2026年高考数学一轮复习举一反三专练(通用版)专题3.1导数的概念及其意义、导数的运算(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习举一反三专练(通用版)专题3.1导数的概念及其意义、导数的运算(学生版+解析)，共10页。

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\l "_Tc17868" 【题型1 导数的定义及其应用】 PAGEREF _Tc17868 \h 2
\l "_Tc5705" 【题型2 （复合）函数的运算】 PAGEREF _Tc5705 \h 3
\l "_Tc7699" 【题型3 求曲线切线的斜率（倾斜角）】 PAGEREF _Tc7699 \h 4
\l "_Tc24935" 【题型4 求曲线的切线方程】 PAGEREF _Tc24935 \h 4
\l "_Tc29696" 【题型5 与切线有关的参数问题】 PAGEREF _Tc29696 \h 5
\l "_Tc8293" 【题型6 切线的条数问题】 PAGEREF _Tc8293 \h 5
\l "_Tc16603" 【题型7 两条切线平行、垂直、公切线问题】 PAGEREF _Tc16603 \h 6
\l "_Tc14333" 【题型8 与切线有关的最值问题】 PAGEREF _Tc14333 \h 6
1、导数的概念及其意义、导数的运算
知识点1 导数的运算的方法技巧
1．导数的运算的方法技巧
(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.
(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.
(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
知识点2 复合函数的导数
1．复合函数的定义
一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)).
2．复合函数的求导法则
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 =，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
3．求复合函数导数的步骤
第一步：分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数；
第二步：分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数；
第三步：相乘：把上述求导的结果相乘；
第四步：变量回代：把中间变量代回.
知识点3 切线问题及其解题策略
1．求曲线“在”某点的切线方程的解题策略：
(1)求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率；
(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f'(x0)(x-x0).
2．求曲线“过”某点的切线方程的解题通法：
(1)设出切点坐标T(x0,f(x0))(不出现y0)；
(2)利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)；
(3)将已知条件代入②中的切线方程求解.
3．与切线有关的参数问题的解题策略：
(1)处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数：
①切点处的导数是切线的斜率；
②切点在切线上，故满足切线方程；
③切点在曲线上，故满足曲线方程.
(2)利用导数的几何意义求参数问题时，注意利用数形结合，化归与转化的思想方法.
4．公切线问题的解题思路
求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法.
【题型1 导数的定义及其应用】
【例1】（24-25高二下·河南·期末）已知函数fx=x2−2x−3，则fx从1到1+Δx的平均变化率为（ ）
A．Δx+3B．2Δx−1C．ΔxD．(Δx)2−Δx
【变式1-1】（24-25高二下·海南海口·期中）一物体做直线运动，其位移y（单位：m）与时间t（单位：s）的关系是yt=t2+4t，则物体在t=2s时的瞬时速度为（ ）
A．2m/sB．6m/sC．8m/sD．12m/s
【变式1-2】（24-25高二下·湖北十堰·期末）已知函数fx在x=x0处可导，若limΔx→0fx0+2Δx−fx0−ΔxΔx=12，则f′x0=（ ）
A．4B．6C．−6D．−4
【变式1-3】（24-25高二下·北京·期中）物体甲、乙在时间0到t1范围内，路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是（ ）

A．在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B．在0到t0范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度
C．在t=t0时，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度
D．在t=t0时，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度
【题型2 （复合）函数的运算】
【例2】（2025·湖北·模拟预测）已知函数fx和它的导函数f′x的定义域均为R，且fx+2+f−x=2，f′x+2为奇函数．若f0=0，则i=12025f(i)=（ ）
A．1B．2C．2025D．2026
【变式2-1】（2025·陕西安康·三模）已知函数fx及其导函数f′x的定义域均为R，若f′x为奇函数，fx+1+x为偶函数，则f′101=（ ）
A．−101B．101C．0D．−1
【变式2-2】（2025·山东潍坊·模拟预测）已知函数fx及其导函数f′x的定义域均为(0,+∞)，fx2+1=f2(x)+f2(1)+x2，且f(1)=1，f′(1)=12，则f′(5)=（ ）
A．94B．114C．134D．154
【变式2-3】（2025·江西·一模）已知可导函数fx的定义域为R，f′x是fx的导函数，且f2x−1为偶函数f′2x+1为奇函数，f′0=1，则f′2024+f′2025+f′2026=（ ）
A．−2B．−1C．0D．1
【题型3 求曲线切线的斜率（倾斜角）】
【例3】（2024·福建厦门·一模）已知直线l与曲线y=x3−x在原点处相切，则l的倾斜角为（ ）
A．π6B．π4C．3π4D．5π6
【变式3-1】（2025·福建泉州·模拟预测）如图是函数fx的部分图象，记fx的导数为f′x，则下列选项中值最大的是（ ）
A．f3B．3f′3C．f−14D．f′8
【变式3-2】（24-25高二下·福建福州·期中）设fx为R上的可导函数，且limΔx→0f1−f1+2ΔxΔx=1，则曲线y=fx在点1,f1处的切线斜率为（ ）
A．−2B．−1C．1D．−12
【变式3-3】（24-25高二下·陕西西安·阶段练习）已知函数fx的导函数为f′x，fx的图象如图所示，则（ ）
A．f′x1>f′x3>f′x2B．f′x2>f′x1>f′x3
C．f′x3>f′x1>f′x2D．f′x1>f′x2>f′x3
【题型4 求曲线的切线方程】
【例4】（2025·广东肇庆·一模）曲线y=xx2−1在x=1处的切线方程为（ ）
A．x=1B．y=1
C．y=2x+1D．y=2x−2
【变式4-1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数fx=x2f′13+lnx−9，则函数在x=1处的切线方程是（ ）
A．y=92x−9B．y=19x−19C．y=19x−292D．y=92x+472
【变式4-2】（2025·江西景德镇·一模）过点A(0,1)且与曲线f(x)=x3+2x−1相切的直线方程是（ ）
A．y=5x+1B．y=2x+1
C．y=x+1D．y=−2x+1
【变式4-3】（2025·重庆·模拟预测）已知抛物线C:x2=3y和圆O:x2+y2=4在第一象限内的交点为P，则以P为切点的C的切线方程为（ ）
A．2x−3y−3=0B．3x−2y−1=0
C．2x+3y−33=0D．3x+2y−4=0
【题型5 与切线有关的参数问题】
【例5】（2025·重庆·三模）已知直线y＝ax－a与曲线y=x+ax相切，则实数a＝（ ）
A．0B．12C．45D．32
【变式5-1】（2025·山西·模拟预测）已知函数f(x)=(x−a)(x−2)(x−3)(x−4)，若f(x)的图象在x=2处的切线方程为y=6x+b，则a+b=（ ）
A．−11B．−12C．−13D．−14
【变式5-2】（2025·全国一卷·高考真题）若直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的切线，则a= .
【变式5-3】（2025·山东泰安·二模）若函数fx=ex−ax与直线y=x相切，则实数a的值为 .
【题型6 切线的条数问题】
【例6】（2025·河南·模拟预测）过原点且与曲线y=xsinx相切的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【变式6-1】（2025·全国·模拟预测）若曲线y=1−xex有两条过点Aa,0的切线，则a的取值范围是（ ）
A．−∞,−1∪3,+∞B．−3,1
C．−∞,−3D．−∞,−3∪1,+∞
【变式6-2】（2025·全国·一模）函数f(x)=4xsinxcsx过原点的切线条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式6-3】（24-25高三上·陕西·阶段练习）函数fx=x−alnx在区间1,6的图象上存在两条相互垂直的切线，则a的取值范围（ ）
A．1,6B．1,3C．3,4D．4,6
【题型7 两条切线平行、垂直、公切线问题】
【例7】（2025·辽宁大连·一模）斜率为1的直线l与曲线y=ln(x+a)和圆x2+y2=12都相切，则实数a的值为（ ）
A．0或2B．−2或0C．－1或0D．0或1
【变式7-1】（2025·福建·模拟预测）已知直线y=kx+b既是曲线y=lnx的切线，也是曲线y=−ln(−x)的切线，则（ ）
A．k=1e，b=0B．k=1，b=0
C．k=1e，b=−1D．k=1，b=−1
【变式7-2】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线，则a= .
【变式7-3】（2024·四川成都·模拟预测）已知函数y=x的图象与函数y=ax（a>0且a≠1）的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为 .
【题型8 与切线有关的最值问题】
【例8】（24-25高二下·山东枣庄·阶段练习）点P是曲线y=x2−lnx上任意一点，则点P到直线y=x−4的距离的最小值是（ ）
A．1B．2C．2D．22
【变式8-1】（2025·广东佛山·一模）若直线y=x+a与曲线y=lnx+b相切，则a2+b2的最小值为（ ）
A．12B．1C．32D．2
【变式8-2】（2025·全国·模拟预测）若函数fx=x2+3x−4lnx，点P是曲线y=fx上任意一点，则点P到直线l:x−y−3=0的距离的最小值为（ ）
A．42B．322C．32D．62
【变式8-3】（2025·陕西汉中·模拟预测）已知Ax1,y1,Bx2,y2为曲线y=ex上两个不同的点，曲线y=ex在点A,B处的切线相交于点Cx0,y0，且这两条切线的斜率之积为1，则x0+1y0−y24的最小值为（ ）
A．ln22B．22C．eD．ln24
一、单选题
1．（2025·甘肃白银·三模）如果质点按规律st=2t2−t（距离单位：m，时间单位：s）运动，则质点在2s末的瞬时速度为（ ）
A．8 m/s B．7m/s C．6 m/s D．5 m/s
2．（2025·湖北·一模）下列求导运算正确的是（ ）
A．(sina)′=csa(a为常数)B．(sin2x)′=2cs2x
C．(3x)′=3xlg3eD．(x+1)′ =2x+1
3．（2025·湖南郴州·三模）曲线y=lnx在点e,1处的切线方程为（ ）
A．x−y=0B．x−ey=0
C．x−y+1−e=0D．ex−y=0
4．（2025·甘肃兰州·一模）若函数y=ex+e−x2（e为自然对数的底）的一条切线与x轴平行，则切点的坐标为（ ）
A．(1,0)B．(0,1)C．(1,1)D．(1,e)
5．（2025·山东聊城·三模）已知fx是定义域为R的可导函数，设其导函数为gx．若fx+1−2x为偶函数，且gx=g4−x，则i=120gi=（ ）
A．60B．40C．20D．8
6．（2025·湖南·三模）若直线y=kx+1（k为常数）是曲线y=lnx+1和曲线y=aex+1的公切线，则实数a的值为（ ）
A．1eB．1e2C．1D．e
7．（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数fx是定义在R上的可导函数，且fx满足f2−x=fx，fx+2=−fx，当x∈0,1时，fx=2x，则f′10112=（ ）
A．2B．−2C．22D．−22
8．（2025·甘肃·二模）若函数fx=lnx−1+x2+ax的图象上存在两个不同点，使得fx在这两点的切线与直线y=−12x垂直，则a的取值范围是（ ）
A．−∞,−22B．−∞,−22∪4,+∞
C．−∞,3D．R
二、多选题
9．（2025·甘肃庆阳·三模）已知函数fx=exx+a，则下列结论正确的是（ ）
A．当a=1时，曲线y=fx在点0,f0处的切线方程为y=x
B．当a=1时，曲线y=fx在点0,f0处的切线方程为y=1
C．当a=0时，曲线y=fx上不存在斜率为0的切线
D．当a=0时，曲线y=fx在点1,f1处的切线斜率为0
10．（2025·山东烟台·三模）已知定义在R上的函数fx的导函数为f′x，若对任意x,y∈R，都有fx+y−fx−y=2f1−xfy，且f1=1．则（ ）
A．fx为偶函数B．f′0+f′2=0
C．f′x的周期为4D．f2x+f21−x=1
11．（2025·四川巴中·三模）已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)=f′(x)，若f(2x+1)与g(x+2)均为偶函数，则下列选项正确的是（ ）
A．i2025g(i)=0B．f(x)和g(x)是周期为4的周期函数
C．g(x+1)为奇函数D．f(x)图象关于点(2,0)对称
三、填空题
12．（2025·四川乐山·三模）曲线y=1−ex与在点0,0处的切线方程为 .
13．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）设a≠0，若曲线fx=alnx−1在点2,f2处的切线也是曲线gx=eax−2的切线，则a= ．
14．（2025·四川遂宁·模拟预测）已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域为R，若f'(2)=8，函数f(2x+1)和f'(x+2)均为偶函数，则i=12025f'(i)的值为 .
四、解答题
15．（2025高二·全国·专题练习）已知某物体的运动方程为s=3t2+2,t≥329+3t−32,0≤t