三队中恰有两队进入半决赛的概率为，
所以，
解得或，
因为，所以.
（3）由题意可知：甲、乙、丙三队进入半决赛的概率分别为，
且随机变量的可能取值为，
可得，，
，，
所以的分布列为:
所以，期望为.

题型四 超几何分布
【技巧通法·提分快招】
1．（25-26高三上·湖北·开学考试）高考结束后，小明一家四口到阳新仙岛湖度假，中午在某餐厅就餐，该餐厅推出七种特色美食，其中有1种汤类，3种炒菜类，3种米面类，小明一家要点四道美食（每道不重复）．
(1)小明家点一道汤和恰好一种米面类美食的不同组合方式有多少种？
(2)用随机变量表示所选美食中米面类的数量，求的分布列和期望．
【答案】(1)9
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据分步乘法计数原理，结合组合即可求解，
（2）根据超几何分布的概率公式求解概率，即可得分布列，由期望公式即可求解.
【详解】（1）汤有一种选择；米面类美食三种里选择一种方法数为；其他菜类3种里选择2种方法数为；
不同组合共计（种）
（2）的可能取值有0、1、2、3；
分布列为：
所以；
2．（2025·浙江·模拟预测）幸得三月樱花舞，从此阡陌多暖春.又到春暖花开时，校园的樱花如约而至.浸润在春风里的樱花，绚烂柔美，青春美好，尽显春日浪漫.师生共赏樱花盛景，不负这盛世春光.每年樱花季，若在樱花树下流连超10小时，则称为“樱花迷”，否则称为“非樱花迷”.从全校随机抽取30个男生和50个女生进行调查，得到数据如表所示：
(1)求的值；
(2)根据小概率值的独立性检验，判断“樱花迷”与性别是否有关联？
(3)现从抽取的50个女生中，用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记这3人中“非樱花迷”的人数为，求的分布列和数学期望.
附：参考公式：，其中.
【答案】(1)
(2)无关联
(3)分布列见解析，
【分析】（1）根据表格中的数据和已知条件即可求出答案；
（2）首先作出零假设，然后计算卡方值，然后与值作比较，进而可得到假设是否成立；
（3）首先列出的可能取值，然后计算每个取值的概率值，进而可得到的分布列，最后可计算的数学期望.
【详解】（1）由题意可得，解得；
（2）零假设：“樱花迷”与性别无关联，
根据列联表中的数据，经计算得到：，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
即“樱花迷”与性别无关联；
（3）用分层抽样方法抽取10人，则“樱花迷”有8人，“非樱花迷”有2人，
故的可能取值为0，1，2，
则，
所以的分布列为
故.
3．（25-26高三上·天津·开学考试）巴东一中组织庆五一教职工篮球活动，我们年级有10名教职工参加，其中有6名理科教师、4名文科教师，为活动的需要，要从这10名教师中随机抽取3名教职工去买比赛服装.
(1)已知10名教师中有2名班主任，求抽取的3名中至少有1名班主任的概率；
(2)设表示抽取的3名教师中文科教师的人数，求的分布列及数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，期望为
【分析】（1）根据排列组合求解个数，结合古典概型以及对立事件的概率公式即可求解，
（2）利用超几何分布的概率公式求解概率，即可得分布列，由期望公式计算期望.
【详解】（1）由于10名教师中有2名班主任，则10名教师中有8名不是班主任，
若抽取的3名中没有班主任，则有种抽法，从10名教师中随机抽取3名教职工的方法有种，
故抽取的3名中至少有1名班主任的概率为
（2）的所有可能取值有：0，1，2，3，
故的分布列为：
故期望为：
4．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）袋中有8个大小相同的球，其中有3个黄球、5个白球，从中随机地连续抽取2次，每次取1个球．
(1)若每次抽取后都放回，设取到黄球的个数为，求；
(2)若每次抽取后都不放回，设取到黄球的个数为，求的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列间解析；.
【分析】（1）根据二项分布的有关公式求值计算.
（2）根据超几何分布的公式计算求值.
【详解】（1）每次抽取后都放回，则取到黄球的个数，
所以，，
所以.
（2）每次抽取后都不放回则取到黄球的个数的值可能为：0,1,2.
且，，.
所以的分布列为：
所以.

题型五 正态分布
【技巧通法·提分快招】
1．（2024·重庆·模拟预测）某中学为提升学生们的数学素养，激发大家学习数学的兴趣，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，分为初赛和复赛两个环节，初赛成绩排名前两百名的学生参加复赛．已知共有8000名学生参加了初赛，现从参加初赛的全体学生中随机地抽取100人的初赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图：

(1)规定初赛成绩中不低于90分为优秀，8090分为良好，7080分为一般，6070分为合格，60分以下为不合格，若从上述样本中初赛成绩不低于80分的学生中随机抽取2人，求至少有1人初赛成绩优秀的概率，并求初赛成绩优秀的人数的分布列及数学期望；
(2)由频率分布直方图可认为该校全体参加初赛学生的初赛成绩服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生初赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且．已知小华的初赛成绩为85分，利用该正态分布，估计小华是否有资格参加复赛？
（参考数据：；若，则，，．
【答案】(1)至少有1人初赛成绩优秀的概率为，分布列见详解，.
(2)估计小华有资格参加复赛.
【分析】（1）根据频率分布直方图求得初赛成绩不低于80分的学生人数，再根据超几何分布写出随机变量的分布列，进而求得概率和数学期望；
（2）根据频率分布直方图估计正态分布的均值，进而利用原则估计全校参加初赛的学生中成绩不低于85分的人数，即可估计小华是否有资格参加复赛.
【详解】（1）由频率分布直方图可知，
样本中位于区间内的人数：，
样本中位于区间内的人数：，
抽取的2人中成绩优秀的人数可能的取值有0，1，2
， ，
所以的分布列为
因此，至少有1人初赛成绩优秀的概率，
数学期望.
（2）由频率分布直方图可知：
，
由，得，又，
所以，
所以全校参加初赛学生中，不低于85分的约有人，
因为，所以估计小华有资格参加复赛.
2．（2025·江西萍乡·三模）某数学研究小组对一家商铺进行了研究分析，发现每日客流量X服从正态分布，其密度函数峰值为，均值为100，且商铺规定消费一次可以获得不同数量的积分：获得1分的概率为，获得2分的概率为，获得3分的概率为.每次消费获取积分相互独立.
(1)求；
(2)记某顾客消费两次累计获得的积分为Z，求Z的分布列与期望.
附：正态密度函数，其中为均值，为标准差.，，.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）先求出，结合特定区间上的概率可求；
（2）利用独立事件的概率公式求出的分布列后可求其期望.
【详解】（1）由于，所以，
所以.
那么
.
（2）依题意，所有可能的取值为2，3，4，5，6.
，，
，，
.
所以的分布列如下.
.
3．（2025高三下·辽宁沈阳·专题练习）某公司生产的糖果每包标识“净含量500g”，但公司承认实际的净含量存在误差．已知每包糖果的实际净含量（单位：g）服从正态分布．
(1)随机抽取1包该公司生产的糖果，求其净含量误差不小于5g的概率（精确到0.001）；
(2)随机抽取2包该公司生产的糖果，其净含量误差均不小于5g，检测员根据抽检结果，判断生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由．
(3)随机抽取3包该公司生产的糖果，记其中净含量小于497.5g的包数为．求的分布列和期望（精确到0.001）．
说明：对任何一个正态分布来说，通过转化为标准正态分布，从而查标准正态分布表得到．
参考数据：，，，其中为标准正态分布函数，具有性质．
【答案】(1)0.046
(2)检测员的判断是合理的，理由见解析
(3)分布列见解析，数学期望为
【分析】（1）根据正态分布的性质即可求解；
（2）计算这两包糖果其净含量误差均不小于5g的概率，并用这个概率值的大小下结论；
（3）先求任取一包糖果，净含量小于497.5g的概率，服从二项分布，即可求解.
【详解】（1）由题意，，的概率等于．
令，则．因此，．
故净含量误差不小于5g的概率约为0.046．
（2）检测员的判断是合理的．因为如果生产线不出现异常，由（1）可知，随机抽取2包检查，其净含量误差不小于5g的概率约为，几乎为零，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认为生产线出现了异常，检测员的判断是合理的．
（发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为设备运转异常，需对设备进行检修．酌情给分）．
（3）可能的取值为、、、．
由（1）可知，任取一包糖果，净含量小于497.5g的概率为．
故服从二项分布，记，
，，，
从而的分布列为
因此．
4．（2025·四川绵阳·模拟预测）某汽车公司拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造，根据市场调研与模拟，得到科技改造投入（亿元）与科技改造直接收益（亿元）的数据统计如下：
当时，建立了y与x的两个回归模型：模型①；模型②：；
(1)根据下列表格中的数据，比较当时模型①、②的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为16亿元时的直接收益.
（附1：刻画回归效果的相关指数）
(2)科技改造后，“东方红”款汽车发动机的热效率X大幅提高，X服从正态分布，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若发动机的热效率不超过50%，不予鼓励；若发动机的热效率超过50%但不超过53%，每台发动机奖励2万元；若发动机的热效率超过53%，每台发动机奖励4万元.求每台发动机获得奖励的分布列和数学期望.
（附2：随机变量服从正态分布，则，.）
【答案】(1)模型①的小于模型②，模型②
(2)分布列见解析，
【分析】（1）利用表格数据比较两个模型的相关指数的大小，把数据代入模型可得答案；
（2）利用正态分布求出概率，结合期望公式可得答案.
【详解】（1）由表格中的数据，有182.4>79.2，
因为，
所以模型①的小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好，
所以当亿元时，科技改造直接收益的预测值为：（亿元）；
（2）因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
设每台发动机获得的奖励为Y（万元），则Y的分布列为：
所以每台发动机获得奖励的数学期望
（万元）.

题型六 其他离散型随机变量的分布列
【技巧通法·提分快招】
1．（24-25高三上·云南大理·开学考试）一个不透明的口袋中装有3个红球、2个黄球和2个绿球，这些球除颜色外其他完全相同，现从这个口袋中一次性地摸出3个球.
(1)求摸出的红球个数比黄球个数多的概率；
(2)记摸出的球的颜色种类为，求的分布列与期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据互斥事件的概率加法公式和古典概率公式计算即可；
（2）确定的所有可能取值为1，2，3，分别求出对应事件的概率，列出分布列，求出数学期望即可.
【详解】（1）由摸出的红球个数比黄球个数多，可知摸出的球可能为3个红球，可能为2个红球和1个黄球（或1个绿球），可能为1个红球和2个绿球，
其中摸出3个红球的概率为，
摸出2个红球和1个黄球（或1个绿球）的概率为，
摸出1个红球和2个绿球的概率为，
故摸出的红球个数比黄球个数多的概率为.
（2）由题可知，的所有可能取值为1，2，3，
，，，
则的分布列为
故.
2．（25-26高三上·浙江杭州·开学考试）人工智能（ArtificialIntelligence），英文缩写为AI.是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究､开发用于模拟､延伸和扩展人的智能的理论､方法､技术及应用系统的一门新的技术科学.如今利用“人工智能”的场景屡见不鲜，从帮助记忆单词､解答难题､到人机比赛，它的身影无处不在.小明和智能机器人进行一场“网球”比赛，规则为：比赛采用三局两胜制（率先获得两局比赛胜利者获得最终的胜利，且比赛结束），已知小明第一局获胜的概率为.从第二局开始，如果上一局获胜，则本局获胜的概率为；如果上一局失败，则本局获胜的概率为，每局比赛均没有平局.
(1)在小明以获得比赛胜利的条件下，求在第二局比赛中小明获胜的概率；
(2)记整场比赛小明的获胜局数为，求的分布列和期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，期望为
【分析】（1）设出事件，利用条件概率的公式可得答案；
（2）求出的取值，分别求解对应的概率，利用期望公式可得答案.
【详解】（1）设事件“小明以获得比赛胜利”， “第二局比赛中小明获胜”，
若小明以获得比赛胜利，则三局比赛的结果为：赢输赢，输赢赢，共两种情况，
所以，
，
，即在小明以获得比赛胜利的条件下，在第二局比赛中小明获胜的概率为.
（2）由题意的所有取值为0,1,2.
，
，
；
的分布列为
的期望为.
3．袋中有除颜色外完全相同的2个白球和3个黑球.
(1)采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记X为摸出的白球个数，求X的分布列、均值和方差；
(2)采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记Y为摸出的白球个数，求Y的分布列、均值和方差.
【答案】(1)分布列见解析，，
(2)分布列见解析，，
【分析】（1）由题意，根据相互独立事件概率的计算公式求出概率，写出分布列，计算期望与方差即可；
（2）根据古典概型计算公式，计算概率写出分布列，结合数学均值与方差公式进行求解即可.
【详解】（1）因为采取放回抽样方式，所以每次摸一个白球的概率为，每一次摸一个黑球的概率为，
由题意可知：，
，由（1）可知：，，
所以X的分布列为：
，
.
（2）由题意可知：，
，，，
所以Y的分布列为：
，
．
4．（25-26高三上·湖北黄冈·期中）某学校心理咨询老师为了对一份心理健康测试卷进行评估，安排了一个实验组参与测试，实验组由已经确诊为心理异常的青少年患者和心理健康的青少年组成，其中心理异常者占10%.测试结果显示，确诊心理异常的测试者中有80%的测试卷诊断呈阳性；另一方面，心理健康的测试者中有10%的测试卷诊断也呈阳性.
(1)从测试卷中随机抽取一份，在该测试卷诊断结果为阴性的条件下，测试者为心理异常的概率是多少?
(2)如果参与本次测试的实验组总人数为100人，那么其中确诊为心理异常者的测试卷中有若干份被误诊为阴性，在此称之为漏诊卷.专家们要对这几份漏诊卷作进一步的分析.现在采取不放回的方式从这10份确诊为心理异常者的测试卷中每次随机抽取一份，直到把所有漏诊卷找出来.若已经抽取的5份测试卷均不是漏诊卷，设还需要抽取份才可以找出所有漏诊卷，写出的分布列并计算.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用条件概率以及全概率公式直接代入计算可得结果；
（2）计算出样本中漏诊卷为2份，并根据剩余试卷中的漏诊份数写出的所有可能取值，求出对应概率即可得出分布列和期望值.
【详解】（1）依题意记“确诊为心理异常”为事件，则“确诊为心理健康”为；
“测试卷诊断结果为阳性”为事件，“测试卷诊断结果为阴性”为事件，
易知；
所以，可得；
在该测试卷诊断结果为阴性的条件下，测试者为心理异常的概率是；
所以，
因此在该测试卷诊断结果为阴性的条件下，测试者为心理异常的概率为；
（2）由实验组总人数为100人，心理异常者占10%可得心理异常者共10人，
又确诊心理异常的测试者中有80%的测试卷诊断呈阳性，所以诊断卷为阳性的共8人，阴性的2人，即漏诊卷为2份，
若已经抽取的5份测试卷均不是漏诊卷，则剩下的5份测试卷中还有2份漏诊卷，
设还需要抽取份才可以找出所有漏诊卷，则的所有可能取值为2,3,4；
可得；
；
；
则的分布列为
所以
5．（25-26高三上·重庆·月考）某汽车品牌计划推出两款新车型：纯电动版（EV）和插电混动版（PHEV）在某市随机调查了300名消费者的购买意愿，调查数据按收入水平分组如下表（单位：人）.
假设所有消费者的购买意愿相互独立，用频率估计概率.
(1)从该市全体消费者中随机抽取1人，估计其愿意购买纯电动版（EV）的概率；
(2)假设该市社区内的低收入，中收入和高收入的消费者人数之比为，从社区的全体消费者中随机抽取1人，将其愿意购买纯电动版（EV）的概率估计值记为，试比较与的大小；
(3)从该市全体中收入群体和高收入群体中各自随机抽取2人，记为这4人中愿意购买插电混动版（PHEV）的人数，求的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)
(3)分布列见解析，
【分析】（1）利用给定数表，求出频率估计概率.
（2）根据给定条件，利用全概率公式列式计算，进而比较大小.
（3）求出的可能值，再求出各个值对应的概率，列出分布列并求出期望.
【详解】（1）由表可知300名调查者中愿意购买纯电动版人数为180人，频率为，
用频率估计概率，从顾客中随机抽取1人，估计该名顾客愿意购买纯电动版的概率估计为.
（2）低收入者愿意购买纯电动版（EV）的概率为；
中收入者愿意购买纯电动版（EV）的概率为；
高收入者愿意购买纯电动版（EV）的概率为．
利用全概率公式可得：．
（3）用频率估计概率，从全市中收入群体中随机抽1人，愿意购买插电混动版（PHEV）的概率估计，
从全市高收入群体中随机抽取1人，愿意购买插电混动版（PHEV）的概率，
的可能取值为0，1，2，3，4，
，
，
，
，
，
所以的分布列为
常数期望．

题型七 随机变量的期望与方差的性质
【技巧通法·提分快招】
1．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）已知离散型随机变量服从二项分布，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据二项分布的期望和方差的公式可求解AC，根据方差和期望的性质可求解BD.
【详解】由于服从二项分布，故，，故AC错误，
,,故C错误，D正确，
故选：D
2．若投掷一枚图钉，每次针尖向上的概率都是，连续投掷3次，记针尖向上的次数为随机变量，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】运用二项分布的概率公式，结合期望方差公式计算判断即可.
【详解】因为，所以，故A错误；
，故B错误；
，，所以，，故正确，错误.
故选：C.
3．已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【分析】根据随机变量分布列的性质列式求出，计算，再根据期望，方差的性质计算求解.
【详解】由离散型随机变量的性质可得，解得，
则，，
所以，．
故选：A.
4．（23-24高二下·吉林长春·月考）已知随机变量的分布列是
随机变量的分布列是
下列选项中正确的是（ ）
A．B．当p增大时，递减
C．D．当p增大时，递增
【答案】D
【分析】利用随机变量的期望公式、方差公式结合函数的性质一一判定选项即可.
【详解】由离散型随机变量的期望公式可知，
，显然A，B错误；
由离散型随机变量的方差公式可知：，
，
即，故C错误；
由，由二次函数的单调性可知D正确.
故选：D
5．（2025·山东·模拟预测）小王到某公司面试，一共要回答道题，每道题答对得分，答错倒扣分，设他每道题答对的概率均为，且每道题答对与否相互独立，记小王答完道题的总得分为，则当取得最大值时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设答对题的个数为，由条件可得，结合二项分布期望公式和方差公式求，，根据关系，结合期望性质和方差性质求，，由此可得的解析式，再根据二次函数性质求结论.
【详解】设答对题的个数为，由已知可得，
所以，，
因为每道题答对得分，答错倒扣分，为小王答完道题的总得分，
所以，
所以，
，
所以，又，
所以当时，取最大值，最大值为.
故选：C.

检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．已知随机变量服从两点分布，且，设，那么的值是（ ）
A．0.84B．0.7C．0.4D．0.3
【答案】A
【分析】由已知结合两点分布的方差公式和方差性质即可求解.
【详解】因为随机变量服从两点分布，
所以由题，又，
所以.
故选：A.
2．设离散型随机变量的分布列为
若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（ ）
A．B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】选项A，利用分布列的性质，即可求解；利用期望和方差的计算公式，即可判断出选项B和C的正误；选项D，利用期望和方差的性质，即可求解.
【详解】对于选项A，因为，解得，所以选项A正确，
又，，
所以选项B错误，选项C正确，
对于选项D，因为，所以，，所以选项D正确，
故选：B.
3．某企业拟定4种改革方案，经统计它们在该企业的支持率分别为，，，，用“”表示员工支持第种方案，用“”表示员工不支持第种方案，那么方差，，，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题意可知：随机变量服从两点分布，由两点分布的方差公式可解.
【详解】由题意可知：用“”表示员工支持第种方案，用“”表示员工不支持，第种方案，
所以随机变量服从两点分布，
则，，
，，
所以，D选项正确.
故选：D
4．已知随机变量服从二项分布，且，，则（ ）
A．7B．3C．6D．2
【答案】B
【分析】根据方差的性质求出，再由二项分布的方差公式得到方程，求出，再检验，即可求出，再由期望的性质计算可得.
【详解】由题意得，所以，
又，则，解得或．
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意．
所以，所以，所以．
故选：B
5．甲同学参加综合素质测试，该测试共有6个项目．已知甲同学每个项目合格的概率均为，合格得3分，不合格扣2分，且各项目是否合格相互独立．设6个项目测试完后甲的总得分为Y，期望为，方差为，当最大时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用二项分布的期望、方差公式，结合、方差的性质列式求出最大值.
【详解】依题意，合格项目的个数，则，，
由每个项目合格得分，不合格扣2分，得甲的总得分，
因此，，
则，又，
所以当时，取得最大值.
故选：C
6．建盏为宋代名瓷之一，是中国古代黑瓷的巅峰之作，其采用福建建阳特有的高铁黏土和天然釉矿为原料烧制而成，工艺难度大，成功率低．假设建盏烧制开窑后经检验分为成品和废品两类，现有建盏6个，其中3个由工匠甲烧制，3个由工匠乙烧制，甲、乙两人烧制建盏的成品率分别为，．
(1)求甲烧制的3个建盏中至多有2个成品的概率；
(2)设乙烧制的这3个建盏中成品的个数为，求的分布列．
【答案】(1)
(2)分布列见解析
【分析】（1）利用间接法求解；
（2）判断X属于二项分布，并求出X的可能取值, 求出每个取值对应的概率，列表即可
【详解】（1）设甲烧制的3个建盏中成品的个数为，则的对立事件为，
，故．
（2）由题可知．
的可能取值为0，1，2，3，
所以，
，
，
，
所以的分布列为
7．（2025·浙江嘉兴·二模）甲、乙两选手进行羽毛球比赛，比赛采用5局3胜制，如果每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，求：
(1)赛完4局且甲获胜的概率；
(2)在第3局乙获胜的情况下，最终是甲获胜的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据第4局甲胜，前3局甲胜两局可求概率；
（2）先求第3局乙获胜的概率，再求出第3局乙获胜且甲最终获胜的概率，从而可得所求的条件概率.
【详解】（1）赛完4局，甲获胜，则第4局甲胜，前3局甲胜两局，
设事件为“赛完4局且甲获胜”，则.
（2）设为“甲获胜”，为“第3局乙获胜”，则，
事件包含两种情况，第3局乙获胜，第4局比赛后最终甲获胜和第3局乙获胜，第5局比赛后最终甲获胜，
其中第3局乙获胜，第4局比赛后最终甲获胜，则乙只在第3局获胜，概率为，
第3局乙获胜，第5局比赛后最终甲获胜，则第1,2,4局中，有1局乙获胜，有2局甲获胜，
第5局甲获胜，概率为，
而，
故.
8．（2025·广东·模拟预测）射频芯片在无线通信技术中起着至关重要的作用，其性能的好坏直接影响到通信的稳定性和效率．现从型号为SX1280与BGM220P的两款射频芯片中各抽取50枚芯片，每10枚芯片为一组，得到它们的频率参数表：
记型号为SX1280的射频芯片所得平均频率为，方差为；型号为BGM220P的射频芯片所得平均频率为，方差为．
(1)记．
（ⅰ）求，；
（ⅱ）已知：若，则称这两款射频芯片的电气参数相近．判断这两款射频芯片的电气参数是否相近，并证明．
(2)现从这10组射频芯片中抽取4组进行频率检测，求至少有3组的平均频率不低于24.2GHz的概率．
【答案】(1)（i），；（ii）相近，证明见解析
(2)
【分析】（1）根据平均数和方差的定义计算，进而判断；（2）判断此试验服从超几何分布，并分别求出抽出3组和4组时的概率，相加即可.
【详解】（1）（ⅰ）由题意可得.
（ⅱ）易得，
此时，故，
故可认为这两款射频芯片的电气参数相近．
（2）共有5组的平均频率不低于24.2GHz.
记事件：抽到i组芯片的平均频率不低于2.42GHz，
则，，
故至少3组的平均频率不低于24.2GHz 的概率为．
9．某校为了解高三学生每天的作业完成时长，在该校高三学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示：
用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响.
(1)从该校高三学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率；
(2)从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有人可以在2小时内完成各科作业，求的分布列和数学期望；
(3)从该校高三学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有人可以在3小时内完成各科作业，求的分布列和方差.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)分布列见解析，
【分析】（1）根据表格数据，结合频率公式，即可求解；
（2）根据条件，利用超几何分布概率公式，即可求解分布列，以及期望；
（3）根据题意可知，根据二项分布概率公式，即可求解.
【详解】（1）设“从该校高三学生中随机选取1人，这个学生可以在3小时内完成各科作业”为事件，
则.
（2）样本中“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生有（人），
其中可以在2小时内完成的有3人，的所有可能取值为0，1，2，3.
，，，，
的分布列为：
∴.
（3）由题意得，，


∴的分布列为：
∴.
10．（25-26高三上·山西长治·开学考试）某公司对新产品进行测试，测试分两个环节，第一个环节通过后才能进入第二环节测试，第一环节测试合格的概率为，若第一环节测试通过，则第二环节测试合格的概率为；若第一环节测试不合格，则无法进第二环节，设该产品最终测试合格的概率为，且每次测试结果相互独立．
(1)求的值；
(2)若连续2次进行测试，记为合格的次数，求的分布列及数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）设事件A表示“第一环节测试合格”，事件B表示“第二环节测试合格”，事件C表示“最终测试合格”，则，据此即可求解；
（2）服从二项分布，根据二项分布的分布列计算方法和数学期望计算公式即可求解．
【详解】（1）设事件A表示“第一环节测试合格”，事件B表示“第二环节测试合格”，事件C表示“最终测试合格”，
根据题意，由条件概率公式得，
已知，则，故；
（2）由（1）知，该产品测试合格的概率为，因连续2次测试相互独立，
故服从二项分布，即，
由二项分布概率公式得，
当时，；
当时，；
当时，；
由二项分布期望公式得．
11．（2025·上海徐汇·二模）某公司生产的糖果每包标识“净含量500g”，但公司承认实际的净含量存在误差. 已知每包糖果的实际净含量（单位：g）服从正态分布.
(1)随机抽取一包该公司生产的糖果，求其净含量误差超过5g的概率（精确到）；
(2)随机抽取3包该公司生产的糖果，记其中净含量小于497.5g的包数为. 求的分布和期望（精确到）.
参考数据：，，，其中为标准正态分布函数.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据正态分布的性质即可求解；
（2）先求任取一包糖果，净含量小于497.5g的概率，服从二项分布，二项分布即可求解.
【详解】（1）由题意，，的概率等于.
令，则.
因此，
.
故净含量误差超过5g的概率约为.
（2）可能的取值为0、1、2、3.
由（1）可知，任取一包糖果，净含量小于497.5g的概率为.
故服从二项分布，记，
，
从而的分布为
因此.
12．（24-25高三上·河北邢台·月考）贵妃杏是河南省灵宝市黄河沿岸地区的一种水果，其果实个大似鹅蛋，外表呈橙黄色，阳面有晕．贵妃杏口感甜美，肉质实心鲜嫩多汁，营养丰富，是河南省的知名特产之一．已知该地区某种植园成熟的贵妃杏（按个计算）的质量（单位：克）服从正态分布，且．从该种植园成熟的贵妃杏中选取了10个，它们的质量（单位：克）为，这10个贵妃杏的平均质量恰等于克．
(1)求．
(2)求．
(3)甲和乙都从该种植园成熟的贵妃杏中随机选取1个，若选取的贵妃杏的质量大于100克且不大于104克，则赠送1个贵妃杏；若选取的贵妃杏的质量大于104克，则赠送2个贵妃杏．记甲和乙获赠贵妃杏的总个数为，求的分布列与数学期望．
【答案】(1)100
(2)0.3
(3)分布列见解析，1.4
【分析】（1）由平均数的求法，直接求出的值；
（2）由正态分布的对称性即可算出结果.
（3）由数据得出个人获赠个数对应的概率，在得到两个人总共获赠可能个数及其对应的概率，从而得出分布列和数学期望.
【详解】（1）；
（2）因为，所以，
所以．
（3）设1人获赠贵妃杏的个数为，则．
依题意可得的可能取值为，
，
，
，
，
，
则的分布列为
所以.
13．（25-26高三上·河北衡水·开学考试）已知每门大炮击中目标的概率都是，现在门大炮同时对某一目标各射击一次.
(1)当时，记目标被击中的次数为，求的分布列、数学期望和方差；
(2)如果使目标至少被击中一次的概率超过，至少需要多少门大炮？（，）
【答案】(1)分布列见解析，，
(2)12门
【分析】（1）由已知根据二项分布的概率计算公式分别计算概率，然后根据二项分布的期望和方差公式求解即可；
（2）由已知可得，然后根据对数的运算求解即可.
【详解】（1）的可能取值为0，1，2，3，4，
由，有，
，，
，，
随机变量的分布列为：
有，；
（2）由目标至少被击中一次的概率为，
又由目标至少被击中一次的概率超过，则，则，
所以，
所以至少需要12门大炮.
14．某工厂为了提高精度，采购了一批新型机器，现对这批机器的生产效能进行测试，对其生产的第一批零件的内径进行测量，统计绘制了如图所示的频率分布直方图．
(1)求的值以及这批零件内径的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记内径在区间内的零件个数为，求的分布列以及数学期望；
(3)已知这批零件的内径（单位：mm）服从正态分布，现以这批零件内径的平均数作为的估计值，这批零件内径的标准差作为的估计值，已知的近似值为0.105，则在这批零件中随机抽取200个，记内径在区间上的零件个数为，求的方差．
参考数据：若，则，，．
【答案】(1)，2.6
(2)分布列见解析，0.8
(3)26.88
【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1，及频率分布直方图中平均值的计算公式，求出相应的值即可；
（2）确定的可能取值，求出的不同值对应的概率，得到的分布列，再根据离散型随机变量数学期望的计算公式求出的数学期望即可；
（3）由正态分布的概率求法，求出内径在上的概率，再根据二项分布的定义判定，最后根据二项分布方差的计算公式求出的方差．
【详解】（1）由，得．
这批零件内径的平均值2.6.
（2）由题意知，内径在区间内的频率为，则，
的可能取值为0，1，2，3，4，
则，，，，，
因此可得的分布列：
则的数学期望0.8，
或，所以；
（3）由题意知，，，
又，，
则．
由二项分布的定义知，
由二项分布的方差公式知，26.88．
15．甲、乙两名同学与同一台围棋机器人“阿尔法”进行围棋比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得3分；如果甲输而乙赢，则甲得分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分．设甲赢机器人的概率为0.5，乙赢机器人的概率为0.4．求：
(1)在一轮比赛中，甲的得分X的分布列；
(2)在两轮比赛中，甲的得分Y的分布列及其均值和方差．
【答案】(1)答案见解析
(2)分布列见解析；期望为，
【分析】（1）求出的可能值，利用相互独立事件的概率公式求出对应概率，列出分布列.
（2）求出的可能值，由（1）的信息求出对应概率，列出分布列并求出期望、方差.
【详解】（1）X的可能取值为：，
，，，
X的分布列为
（2）Y的可能取值为：，
由（1）得，，，
，，
，
Y的分布列为：
所以，
.
16．（2025·江西萍乡·三模）某数学研究小组对一家商铺进行了研究分析，发现每日客流量X服从正态分布，其密度函数峰值为，均值为100，且商铺规定消费一次可以获得不同数量的积分：获得1分的概率为，获得2分的概率为，获得3分的概率为.每次消费获取积分相互独立.
(1)求；
(2)记某顾客消费两次累计获得的积分为Z，求Z的分布列与期望.
附：正态密度函数，其中为均值，为标准差.，，.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）先求出，结合特定区间上的概率可求；
（2）利用独立事件的概率公式求出的分布列后可求其期望.
【详解】（1）由于，所以，
所以.
那么
.
（2）依题意，所有可能的取值为2，3，4，5，6.
，，
，，
.
所以的分布列如下.
.
17．（25-26高三上·重庆·月考）某中学举行有关飞鸟知识的竞答比赛，甲、乙两名同学进入了最后的决赛阶段，该阶段需要两名同学分别从6个题目中随机地抽取3个题目来作答，已知6个题目中，有3个是甲擅长的，一定能答对，另外3个是甲不擅长的，每题答对的概率只有6个题目中，乙答对每个题目的概率均为;甲乙各次答题相互独立，在决赛阶段作答的3个题目中，记甲、乙答对的题目个数分别为X和Y.
(1)若求随机变量Y的数学期望和方差;
(2)求随机变量X的分布列;
(3)求在决赛阶段，乙至少答对一道题目的概率大于甲至少答对一道题目的概率时p的取值范围.
【答案】(1)；
(2)分布列见解析；
(3).
【分析】（1）根据二项分布的均值和方差公式计算即可；
（2）首先分析得的可能取值为0，1，2，3，再分别写出其分布列即可；
（3）根据正难则反的原则得到，解出即可.
【详解】（1）当时，，
.
（2）的可能取值为0，1，2，3且
，
，
，
的分布列为：
（3）乙至少答对一道题目的概率为，
甲至少答对一道题目的概率为，
由题得：，结合解得
18．（2025·江西·模拟预测）甲和乙两人进行足球射门比赛，规定先赢满三局的人获胜，且不存在平局.已知每局比赛中，甲赢的概率为，其中.
(1)若，分别计算比赛结束时甲赢的局数为2的概率及局数为3的概率；
(2)记为在甲和乙进行了4局比赛分出胜负的条件下甲获胜的概率，为在甲和乙进行了5局比赛分出胜负的条件下甲获胜的概率，若，求的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）比赛结束时甲赢的局数为2局即前4局甲赢2局，最后一局乙赢；甲赢的局数为3局即前4局甲赢2局最后一局甲赢，或者是前三局甲赢.
（2）分别计算在4局和5局结束时甲获胜的条件概率，并通过比较大小求解取值范围.
【详解】（1）记比赛结束时甲赢的局数为，
当时，比赛结束共打了5局，甲在前4局中赢2局，其余3局是乙赢，
则，
当时，比赛结束共打了3、或4、或5局，即连打3局都是甲赢、
或打4局发生甲赢前3局中2局和第4局、或打5局发生甲赢前4局中2局和第5局，
则.
（2）记事件为“进行了4局比赛分出胜负”，
则
记事件为“甲获胜”，则事件为“进行了4局比赛且甲获胜”，
则
因此，在进行了4局比赛分出胜负的情况下，甲获胜的概率为，
记事件为“进行了5局比赛分出胜负”，
则
则表示“进行了5局比赛且甲获胜”，
故
因此，在进行了5局比赛分出胜负的情况下，甲获胜的概率为，
依题意有，
所以.
19．（25-26高三上·浙江湖州·开学考试）某学校为了提升学生学习数学的兴趣，举行了“趣味数学”闯关比赛，每轮比赛从10道题中任意抽取3道回答，每答对一道题积1分．已知小明同学能答对10道题中的6道题．
(1)求小明同学在一轮比赛中所得积分X的分布列和期望：
(2)规定参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，若参赛者每轮闯关成功的概率稳定且每轮是否闯关成功相互独立，问：小明同学在10轮闯关比赛中，需几次闯关成功才能使得对应概率取值最大？
【答案】(1)分布列见解析，期望为；
(2)小明同学在10轮闯关比赛中，需7次闯关成功才能使得对应概率取值最大.
【分析】（1）根据已知有并求出对应概率，写出分布列，进而求期望；
（2）根据（1）及已知，记闯关成功的次数为，则，应用二项分布的概率公式及不等式法求概率最大对应参数值，即可得.
【详解】（1）由题意，，小明能答对10道题中的6道题且每答对一道题积1分，
所以，，，，
所以X的分布列如下，
所以；
（2）参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，记概率为，
若小明在10轮闯关比赛中，记闯关成功的次数为，则，
故，
若，则，
所以，则，可得，即
故小明在10轮闯关比赛中，需7次闯关成功才能使得对应概率取值最大.
20．某校数学建模社团招聘社长职位分笔试与面试两个环节，在笔试中有两轮答题：第一轮从类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分.若两轮总分不低于60分则进入面试环节.小红和小明参加此次招聘活动，已知小红对类每个问题的答对的概率均为0.5.在类的5个问题中，小明只能答对4个问题，在类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响.
(1)求小明在第一轮得40分的概率；
(2)求小红两轮总分得60分的概率；
(3)试判断小红和小明谁更有机会进入面试环节？
【答案】(1)
(2)
(3)小明谁更有机会进入面试环节.
【分析】（1）对A类的5个问题进行编号：，设小明只能答对4个问题的编号为：，列出所有的样本空间，即可求出小明在第一类得40分的概率；
（2）小红两轮总分得60分，只能有两种得分情况：小红第一轮答错一题得分，第二轮答对两题得分或当小红第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分，求对应事件的概率再求和即可得解.
（3）依题意能够晋级复赛，则第一轮答对两题得分，第二轮答对一题得分；或第一轮答对两题得分，第二轮答对两题得分；或第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分；或第一轮答对一题得分，第二轮答对两题得分；分别求出小红和小明晋级复赛的概率，进行比较得出结论.
【详解】（1）对A类的5个问题进行编号：，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，
则有共种，
设小明只能答对4个问题的编号为：，
则小明在第一轮得40分，有共种，
则小明在第一轮得40分的概率为：；
（2）设“小红两轮总分得60分”为事件，“小红第一轮答错一题得分，
第二轮答对两题得分”为事件;“小红当第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分”.
则,
;
.
（3）由（1）知，小明在第一轮得40分的概率为，
则小明在第一轮得0分的概率为：，
依题意，两人能够晋级复赛，即两轮总积分不低于60分
当第一轮答对两题得分，第二轮答对一题得分时，
小红和小明晋级复赛的概率分别为：
；
；
当第一轮答对两题得分，第二轮答对两题得分时，
小红和小明晋级复赛的概率分别为：
；；
当第一轮答错一题得分，第二轮答对两题得分时，
小红和小明晋级复赛的概率分别为：
；；
当第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分时，
小红晋级复赛的概率分别为：
；
小红晋级复赛的概率为：；
小明晋级复赛的概率为：；
，
小明更有机会进入面试环节.
21．甲、乙两位同学进行纸飞机比赛，设各局比赛的结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为（），乙获胜的概率为．比赛规则如下：三局两胜制指有一方获胜两局，比赛结束;四局三胜制指有一方获胜三局，比赛结束．
(1)若，比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率;
(2)证明采用三局两胜制比采用四局三胜制对甲更有利；
(3)若，甲、乙进行了局比赛，表示甲获胜的局数，当且仅当时，取得最大值，其中，求满足条件的的值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)18
【分析】（1）根据独立事件的概率计算公式进行计算；
（2）根据题意，分别求出采用三局两胜制和四局三胜制甲最终获胜的概率，作差比大小即可得结论；
（3）根据二项分布得，，记，分析的单调性，可得最大时，对应的值．
【详解】（1）根据题意可知，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，
若采用三局两胜制，则最终获胜的两种可能的比分为或．
因为每局比赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率；
（2）证明：若用三局两胜制，由（1）可得甲最终获胜的概率．
若采用四局三胜制，则甲最终获胜的三种可能的比分为，，
因为每局比赛的结果是独立的，可得甲最终获胜的概率，
所以恒成立，
故采用三局两胜制比采用四局三胜制对甲更有利；
（3）易得，，，
记，
则，
由，得，
即当时，，当时，，
故当时，最大、所以的估计值为18．

检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（2025·四川南充·模拟预测）“你好！我是DeepSeek，很高兴见到你！我可以帮你写代码，读文件，写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活的方式，某校组织“AI模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束.规定：对同一道题目，两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得-10分，比赛结束累加得分为正数者获胜，两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，若甲、乙两名选手正确回答每道题的概率分别为.
(1)求比赛结束后甲获胜的概率；
(2)求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）对于一道题而言，先分析甲得分的可能情况并求出概率，即可知道比赛结束后甲获胜的所有可能情况，再根据重伯努利试验的概率计算式计算即可；
（2）由（1）可知甲获胜的概率，只需计算出比赛结束后甲获胜的同时乙恰好回答对1道题的概率，再按照条件概率的计算式计算即可.
【详解】（1）当甲，乙同时回答第道题时，甲得分为，
所以，，，
比赛结束甲获胜时的得分可能的取值为10,20,30，
所以，，,
所以比赛结束后甲获胜的概率.
（2）设事件“比赛结束后甲获胜”，事件“比赛结束时乙恰好答对一道题”，
，
所以，
所以比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率为.
2．（25-26高三上·湖北·期中）欲从甲、乙两个无线通信设备中选出一个稳定设备作为应急通信设备，现对这两个设备轮流发送信号进行测试，每次发送一组信号.已知甲设备每次发送信号成功的概率为，乙设备每次发送信号成功的概率为，且每次信号发送结果互不影响.
约定1：任选一个设备发送一组信号，若信号发送成功，便成为稳定设备；
约定2：从甲设备开始发送信号，轮流发送进行测试，先发送信号成功的设备为稳定设备，当决定出稳定设备或两设备都发送信号3次均失败，结束测试.
(1)按照约定1，求在发送一次信号就成功的条件下，甲设备成为稳定设备的概率；
(2)按照约定2，
（i）两个设备共发送信号不超过4次时，求甲设备成为稳定设备的概率；
（ii）测试结束时，求乙设备发送信号次数的分布列与数学期望.
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）分布列见解析，
【分析】（1）根据条件概率的计算公式即可求解，
（2）（i）根据互斥事件及独立事件的概率公式即可求解，（ii）由相互独立事件的概率公式求解概率，即可得分布列，进而根据期望公式求解.
【详解】（1）设“任选一个设备发送信号，该设备是甲设备”为事件，“任选一设备发送信号，该设备是乙设备”为事件，“任选一个设备发送信号，该设备发送信号成功”为事件，
所以，，，
在发送一次信号就成功的条件下，甲设备成为稳定设备的概率为
.
（2）（i）发送信号1次，甲设备成为稳定设备的概率为，
发送信号3次，甲设备成为稳定设备的概率为，
两个设备共发送不超过4次时，甲设备成为稳定设备的概率为
（ii）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
所以的分布列为：
所以数学期望为.
3．（25-26高三上·北京房山·月考）体育测试成绩分为四个等级：优、良、及格、不及格.某校为了解学生的体质健康情况，在高一、高二年级分别抽取名学生进行测试，测试的结果如下：
(1)从全体高一学生中随机抽取人，估计该学生的测试成绩为“优”或“良”的概率；
(2)从样本中高一年级和高二年级中各随机抽取人，以表示这两个人中测试成绩为“优”的人数，求的分布列和数学期望；
(3)已知高一学生升入高二后，进行体育抽测的学生不变.现从这名抽测的学生中随机抽查人，发现他们的测试成绩都为“优”.结合表格数据，能否认为学生升入高二后体育成绩为“优”的人数有变化？说明理由.
【答案】(1)；
(2)分布列见解析，；
(3)答案见解析
【分析】（1）测试成绩为“优”或“良”的有人，故得到答案为；
（2）的所有可能取值为，设出事件，根据互斥事件和独立事件的概率公式得到相应的概率，得到分布列，计算出数学期望；
（3）计算出升入高二后，抽测学生不变，现抽查人，成绩都为优的概率，可以认为有变化，也可以无法确定有没有变化，理由充分即可.
【详解】（1）由题意知，样本中高一学生为人，测试成绩为“优”或“良”的有人.
记“从高一学生中任意抽取人，测试成绩为‘优’或‘良’”为事件，
则.
（2）的所有可能取值为.
记“从样本中高一年级学生中任意抽取人，测试成绩为‘优’”为事件，
记“从样本中高二年级学生中任意抽取人，测试成绩为‘优’”为事件，
由题意知，相互独立.
，，
则；
，
.
所以的分布列为
.
（3）记 “从样本高一学生升入高二后，抽测学生不变，现抽查人，成绩都为‘优’”为事件，
则.
答案示例1：可以认为有变化，理由如下：
比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为升入高二后成绩为“优”的人数有变化.
答案示例2：无法确定有没有变化，理由如下：
事件为随机事件，比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化.
4．（25-26高三上·宁夏固原·开学考试）甲、乙两名同学进行定点投篮训练，据以往的训练数据可知，甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，各次投篮互不影响．现甲、乙两人开展多轮次的定点投篮活动，每轮次各投2个球，每投进一个球记1分，不投进记分．
(1)求甲在一个轮次投篮结束后的得分不大于0的概率；
(2)记甲、乙每轮次投篮得分之和为X．
①求；
②若，则称该轮次为一个“成功轮次”．在连续轮次的投篮活动中，记“成功轮次”的数量为Y，当n为何值时，的值最大？
【答案】(1)；
(2)①；②或或．
【分析】（1）将问题转化成甲在一轮投篮中至多命中一次，再利用对立事件和相互独立事件同时发生的概率公式，即可求解；
（2）①由条件可得，再结合独立重复试验概率公式及互斥事件概率加法公式求结论；
②根据条件，得到，再由为不等式组的解，即可求.
【详解】（1）甲在一轮投篮结束后的得分不大于，即甲在一轮投篮中至多命中一次，
所以甲在一轮投篮结束后的得分不大于的概率为.
（2）①．
②由①知，由题知，
所以，
由，
得到且，
整理得到，即，
得到，所以，
由题有，所以，得到，又，
所以或或.
5．（25-26高三上·四川内江·月考）已知一个大盒子内装有6个黄乒乓球，个白乒乓球．
(1)甲乙两人从盒中进行随机摸球游戏：甲，乙两人轮流交替摸球，每次摸取一球，甲先摸球，直到两人中有一人摸到白乒乓球时游戏结束，每次摸出的小球均不再放回．当时，
（ⅰ）求乙在第1次恰好摸到白乒乓球的概率；
（ⅱ）记表示游戏结束时甲摸球的次数，求的分布列．
(2)整理盒中小球时，需将所有乒乓球排成一排，要求每个黄乒乓球至少与另一个黄乒乓球相邻．记不超过3个黄乒乓球排在一起的概率为p，若，求x的最小值．
【答案】(1)（ⅰ）（ⅱ）答案见解析
(2)6
【分析】（1）（i）根据甲第一次摸到黄乒乓球，接下来乙在第1次恰好摸到白乒乓球求概率即可；（ii）根据分布列的步骤求解即可；
（2）先将黄球分组，再利用插空法即可得出事件总数，进而求出概率即可得解.
【详解】（1）（i）由题意，乙第一次恰好摸到白球的概率为.
（ii）根据游戏规则，的取值可能为1，2，3，4，
；
；
；
；
所以的分布列为
（2）整理乒乓球时，要使得至少2个黄球相邻，则有“黄黄—黄黄—黄黄”，“黄黄黄—黄黄黄”，“黄黄—黄黄黄黄”，“黄黄黄黄—黄黄”，“黄黄黄黄黄黄”5种情况.
可以先排列白球，通过插空法，让黄球排列在白球与白球之间的空位上.
所以“黄黄—黄黄—黄黄”有种排法；
“黄黄黄—黄黄黄”，“黄黄—黄黄黄黄”，“黄黄黄黄—黄黄”均有种排法，总共种；
“黄黄黄黄黄黄”有种排法.
不超过3个黄球排在一起的情况只能为“黄黄—黄黄—黄黄”与“黄黄黄—黄黄黄”两种情况，
所以，即有，
解得或（舍去），所以x的最小值为6.
6．（2025·江苏常州·模拟预测）某校为庆祝建校百年，学校组织建校百年校友体育赛，赛事间隙举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球､足球､排球三类相关知识题量占比分别为．甲校友回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为．
(1)若甲校友在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率；
(2)若甲校友从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得分．设该校友回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望；
(3)知识竞赛规则：随机从题库中抽取道题目，答对题目数不少于道，即可获得奖励．现以获得奖励的概率大小为依据，若甲校友在和之中选其一，则他应如何选择？并说明理由．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)，理由见解析
【分析】（1）根据全概率公式即可求解，
（2）根据概率乘法公式求解概率，即可求解分布列和期望，
（3）对和求解对应的概率，利用作差法比较大小即可求解.
【详解】（1）设“甲校友所选的题目回答正确”，“所选的题目为篮球相关知识的题目”，
“所选的题目为足球相关知识的题目”， “所选的题目为排球相关知识的题目”，
则，且两两互斥．
根据题意得，，，，
则，
所以甲校友在该题库中任选一题作答，他回答正确的概率为．
（2）的可能取值为，
，
，
，
，
则的分布列为：
所以．
（3）当时，为甲校友答对题目的数量，
由题意可知，其中，
故当时，甲校友获得奖励的概率，
当时，甲校友获得奖励的情况可以分为如下情况：
①前8题答对题目的数量大于等于5，
②前8题答对题目的数量等于4，且最后2题至少答对1题，
③前8题答对题目的数量等于3，且最后2题全部答对，
故当时，甲校友获得奖励的概率，
所以，
因为，所以，即，
所以甲校友应选．
7．（25-26高三上·山西运城·期中）为响应全国乡村文化振兴活动，2025年在“潮艺焕彩－全民参与”活动中，某村新设置了投篮比赛，由一位投篮高手与多名挑战者进行对决，各局比赛结果相互独立．
(1)现由高手与甲、乙、丙三人各比赛一局，已知与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为．求比赛后高手共胜两局的概率；
(2)在（1）条件下，记高手连输两局的概率为，试判断高手在第二局与甲、乙、丙中的哪位比赛最大，并写出判断过程；
(3)若新赛制让甲和乙进行比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，没有平局，比赛进行到一方比另一方多2分为止，多得2分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立．若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数的分布列及期望的最大值．
【答案】(1)
(2)与乙比赛的概率最大，过程见解析
(3)分布列见解析，
【分析】（1）该擂主与甲、乙、丙比赛获胜分别为事件B，C，D，得到，结合相互独立事件的概率乘法公式，即可求解.
（2）根据题意，得到A第二局必输，且比赛顺序为乙甲丙和丙甲乙的概率均为，利用相互独立事件的概率乘法公式，分别求得A连输两局且第二局与甲比赛和第二局与乙比赛，以及第二局与丙比赛的概率，进而得到答案；
（3）根据题意，得到随机变量的所有可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，以及基本不等式，即可求解.
【详解】（1）解：设高手A胜两局为事件M，该擂主与甲、乙、丙比赛获胜分别为事件B，C，D，
则，
由各局比赛结果相互独立，可得事件B，C，D，相互独立，
所以，
所以高手A胜两局的概率为．
（2）解：A连输两局且第二局与乙比赛的概率最大.
依题意知，A第二局必输，且比赛顺序为乙甲丙和丙甲乙的概率均为，
所以A连输两局且第二局与甲比赛的概率为：
，
同理A第二局与乙比赛的概率为，
A第二局与丙比赛的概率为，
所以A连输两局且第二局与乙比赛的概率最大，且最大值为.
（3）解：因为没有平局，所以每局比赛结果仅有“甲获胜”或者“乙获胜”，则，
由题意得的所有可能取值为，
则
，
，
所以的分布列为：
所以的期望为：
，
由，得，当且仅当时取等号，则，
因此，
所以的最大值为．
8．（25-26高三上·江苏宿迁·月考）实验测量中，测量数据往往存在误差，故测量数据常常服从正态分布.在一次实验测量中，某同学的测量数据近似服从正态分布，且.
(1)在的条件下，求的概率；
(2)已知事件“”与事件“”相互独立，求实数；
(3)若认为该实验在时测量精度较高，且已知随机变量时，，请评价本次实验测量的测量精度.
【答案】(1)0.8
(2)
(3)本次实验的测量精度不高
【分析】（1）利用正态分布的对称性及条件概率计算即可；
（2）利用正态分布的对称性及事件的相互关系、相互独立事件的性质分类讨论计算参数即可；
（3）设变量，分类讨论二者大小，结合条件得出的充要条件，利用正态分布的性质计算得出，从而判定测量精度即可.
【详解】（1）在的条件下，的概率等价于，
由题意可知，其概率密度函数图象关于直线对称，
所以，
根据对称性，，
故
（2）设事件为“”，事件为“”，
且事件“”等价于事件“或”.
由题意得，
则由对称性得，
由事件“”与“”互斥，则，
因为事件与相互独立，所以，
当时，等价于事件“”，
则，解得，无解；
当时，等价于事件“”，
则，即，解得，
由于，故.
当时，等价于事件“或”.
此时有，
故由正态分布性质，拆分可得
，
又，代入解得，
而，故，无解.
综上所述，；
（3）由题可计算得，
又对于任意，由于等价于
，
则对于任意均有，
时，同理，
故是的充要条件.
由正态分布性质有，且数据比较，
即，
故，再由上述的充要条件，
这等价于的情况，故必有，即，
故，即可做出本次实验的测量精度不高的评价.
…
…
…
…
0
1
…
…
1、定义：对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，
定义如果，则，那么X的分布列如表所示．
X
0
1
我们称X服从两点分布或0－1分布．
随机变量服从二项分布的关键点
（1）在每次试验中，事件发生的概率都是相同的;
（2）各次试验中的事件是相互独立的;
（3）每次试验只有两种结果，事件要么发生，要么不发生.
0
1
2
3
0
1
2
3
4
0.0081
0.0756
0.2646
0.4116
0.2401
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
8点前到（天数）
8点或8点后到（天数）
方案
28
12
B方案
30
30
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
求相互独立事件同时发生的概率的方法
0
1
2
3
2
3
4
5
0
1
2
3
P
求超几何分布的分布列的步骤
X
0
1
2
3
樱花迷
非樱花迷
男
5m
5
女
40
2m
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
0
1
2
0
1
2
3
0
1
2
解决正态分布问题有三个关键点
（1）对称轴x=μ ；
（2）标准差σ ；
（3）分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ ，σ 分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ 特殊区间，从而求出所求概率，注意只有在标准正态分布下对称轴才为直线x=0.
X
0
1
2
P
2
3
4
5
6
0
1
2
3
0.595
0.337
0.064
0.004
2
3
4
6
8
10
13
21
22
23
24
25
13
22
31
42
50
56
58
68.5
68
67.5
66
68
回归模型
模型①
模型②
回归方程
182.4
79.2
0
2
4
0.02275
0.8186
0.15865
离散型随机变量分布列的求解步骤
1
2
3
0
1
2
车型
低收入群体（20万/年）
中收入群体（20万/年—50万/年）
高收入群体（50万/年）
愿意
不愿意
愿意
不愿意
愿意
不愿意
EV
70
30
70
50
40
40
PHEV
20
80
60
60
60
20
0
1
2
3
4
1、随机变量X服从二项分布，记作X～，且有，.
2、离散型随机变量性质有关问题的解题思路
若给出的随机变量Y与X的关系为Y=aX+b,a,b为常数，一般思路是先求出EX，DX，再利用公式EaX+b=aEX+b,DaX+b=a2DX求EY，DY；也可以利用X的分布列得到Y的分布列，关键是由X的取值计算Y的取值，对应的概率相等，再由定义法求得EY,DY.
2
4
7
0
2
P
3
5
7
P
0
1
2
3
4
0.1
0.4
0.2
0.2
X
0
1
2
3
P
1组
2组
3组
4组
5组
SX1280
24.2
24.3
24.1
24.0
24.4
BGM220P
24.1
24.2
24.5
24.1
24.1
时长（小时）
人数（人）
3
4
33
42
18
0
1
2
0
1
2
3
0.595
0.337
0.064
0.004
0
1
2
3
4
0.25
0.3
0.29
0.12
0.04
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
0.4096
0.4096
0.1536
0.0256
0.0016
X
0
3
P
0.2
0.5
0.3
Y
0
3
6
P
0.04
0.2
0.37
0.3
0.09
2
3
4
5
6
0
1
2
3
0
1
2
3
0
1
2
3
等级
年级
优
良
及格
不及格
高一
高二
1
2
3
4
-3
1
5
9
2
4
5