2026年高考数学一轮复重难点培优02平面轨迹方程问题全归纳(复习讲义)(全国通用)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复重难点培优02平面轨迹方程问题全归纳(复习讲义)(全国通用)(学生版+解析)，共21页。
\l "_Tc28373" 02 题型精研・技巧通法提能力 PAGEREF _Tc28373 \h 2
\l "_Tc16555" 题型一 圆的轨迹方程（★★★） PAGEREF _Tc16555 \h 2
\l "_Tc7141" 题型二 直接法（★★★★★） PAGEREF _Tc7141 \h 5
\l "_Tc26803" 题型三 定义法（★★★★） PAGEREF _Tc26803 \h 7
\l "_Tc13512" 题型四 相关点法（★★★★★） PAGEREF _Tc13512 \h 12
\l "_Tc3897" 题型五 点差法（★★★★） PAGEREF _Tc3897 \h 16
\l "_Tc326" 题型六 交轨法（★★★） PAGEREF _Tc326 \h 19
\l "_Tc11957" 题型七 参数法（★★★） PAGEREF _Tc11957 \h 22
\l "_Tc25070" 03 实战检测・分层突破验成效 PAGEREF _Tc25070 \h 24
\l "_Tc621" 检测Ⅰ组 重难知识巩固 PAGEREF _Tc621 \h 24
\l "_Tc1659" 检测Ⅱ组 创新能力提升 PAGEREF _Tc1659 \h 33
1、曲线方程的定义
一般地，如果曲线与方程之间有以下两个关系：
①曲线上的点的坐标都是方程的解；
②以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
此时，把方程叫做曲线的方程，曲线叫做方程的曲线．
2、求曲线方程的一般步骤
（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；
（2）设曲线上任意一点的坐标为；
（3）根据曲线上点所适合的条件写出等式；
（4）用坐标表示这个等式，并化简；
（5）确定化简后的式子中点的范围．
上述五个步骤可简记为：建(建系)设(设点)现(限制条件)代(代点)化(化简)．


题型一 圆的轨迹方程
1．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由中点坐标公式以及圆的方程，可得答案.
【详解】设，，由为的中点，则，即，
由点在圆上，则，即，
化简可得.
故选：D.
2．（2025·内蒙古赤峰·一模）在平面内，两定点、之间的距离为，动点满足，则点轨迹的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】建立平面直角坐标系，设点，根据求出点的轨迹方程，结合圆的周长公式可求得结果.
【详解】以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
则点、，
设点，由可得，
整理可得，化为标准方程得，如下图所示：
所以，点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，
因此，点轨迹的长度为.
故选：A.
3．已知圆C：，D是圆C上的动点，点，若动点M满足，则点M的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设，，根据得到，将其代入圆C方程，即得点的轨迹方程.
【详解】设，，
因，则，
由，可得，
即，故（*），
因D是圆C上的动点，故，
将（*）代入上式，可得，
整理得，即为点M的轨迹方程.
故选：B
4．（24-25高三上·宁夏石嘴山·期中）已知的斜边为，且，，则直角边中点的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．（且）D．（且）
【答案】C
【分析】设，根据是线段的中点，得到，根据计算即可求得的轨迹方程.
【详解】设，
因为，是线段的中点，
由中点坐标公式得，所以，
即，所以，
由，得，
即，
又不能与重合，所以且，解得且，
动点的轨迹方程为（且）.
故选：C
5．设为圆上两个动点，是圆的切线，且，则点的轨迹方程为 ．
【答案】
【分析】设，设圆的圆心为，则有，由得，在中得，进而得点在以为圆心，半径为2的圆上，根据圆的标准方程即可求解.
【详解】设，设圆的圆心为，连接，
则，又，所以，
在中有：，
所以点在以为圆心，半径为2的圆上，
所以点的轨迹方程为，
故答案为：.
6．已知直线l与圆相交于A，B两点，以线段AB为直径的圆经过定点，则AB的中点的轨迹方程为 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用圆的性质及直角三角形斜边上中线的性质列式求出轨迹方程.
【详解】设，连接，由弦的中点为，得，，
由以线段为直径的圆过点，得，则，
因此，整理得，
所以的中点的轨迹方程为
故答案为：


题型二 直接法
【技巧通法·提分快招】
1．（2024·浙江温州·一模）动点到定点的距离与到定直线：的距离的比等于，则动点的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据距离公式即可化简求解.
【详解】根据题意可得，平方化简可得，
进而得，
故选:A
2．已知在中，点，点，若，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，可用的坐标表示，结合题设条件可得点的轨迹方程.
【详解】设，则
所以，
又因为，所以，
化简得到，整理得到，
所以点的轨迹方程为.
故选：D.
3．在平面直角坐标系中，已知，，直线与的斜率之积为，则动点的轨迹方程为 ．
【答案】
【分析】设点的坐标为，根据题设斜率之积为列式化简即可.
【详解】设点的坐标为，则，，
所以，
整理可得．
故答案为：
4．已知平面直角坐标系中不同的三点，，，圆心在轴上的圆经过三点，设点的坐标为，则点的轨迹方程为 ．
【答案】
【分析】结合题意得到，再利用平面向量数量积的坐标表示求解轨迹方程即可.
【详解】由题意得圆心在轴上的圆经过点，，三点，
可得线段为圆的直径，而点在圆上，则，得到，
又，，则，而不重合，得到，
故点的轨迹方程为．
故答案为：

题型三 定义法
【技巧通法·提分快招】
1．若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据双曲线定义得到点P的轨迹方程是以与为焦点的双曲线，得到答案.
【详解】由题意得点到点与点的距离之差的绝对值为3，且，
故动点P的轨迹方程是以与为焦点的双曲线，
故，
所以，
所以双曲线的方程为.
故选：A.
2．已知动点的坐标满足方程，则动点M的轨迹是（ ）
A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．以上都不对
【答案】C
【分析】等价变形给定等式，再利用式子表示的几何意义，结合抛物线定义即可得解.
【详解】等式变形成，
因此该等式表示动点到原点的距离等于到它直线的距离，
而直线不过原点，所以动点M的轨迹是抛物线.
故选：C
3．（25-26高三上·山东青岛·开学考试）已知圆的方程为，定点，为圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据条件可得点在以，为焦点，的椭圆上，即可求解.
【详解】因为圆的圆心为，半径为，
由题知，又，则，
所以点在以，为焦点，的椭圆上，
由，得，所以点的轨迹方程为，
故选：B.
4．一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由圆与圆的位置关系及椭圆的定义和标准方程可得结果.
【详解】设动圆圆心为，半径为，设已知圆的圆心分别为、，
将圆的方程配方得：，圆心，半径为，
圆同理化为，圆心，半径为，
当动圆与圆相外切时，有①
当动圆与圆相内切时，有②
将①②两式相加，得
动圆圆心到点和的距离和是常数，
所以点的轨迹是焦点为点、，长轴长等于的椭圆，
故，，，.
故选：A.
5．已知两定点，，曲线上的点到、的距离之差的绝对值是6，则该曲线的方程为 ．
【答案】
【分析】根据双曲线的定义进行求解.
【详解】因为,
所以曲线的轨迹是以为焦点，实轴长为6的双曲线，
所以，
所以曲线的方程为.
故答案为：
6．已知动点满足，则动点M的轨迹方程是 ．
【答案】
【分析】设，分析可知动点M的轨迹是以为焦点的椭圆，进而可得和方程.
【详解】设，
因为，可得，
可知动点M的轨迹是以为焦点的椭圆，
且，则，
所以动点M的轨迹方程是.
故答案为：.
7．（2025·河北邯郸·模拟预测）在平面内，到定点的距离比到定直线的距离大1的动点的轨迹方程是 ．
【答案】
【分析】先根据已知条件将动点到定点与定直线的距离关系进行转化，再依据抛物线定义确定其轨迹方程．
【详解】由已知可得动点满足到定点的距离等于到定直线的距离，
由抛物线定义知动点的轨迹方程为焦点在x轴上的抛物线，且焦点为，则，.因此轨迹方程为：．
故答案为：.
8．（24-25高三下·安徽合肥·月考）已知的顶点，，且周长为16，求顶点的轨迹方程 ．
【答案】
【分析】利用椭圆的定义，确定点到两点的距离之和为常数，从而得到椭圆的方程，并排除导致三点共线的情况.
【详解】因为，而，
所以，
则顶点的轨迹为以为焦点的椭圆（除去与共线的两点），
其中，得，
得，
由于椭圆的焦点在轴上，
则椭圆的标准方程为：，
故答案为：
9．已知点在以为圆心，半径为6的圆上，，若点在线段上且满足点到，两点的距离相等，则点的轨迹方程为 .
【答案】
【分析】根据几何关系和椭圆的定义可知点的轨迹为以定点，为焦点的椭圆，即可求解轨迹方程.
【详解】由题意，可作图如下，
因为点到，两点的距离相等，即，
所以，
则点的轨迹为以定点，为焦点的椭圆，
其中，，解得，故其轨迹方程为.
故答案为：
10．已知动圆与两圆，中的一个内切，与另一个外切，则动圆的圆心的轨迹方程为 ．
【答案】
【分析】利用两圆相切的性质，分类讨论求出圆的圆心的轨迹方程．
【详解】设，的圆心分别为，，圆的半径为．
因为，所以当动圆的半径小于2时，与其中一圆内切后，不可能与另一圆外切，所以，
当圆与圆内切、与圆外切时，有，
则，圆的圆心轨迹是以，为焦点的双曲线的左支；
当圆与圆外切、与圆内切时，有，
则，圆的圆心轨迹是以，为焦点的双曲线的右支．
因此圆的圆心的轨迹是以，为焦点的双曲线，，，
则，，，方程为．
故答案为：．

题型四 相关点法
【技巧通法·提分快招】
1．已知，点分别在轴、轴上运动，为坐标原点，点在线段上，且，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，，，结合已知有，再由及向量共线的坐标表示有，联立即可得轨迹.
【详解】设，，由，可得①．
设，由于点在线段上，且，即，
所以，可得，即，
代入①式，可得，整理得.
故选：A
2．已知F是抛物线的焦点，P是该抛物线上一动点，则线段PF的中点E的轨迹方程是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出，设，PF的中点，从而得到方程组，利用代入法求出轨迹方程.
【详解】抛物线的标准方程是，故，
设，PF的中点，
∴，
因为，所以，即．
故选：C
3．（25-26高三上·贵州·月考）长为1的线段的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则点B关于点A的对称点M的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，，找出，再根据得到，即可求解．
【详解】设，，，
则有，
即，由题意可得，
即，即，
故选：A．
4．已知分别是轴、轴上的两个动点，，且点是的中点，则动点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先设出，再利用两点间距离公式得到，结合中点坐标公式得到，进而得到，整理得到，最后求解轨迹方程即可.
【详解】设，因为，所以，
整理得，因为点是的中点，所以，
则，又，得到，
整理得，则点的轨迹方程为，故C正确.
故选：C.
5．在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足，M是线段上的点，且，当点P在圆上运动时，则点M的轨迹方程是（ ）
A．+=1(y)B．+=1(y)
C．+=1(y)D．+=1(y)
【答案】A
【分析】设点，，则，因点在圆上 ，利用相关点法即可求得点M的轨迹方程.
【详解】

如图，设点，，则，
因点在圆上 ，则 （*），
又因轴，且M是线段上的点，，则，
则得，即，
将其代入（*），即得是点M的轨迹方程.
故选：A.
6．设，点在轴上，点在轴上，且，，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为 ．
【答案】
【分析】设，，，根据可得，根据可得，代入即可得结果.
【详解】设，，，
则，，，
因为， 则，
又因为，则，即，
可得，即．
故点的轨迹方程是．
故答案为：.

题型五 点差法
【技巧通法·提分快招】
1．双曲线的动弦所在直线过定点，则中点的轨迹方程是 ．
【答案】
【分析】设，利用点差法即可求解.
【详解】设，
由，则，
两式相减得，
故，
即，即．
故答案为：.
2．双曲线的动弦所在直线的斜率为，则中点的轨迹方程是 ．
【答案】
【分析】设，根据题意利用点差法，中点公式等化简即可.
【详解】设，
设直线为，代入，化简得
，
由，得，
因为为的中点，所以，
所以，所以，
由题意得： ，
两式相减得，
由中点公式，整理得：
，又，
所以，即，
所以中点的轨迹方程为，
故答案为：.
3．由点向抛物线引弦，求弦的中点的轨迹方程．
【答案】在抛物线内部的部分．
【分析】解法1：利用点差法求解即可；解法2：设弦所在直线的方程为，代入抛物线方程中，化简利用根与系数的关系，结合中点坐标公式可求出，从而可求出直线方程.
【详解】解法1：
利用点差法．
设端点为，则，
两式相减得．①
①式两边同时除以，得．②
设弦的中点坐标为，则．③
又点和点在直线上，
所以有．④
将③、④代入②得，
整理得．
故得中点的轨迹方程是在抛物线内部的部分．
解法2：
设弦所在直线的方程为．
由，得．
设、中点，
则由根与系数的关系得，
，则，
所以，得，
故得所求弦中点的轨迹方程是在抛物线内部的部分．
4．已知 ，过的直线与椭圆相交，求被截得的弦的中点轨迹方程.
【答案】（在椭圆内部的部分）.
【分析】设弦的中点坐标为，根据点差法，结合题意，即可求得其轨迹方程.
【详解】设弦的端点为，，其中点是，
则，，由于点，在椭圆上，则有：，
两式做差可得，所以，
化简得（在椭圆内部的部分）．
所以被截得的弦的中点轨迹方程为：（在椭圆内部的部分）.

题型六 交轨法
【技巧通法·提分快招】
1．在平面直角坐标系中，，动点和分别位于正半轴和负半轴上，若，则和的交点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】通过设出交点的坐标，利用、、、的坐标关系以及已知条件来建立等式，从而求出的轨迹方程.
【详解】设，，.
因为，所以.
已知，，根据直线的截距式方程（为轴上的截距，为轴上的截距），可得直线的方程：.
已知，，则直线的方程为.
因为是和的交点，所以的坐标满足和的方程.
对于直线的方程，可得.
对于直线的方程，可得.
又因为，所以，即.
故选：D.
2．求解下列问题：

(1)如图，动圆：，与椭圆：相交于A，B，C，D四点，点，分别为的左、右顶点．求直线与直线的交点M的轨迹方程．
(2)已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，点P为椭圆C上的动点，求的重心G的轨迹方程．
【答案】(1)（，）
(2)
【分析】（1）交轨法求动点轨迹方程，选择适当的参数表示两条直线的方程，联立方程，消去参数，即可得交点M的轨迹方程；
（2）相关点法求动点轨迹方程，用所求点表示已知点坐标，再代入已知椭圆方程，化简整理可得.
【详解】（1）由椭圆：，知，.
设点A的坐标为，由曲线的对称性，得点B的坐标为.
设点M的坐标为，则直线的方程为①；
直线的方程为②.
由①②相乘得③.
又点在椭圆C上，所以④.
将④代入③得（，）.
因此点M的轨迹方程为（，）
（由于A，B仅在y轴的左侧，因此点M的轨迹只能在第三象限）.
（2）依题意知点，，设点，.
由三角形重心坐标关系可得即代入，
得的重心G的轨迹方程为.
3．（23-24高二下·广东惠州·月考）抛物线的对称轴为轴，定点为坐标系原点，焦点为直线与坐标轴的交点．
(1)求的方程；
(2)已知，过点的直线交与两点，又点在线段上（异于端点），且，求点的轨迹方程．
【答案】(1)
(2)（且）．
【分析】（1）根据题意求出焦点的坐标，然后即可求得p的值,即可求得方程；
（2）利用直线的方程与抛物线方程联立，应用韦达定理和已知等式，确定点的横坐标与直线斜率的关系，再利用点在直线上，建立起方程，从而得到轨迹方程，注意剔除不符合题意的点.
【详解】（1）因为抛物线的对称轴为轴，所以的焦点在轴上，直线与轴的交点为，
所以，所以，解得，所以抛物线的方程为：．
（2）显然直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为：，
设，联立直线与抛物线方程：，可得：，
且，解得：且，
因为，即，则有，
整理可得：，即，
所以，又点在直线上，
所以，消得，
由且得且，
所以的轨迹方程为：（且）．

题型七 参数法
【技巧通法·提分快招】
1．为参数，圆的圆心的轨迹方程为 ．
【答案】
【分析】先把圆的方程化为标准方程，求出圆心，再消去参数即可.
【详解】圆的方程化为标准方程为，
圆心坐标为，即，消去参数，可得.
故圆的圆心的轨迹方程为.
故答案为:.
2．已知O为坐标原点，，A是上的动点，连接OA，线段OA交于点B，过A作x轴的垂线交x轴于点C，过B作AC的垂线交AC于点D，则点D的轨迹方程为 ．
【答案】
【分析】设根据题意，得出动点的参数方程，消参即可求解.
【详解】设
则，
由题意可得，
消参可得：
所以点的轨迹方程为．
故答案为：
3．已知，，当时，线段的中点轨迹方程为 ．
【答案】
【分析】根据中点坐标公式可得中点坐标，设点为线段的中点轨迹上任一点的坐标，即得，消去参数，可得答案.
【详解】因为，，
所以中点坐标为，
即，
设点为线段的中点轨迹上任一点的坐标，
，，
，
即当时，线段的中点轨迹方程为，
故答案为：
4．已知椭圆，和一条过定点且不与轴重合的直线相交于两点，线段的中点为点，
(1)求点的轨迹方程；
【答案】(1).
【分析】（1）由题意可设直线l：.设线段的中点为点，利用“设而不求法”得到点E的参数方程（m为参数），消去m得：，即为所求；
【详解】（1）由题意，可设直线l：.不妨设，则，
消去x可得：，其中，，.
设线段的中点为点，所以，.
即（m为参数）.
消去m得：.
所以点的轨迹方程为：.

检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（2025·山西临汾·三模）已知动点满足，则动点M的轨迹方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由椭圆的定义，结合题意，可得焦点坐标，从而可得的值，可得答案.
【详解】由题意可得动点到与两点的距离之和为，
且，则动点的轨迹为椭圆，
易知，，，即方程为.
故选：C.
2．（2024·广西柳州·一模）在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设点,由题意列出方程，化简整理即得点的轨迹方程.
【详解】依题意，设点，由，
可得，即得点的轨迹方程为.
故选：A.
3．已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是，则点的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设，根据，整理即可得解.
【详解】设，则，整理得，
所以动点的轨迹方程是.
故选：A.
4．（2024·河北邯郸·二模）由动点向圆引两条切线，切点分别为，若四边形为正方形，则动点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据正方形可得动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，求出方程即可.
【详解】因为四边形为正方形，且,所以,
故动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，其方程为.
故选：B
5．线段的长度为，其两个端点和分别在轴和轴上滑动，则线段上靠近点的三等分点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设点、，设线段上靠近点的三等分点为，根据结合平面向量的坐标运算得出，再代入化简即可得出点的轨迹方程.
【详解】设点、，设线段上靠近点的三等分点为，
由题意可得，则，
所以，，所以，，
则，化简得，
故线段上靠近点的三等分点的轨迹方程为.
故选：C.
6．设O为坐标原点，长为4的线段的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，若点P满足，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意，设，，，根据向量的坐标运算进行求解即可．
【详解】解：因为点分别在x轴、y轴上滑动，
设，，，因为，
所以，整理得，
因为，，
所以，因为，
所以，解得，
又，所以，
整理得，则点的轨迹方程为
故选：A.
7．（2025·四川成都·三模）已知动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆的圆心轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分析出，确定圆心M的轨迹为椭圆，求出，得到轨迹方程.
【详解】设圆圆心且与圆切于点P，圆圆心与圆切于点Q，
由题意得：，，其中，
所以，
由椭圆定义可知：动圆圆心C的轨迹为以为焦点的椭圆，设，
则，解得：，
故动圆圆心C的轨迹方程为.
故选：A
8．已知点，点是圆上一动点，线段MP的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由一般方程得到圆心和半径，再由几何关系得到点的轨迹是以为焦点的椭圆即可；
【详解】

由题意得，圆心，半径，
因为，，
所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中，
所以动点的轨迹方程为，
故选：B.
9．已知定点，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹方程是（ ）
A．7B．
C．.D．
【答案】B
【分析】按点在轴左右分类探讨可得，再利用双曲线定义求出方程.
【详解】如图，当点在轴左侧时，连接，由点关于点的对称点为，得是线段中点，
而点是线段的中点，则，
由为线段的垂直平分线，得，

于是，当点在轴右侧时，同理，
则，
所以点的轨迹是以为焦点，实轴长为2的双曲线，对应的方程为.
故选：B
10．设是椭圆与x轴的两个交点，是椭圆上垂直于的弦的端点，则直线与交点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】首先设出和根据三点共线得到两组等式，左右两边相乘后利用点在椭圆上，代入消元即得点的轨迹方程.
【详解】
如图，设直线与的交点为，则
∵共线，故①，又∵共线，故②.
由①，② 两式相乘得（*）,
因在椭圆上，则，可得：将其代入（*）式，即得：，
化简得：，即P的轨迹方程为.
故选：C.
11．（24-25高三下·安徽安庆·月考）（多选题）一动圆与都相切，则动圆圆心的轨迹方程可能情形是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】求出圆、圆的圆心坐标和半径，讨论圆与两圆的位置关系，结合双曲线的定义可得结果.
【详解】由题意得，圆方程可化为，故，圆半径，
圆方程可化为，故，圆半径，
∴两圆的圆心距，
由得两圆相离，设动圆的半径为，圆心.

①如图1，当动圆与圆外切，与圆内切时，，故，
根据双曲线的定义，点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，其中，故，
∴点的轨迹方程为，选项D正确.
②如图2，当动圆与圆内切，与圆外切时，，故，
此时点的轨迹是以，为焦点的双曲线的左支，结合①可知点的轨迹方程为，选项C正确.

③如图3，当动圆与圆均外切时，，故，
此时点的轨迹是以，为焦点的双曲线的左支，其中，故，
∴点的轨迹方程为，选项A正确.
④如图4，当动圆与圆均内切时，，故，
此时点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，结合③可知点的轨迹方程为，选项B错误.
故选：ACD.
12．（23-24高三上·西藏林芝·期末）若动点到点的距离和动点到直线的距离相等，则点的轨迹方程是 ．
【答案】
【分析】结合抛物线定义即可解题.
【详解】由抛物线定义知，点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，
所以点的轨迹方程为：.
故答案为：.
13．方程(t为参数)所表示的圆的圆心轨迹方程是 (结果化为普通方程)
【答案】
【分析】设出圆心坐标，把圆的方程化成标准形式，由此建立起关于t的参数方程，再化简即得.
【详解】圆化为，它表示以为圆心，为半径的圆，
设圆心坐标为，于是得(t为参数)，消去t得：，
所以所求圆心轨迹方程是.
故答案为：
14．已知等腰的顶点的坐标为，底边的一个端点的坐标为，则另一个端点的轨迹方程为 ．
【答案】[除去点和点]
【分析】利用等腰三角形的性质得到，再化简得到轨迹方程即可.
【详解】设，在等腰中，得到，
则由两点间距离公式得，
化简得．考虑到三点要构成三角形，
因此点不能为和．
故点的轨迹方程为[除去点和点]．
故答案为：[除去点和点]
15．（24-25高三下·陕西西安·月考）已知点，的方程为，P，Q为上的动点，满足，则PQ中点的轨迹方程为 ．
【答案】
【分析】设线段的中点为，则，由得，代入即可求解.
【详解】由题意设线段的中点为，由有，

连接MB，则，故，得，
又因为，
所以，化简整理有.
故答案为：.
16．过点的直线与抛物线交于、两点.求线段的中点的轨迹方程.
【答案】
【分析】设，，，代入抛物线方程中，再根据中点坐标公式可求得以线段PQ的中点B的轨迹方程.
【详解】解：设，，
代入得，
化简得，
又，
所以线段PQ的中点B的轨迹方程为.
17．已知直线过一定点，交椭圆于两点，求中点的轨迹方程．
【答案】
【分析】设M，，由点差法可得，然后注意到，可得轨迹方程.
【详解】设M，.
则，两式相减可得：
，
因，则，其中O为坐标原点.
又注意到，则.
又AB斜率不存在时，为，满足；
AB斜率为0时，为，满足.
综上，轨迹方程为：.

检测Ⅱ组 创新能力提升
1．在平面直角坐标系中，，，动点和分别位于正半轴和负半轴上，若，则和的交点的轨迹方程为 ．
【答案】
【分析】设，，,由题意可得，用截距式分别表示出直线、的方程，再分别用表示出，代入，即可得M点的方程，最后再验证时的情况，即可得答案.
【详解】设，，．
因为，所以．
已知，，根据直线的截距式方程（为轴上的截距，为轴上的截距），
可得直线的方程为．
已知，，则直线的方程为．
因为是和的交点，
所以的坐标满足和的方程．
对于直线的方程，
用表示出,得．
对于直线的方程，
用表示出,得．
因为，所以，即．
当时的情况不满足动点和分别位于轴正半轴和负半轴上，
因此所求轨迹方程为．
故答案为：
2．（2025·河南·三模）已知等腰三角形的顶点为，底边的一个端点为，则另一个端点P的轨迹方程为 ；又，线段的垂直平分线与直线交于点Q，则动点Q的轨迹方程为 .
【答案】 （且） （且）
【分析】根据等腰三角形的定义及两点间距离公式可得所以，由圆的定义可知点P的轨迹是以M为圆心，10为半径的圆（且），即可求解答题空1；根据线段垂直平分线定义可知.分点Q在线段的延长线上和点Q在线段的延长线上两类讨论，数形结合分析可得，结合双曲线的定义即可求解动点Q的轨迹方程，即可求解答题空2.
【详解】因为等腰三角形的顶点为，底边的一个端点为，另一个端点为P，
所以，
故点P的轨迹是以M为圆心，10为半径的圆（且），
故点P的轨迹方程为（且）.
因为线段的垂直平分线与直线交于点Q，所以.
又，，所以点A在圆外，线段的垂直平分线与直线的交点Q在线段的延长线或反向延长线上.
当点Q在线段的延长线上时，如下图所示.
此时，；
当点Q在线段的延长线上时，如下图所示.
此时，，
综上，，即动点Q到两个定点M与A的距离之差的绝对值为10.
又，所以点Q的轨迹是以点和为焦点的双曲线，其中，，
所以，，，所以双曲线方程为.
当点P为时，线段的垂直平分线的方程为，直线的方程为，直线与直线的交点为，
故动点Q的轨迹方程为（且）.
故答案为：（且）；（且）.
3．已知抛物线上一点是抛物线上另两点，且．
(1)求点的轨迹方程；
【答案】(1)；
【分析】（1）设且，，联立抛物线并应用韦达定理、的坐标表示得，再由得，进而得到关系式，即可得；
【详解】（1）如图，设且，，
与联立，得，，所以，

因为，即，
所以，则，
所以，
因为，则，
所以，即，
所以，则，即为点的轨迹方程；
4．已知椭圆，左、右焦点分别为，短轴的其中一个端点为，长轴端点为，且是面积为的等边三角形．

(1)求椭圆的方程及离心率；
(2)如图，直线与椭圆有唯一的公共点M，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于两点．当点运动时，求点的轨迹方程．
【答案】(1)；.
(2)
【分析】（1）根据已知条件，求出，可得椭圆标准方程.
（2）联立椭圆方程与直线方程，根据相切可得的关系，再根据垂直得到直线的方程，用表示，最后消元，可得点轨迹方程.
【详解】（1）由题意：.
所以椭圆的标准方程为：，.
（2）如图：

由，消去，得：.
因为直线与椭圆相切，所以，即.
设，则；
.
又直线与垂直，所以：.
令，得：，即；
令，得：，即.
所以对，有，
因为，所以：.
所以点的轨迹方程为：.
【点睛】方法点睛：本题的第二问，联立椭圆方程与直线方程，根据相切可得的，再根据垂直得到直线的方程，用表示，得，最后消元，可得点轨迹方程.
5．（25-26高三上·河北沧州·月考）已知椭圆C：的离心率，短轴长为2，是椭圆外一点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若，过点P作直线l与椭圆C相切，求直线l的方程；
(3)若过点P作椭圆C的两条切线互相垂直，求点P的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）利用已知条件及即可求解；
（2）讨论直线的斜率是否存在，再联立直线与椭圆的方程，令即可求解；
（3）讨论直线的斜率是否存在及是否为，联立直线与椭圆的方程，令，再借助韦达定理即可求解；
【详解】（1）由题意得，因为，，所以，
故椭圆C的标准方程为；
（2）当直线l的斜率不存在时，直线l：，易得与椭圆C相切；
当直线l的斜率存在时，设直线l：，即，
联立，可得，
由可得，，
即，解得.
此时直线l的方程为.
综上所述，直线l的方程为或.
（3）设切点分别为A，B，
当直线PA斜率不存在时，此时直线的斜率为；
当直线PA斜率为0时，此时直线的斜率不存在，易得；
当直线PA斜率存在且不为0时，此时，，
设直线PA方程为，
联立，可得，
由于直线PA与椭圆C相切，所以，
化简得，即，
由于直线PB斜率为，
所以方程的两个根分别为k和，
所以，
化简得，
此时点P的轨迹方程为，
将代入中成立，
综上所述，点P的轨迹方程为.
6．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知椭圆的离心率为，右焦点为F，点在C上，过点F且斜率为k的直线l与C交于A，B两点.
(1)求椭圆C的方程.
(2)若直线l的斜率为，求的面积.
(3)设点Q满足，求点Q的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由题意得，结合可求出，从而可求出椭圆方程；
（2）设，求出直线的方程，代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系结合弦长公式求出，再利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，从而可求出的面积；
（3）设，，由，得，将代入椭圆方程化简利用根与系数的关系，结合前面的式子得，两式相比化简可求得，代入其中的一个化简可求得点Q的轨迹方程.
【详解】（1）由题意得，由得，得，
所以，得，则，
故椭圆C的方程为；
（2）由（1）可知，则，
因为直线l的斜率为，所以直线l的方程为，
设，
由，得，
所以，
所以，
因为点到直线的距离为，
所以的面积为；
（3）设，，
则，
因为，
所以，
所以（*），
直线l的方程为，
由，得，
，
则，
所以
，
代入（*），可得：，
当时，，得（且），
所以，
化简整理得
当时，得，，即，满足上面的方程，
所以点Q的轨迹方程为
7．（2025·陕西西安·二模）在平面直角坐标系中，对于曲线C上任意一点，总存在点满足关系式（），则曲线C变换为曲线，称为平面直角坐标系中的伸缩变换，记为．已知曲线经过伸缩变换后得到曲线．
(1)求曲线的方程．
(2)已知过点的直线与曲线交于点（点在轴上方），曲线与轴的左、右两个交点分别为，设直线的斜率分别为．
（i）是否存在常数t，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
（ii）若直线与交于点，试求点的轨迹方程．
【答案】(1)
(2)（i），（ii）点轨迹为直线.
【分析】（1）根据在上即可求解，
（2）联立直线与椭圆方程得韦达定理，即可根据斜率公式化简求解（i），利用韦达定理化简得，即可求解（ii）。
【详解】（1）设上任意一点，则点在上，
由题意得，化简得，所以曲线的标准方程为；
（2）（i）设直线，，，
联立直线与，，化简得，
，，
,,
若，则，故，
故存在，使得
（ii）直线，直线，
设点，则，
两条直线方程相除，可得
即，解得，即点在直线上；
故点轨迹为直线.
当动点直接与已知条件发生联系时,在设出曲线上动点的坐标为后,可根据题设条件将普通语言运用基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式等）变换成表示动点坐标间的关系式（等式）,从而得到轨迹方程.同时要注意等量关系中的限制条件（三角形、斜率等）
1、椭圆定义
如果动点的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。
①第一定义：平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
②第二定义：平面内一动点到定点与定直线的距离之比等于常数e (0＜e＜1) ，则该动点的轨迹为椭圆，该常数为椭圆离心率，定点为焦点，定直线为该焦点对应的准线。
③椭圆第三定义：A,B为关于原点对称的两个定点，一动点到A，B两点的斜率之积为常数e2−1，当0＜e2＜1时，该动点的轨迹为椭圆。
2、双曲线定义
①第一定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距
②第二定义：平面内一动点到定点与定直线的距离之比等于常数e (e＞1) ，则该动点的轨迹为双曲线，该常数为双曲线离心率，定点为焦点，定直线为该焦点对应的准线。
③第三定义：A,B为关于原点对称的两个定点，一动点到A，B两点的斜率之积为常数e2−1，当e2＞1时，该动点的轨迹为双曲线。
3、抛物线定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线．
注意：
（1）定直线l不经过定点F.
（2）定义中包含三个定值,分别为一个定点,一条定直线及一个确定的比值.
如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程。
“相关点法”求轨迹方程的基本步骤
(1)设点：设被动点坐标为(x,y),主动点坐标为(x1,y1)；
(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式x1=f(x,y)y1=g(x,y)
(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程,便可得到所求动点的轨迹方程．
圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法,其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程,然而相减,利用平方差公式可得,,,等关系式,由于弦的中点的坐标满足,且直线的斜率为,由此可求得弦中点的轨迹方程.
交轨法一般用于求两动曲线交点的轨迹方程.该问题常用参数法和交轨法进行处理,交轨法是对参数方程法的一种优化,参数方程法是联立两个曲线方程,解出交点的参数方程,然后再消参求出轨迹,而交轨法是直接把两个曲线方程中的参数消去,得到轨迹方程.所以用交轨法求动点轨迹方程时,不一定非要求出交点坐标,只要能消掉参数,得出点的两个坐标间的关系即可
动点的运动主要是由于某个参数的变化引起的,且所求轨迹的动点的坐标之间的关系不易找到,也没有相关信息可用时,可先考虑将,用一个或几个参数来表示,消去参数得轨迹方程,此法称为参数法.参数法中常选变角、变斜率等为参数,然后用这个参数表示动点的坐标,即,再消参.