2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第01讲导数的概念及运算(精讲)(原卷版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第01讲导数的概念及运算(精讲)(原卷版+解析)，共33页。试卷主要包含了平均变化率，导数的概念，导数的几何意义，基本初等函数的导数公式，导数的运算法则，复合函数求导，曲线的切线问题等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc857" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc857 \h 1
\l "_Tc4765" 第二部分：高考真题回顾 PAGEREF _Tc4765 \h 3
\l "_Tc17835" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc17835 \h 4
\l "_Tc25183" 高频考点一：导数的概念 PAGEREF _Tc25183 \h 4
\l "_Tc8538" 高频考点二：导数的运算 PAGEREF _Tc8538 \h 4
\l "_Tc16660" 高频考点三：求切线方程（在型） PAGEREF _Tc16660 \h 5
\l "_Tc14351" 高频考点四：求切线方程（过型） PAGEREF _Tc14351 \h 5
\l "_Tc19479" 高频考点五：已知切线方程（或斜率）求参数 PAGEREF _Tc19479 \h 6
\l "_Tc29384" 高频考点六：公切线问题 PAGEREF _Tc29384 \h 6
\l "_Tc11592" 高频考点七：与切线有关的转化问题 PAGEREF _Tc11592 \h 7
\l "_Tc11577" 高频考点八：已知切线条数求参数 PAGEREF _Tc11577 \h 8
\l "_Tc11652" 第四部分：典型易错题型 PAGEREF _Tc11652 \h 8
第一部分：基础知识
1、平均变化率
（1）变化率
事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值.
（2）平均变化率
一般地，函数在区间上的平均变化率为：.
（3）如何求函数的平均变化率
求函数的平均变化率通常用“两步”法：
①作差：求出和
②作商：对所求得的差作商，即.
2、导数的概念
（1）定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作.
（2）定义法求导数步骤：
求函数的增量：；
求平均变化率：；
求极限，得导数：.
3、导数的几何意义
函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率，即.
4、基本初等函数的导数公式
5、导数的运算法则
若，存在，则有
（1）
（2）
（3）
6、复合函数求导
复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积．
7、曲线的切线问题
（1）在型求切线方程
已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程.
步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点.
第二步：计算切线斜率.
第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。
根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
（2）过型求切线方程
已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程.
步骤：第一步：设切点
第二步：计算切线斜率；计算切线斜率；
第三步：令：，解出，代入求斜率
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
第二部分：高考真题回顾
1．（2024·全国甲卷·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·全国Ⅰ卷·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 .
3．（2025·全国一卷·高考真题）若直线是曲线的切线，则 .
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：导数的概念
典型例题
例题1．（24-25高三下·海南海口·阶段练习）已知函数，那么（ ）
A．B．1C．2D．4
例题2．（24-25高三下·四川绵阳·阶段练习）已知函数，则（ ）
A．0B．2C．D．
精练高频考点
1．（24-25高三下·四川广安·阶段练习）设函数满足，则（ ）
A．B．3C．D．
2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则（ ）
A．B．C．-6eD．
高频考点二：导数的运算
典型例题
例题1．（24-25高二下·辽宁鞍山·期中）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（24-25高三下·北京·阶段练习）下列四个求导运算中运算结果错误的是（ ）
A．B．
C．D．
精练高频考点
1．（24-25高三下·山东烟台·阶段练习）下列求导结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期中）下列求导运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
高频考点三：求切线方程（在型）
典型例题
例题1．（2025·甘肃白银·二模）已知函数在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（24-25高三下·重庆·阶段练习）在处的切线方程为 ．
精练高频考点
1．（2025·福建福州·模拟预测）曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·河北衡水·模拟预测）曲线在点处的切线方程是 ．
高频考点四：求切线方程（过型）
典型例题
例题1．（多选）（24-25高三下·河北邢台·阶段练习）过点向曲线作切线，切线方程可能是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2024高三·全国·专题练习）已知直线l为曲线过点的切线．则直线l的方程为 ．
精练高频考点
1．（2025·新疆·模拟预测）曲线过点的切线方程为 .
2．（24-25高三上·江西吉安·期末）过点作曲线的切线的斜率为 ．
高频考点五：已知切线方程（或斜率）求参数
典型例题
例题1．（2025·河南·模拟预测）已知曲线的一条切线的方程为，则实数（ ）
A．0B．1C．-1D．
例题2．（2025·安徽合肥·模拟预测）曲线在处的切线与直线平行，则 ．
精练高频考点
1．（2025·河南许昌·三模）若直线与曲线相切，则的值为（ ）
A．1B．C．2D．
2．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数，曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．1
高频考点六：公切线问题
典型例题
例题1．（2025·河南南阳·三模）已知函数与存在公切线，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（24-25高三上·河北石家庄·期末）若函数与在公共点处存在公共的切线，则 ．
精练高频考点
1．（2025·湖南长沙·模拟预测）若曲线与有公共的切线，则的最大值为（ ）
A．-2B．2C．-1D．1
2．（2025·湖南·三模）若直线（k为常数）是曲线和曲线的公切线，则实数a的值为（ ）
A．B．C．1D．e
高频考点七：与切线有关的转化问题
典型例题
例题1．（24-25高三下·海南海口·阶段练习）函数图象上一点到直线：的最短距离为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2025·辽宁·模拟预测）已知点，点，则的最小值为 ．
精练高频考点
1．（2025届河南省驻马店市部分学校高二下学期六月摸底考试模拟预测数学试题）已知点为曲线上的动点，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A．B．6C．D．9
2．（24-25高二下·浙江·期中）动直线分别交直线和曲线于，两点，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
高频考点八：已知切线条数求参数
典型例题
例题1．（多选）（24-25高三下·山东·阶段练习）过点的曲线的切线有条，则的值可能是 （ ）
A．B．C．D．
例题2．（2025·河南·模拟预测）已知对于，过点可作曲线的3条不同的切线，则实数的取值范围为 .
精练高频考点
1．（24-25高三下·江西·阶段练习）若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·甘肃定西·模拟预测）若过点只有一条直线与函数的图象相切，则的取值范围为 .
第四部分：典型易错题型
易错点一：求导时分子公式记错
1．（24-25高二下·广东佛山·期中）函数的导数（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25高二下·天津·期中）函数的导数是（ ）
A．B．
C．D．
易错点二：复合函数求导容易误用求导法则
1．（24-25高二下·全国·课后作业）的导数是（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高二下·广东深圳·期中）（ ）
A．B．
C．D．
易错点三：求切线时“过型”容易误把已知点直接当切点
1．（24-25高三下·江苏扬州·阶段练习）已知函数，过原点作曲线的切线，则该切线的方程为 .
2．（24-25高三下·北京·阶段练习）已知函数
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求曲线过点处的切线方程.
基本初等函数
导数
(为常数)
()
()
(，)
第01讲 导数的概念及运算
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc857" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc857 \h 1
\l "_Tc4765" 第二部分：高考真题回顾 PAGEREF _Tc4765 \h 3
\l "_Tc17835" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc17835 \h 5
\l "_Tc25183" 高频考点一：导数的概念 PAGEREF _Tc25183 \h 5
\l "_Tc8538" 高频考点二：导数的运算 PAGEREF _Tc8538 \h 6
\l "_Tc16660" 高频考点三：求切线方程（在型） PAGEREF _Tc16660 \h 8
\l "_Tc14351" 高频考点四：求切线方程（过型） PAGEREF _Tc14351 \h 9
\l "_Tc19479" 高频考点五：已知切线方程（或斜率）求参数 PAGEREF _Tc19479 \h 11
\l "_Tc29384" 高频考点六：公切线问题 PAGEREF _Tc29384 \h 13
\l "_Tc11592" 高频考点七：与切线有关的转化问题 PAGEREF _Tc11592 \h 16
\l "_Tc11577" 高频考点八：已知切线条数求参数 PAGEREF _Tc11577 \h 18
\l "_Tc11652" 第四部分：典型易错题型 PAGEREF _Tc11652 \h 21
第一部分：基础知识
1、平均变化率
（1）变化率
事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值.
（2）平均变化率
一般地，函数在区间上的平均变化率为：.
（3）如何求函数的平均变化率
求函数的平均变化率通常用“两步”法：
①作差：求出和
②作商：对所求得的差作商，即.
2、导数的概念
（1）定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作.
（2）定义法求导数步骤：
求函数的增量：；
求平均变化率：；
求极限，得导数：.
3、导数的几何意义
函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率，即.
4、基本初等函数的导数公式
5、导数的运算法则
若，存在，则有
（1）
（2）
（3）
6、复合函数求导
复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积．
7、曲线的切线问题
（1）在型求切线方程
已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程.
步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点.
第二步：计算切线斜率.
第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。
根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
（2）过型求切线方程
已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程.
步骤：第一步：设切点
第二步：计算切线斜率；计算切线斜率；
第三步：令：，解出，代入求斜率
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
第二部分：高考真题回顾
1．（2024·全国甲卷·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得其面积.
【详解】，
则，
即该切线方程为，即，
令，则，令，则，
故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积.
故选：A.
2．（2024·全国Ⅰ卷·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 .
【答案】
【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.
【详解】由得，，
故曲线在处的切线方程为；
由得，
设切线与曲线相切的切点为，
由两曲线有公切线得，解得，则切点为，
切线方程为，
根据两切线重合,所以，解得.
故答案为：
3．（2025·全国一卷·高考真题）若直线是曲线的切线，则 .
【答案】
【分析】法一：利用导数的几何性质与导数的四则运算求得切点，进而代入曲线方程即可得解；法二：利用导数的几何性质与导数的四则运算得到关于切点与的方程组，解之即可得解.
【详解】法一：对于，其导数为，
因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2，
令，即，解得，
将代入切线方程，可得，
所以切点坐标为，
因为切点在曲线上，
所以，即，解得.
故答案为：.
法二：对于，其导数为，
假设与的切点为，
则，解得.
故答案为：.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：导数的概念
典型例题
例题1．（24-25高三下·海南海口·阶段练习）已知函数，那么（ ）
A．B．1C．2D．4
【答案】B
【分析】根据导数的定义求解即可．
【详解】根据题意，，则，
由导数的定义知，．
故选：B．
例题2．（24-25高三下·四川绵阳·阶段练习）已知函数，则（ ）
A．0B．2C．D．
【答案】D
【分析】根据导数的极限定义，借助于导数公式即可求解.
【详解】由求导，可得，
则.
故选：D.
精练高频考点
1．（24-25高三下·四川广安·阶段练习）设函数满足，则（ ）
A．B．3C．D．
【答案】D
【分析】根据导数的定义可求.
【详解】,
故，
故选：D.
2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则（ ）
A．B．C．-6eD．
【答案】B
【分析】利用导数的运算法则求出，再利用导数的定义即可求出.
【详解】由题意得，
则
.
故选：B
高频考点二：导数的运算
典型例题
例题1．（24-25高二下·辽宁鞍山·期中）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据求导公式和求导法则逐项判断即可.
【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：C.
例题2．（24-25高三下·北京·阶段练习）下列四个求导运算中运算结果错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据导数四则运算法则及复合函数求导公式即可判断．
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选：B
精练高频考点
1．（24-25高三下·山东烟台·阶段练习）下列求导结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据导数的求导法则及复合函数的求导法则逐项求导即可.
【详解】，A错误；
，B错误；
，C正确；
，D错误.
故选：C.
2．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期中）下列求导运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由复合函数的求导逐项判断即可.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误．
故选：C.
高频考点三：求切线方程（在型）
典型例题
例题1．（2025·甘肃白银·二模）已知函数在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求，进而求，即切线方程为即可求解.
【详解】由题意有，
所以切线方程为，即，
故选：C.
例题2．（24-25高三下·重庆·阶段练习）在处的切线方程为 ．
【答案】
【分析】首先对原函数求导，然后将切点的横坐标代入求出切线的斜率，进而可求出切线方程.
【详解】对函数求导得：，
则，因为切线过点，
故切线方程为．
故答案为：.
精练高频考点
1．（2025·福建福州·模拟预测）曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求导，根据导数的几何意义可得切线斜率与切线方程.
【详解】由已知，
则，
即切线斜率，
又，
所以切线方程为，
即，
故选：D.
2．（2025·河北衡水·模拟预测）曲线在点处的切线方程是 ．
【答案】
【分析】利用导数的几何意义先计算，结合点斜式计算即可.
【详解】易知，所以，
故在点处的切线方程是.
故答案为：.
高频考点四：求切线方程（过型）
典型例题
例题1．（多选）（24-25高三下·河北邢台·阶段练习）过点向曲线作切线，切线方程可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】设切点为，利用导数的几可意义，再结合题设条件得到，解得或，即可求解.
【详解】令，则，设切点为，
则切线方程为，
将点代入，整理得，
即，解得或，
当时，切线方程为；当时，切线方程为．
故答案为：AC.
例题2．（2024高三·全国·专题练习）已知直线l为曲线过点的切线．则直线l的方程为 ．
【答案】或
【分析】设切点为，由导数的几何意义求得切线方程，代入点坐标求出，再回代得切线方程．
【详解】∵，∴.
设直线与曲线相切于点，则直线的斜率为，
∴过点的切线方程为，
即，又点在切线上，
∴，整理得，
∴，
解得或；
∴所求的切线方程为或.
故答案为：或.
精练高频考点
1．（2025·新疆·模拟预测）曲线过点的切线方程为 .
【答案】
【分析】求导，根据点斜式求解直线方程，代入即可求解，进而可求解.
【详解】设切点为，则，
故切线方程为，
将代入可得，解得，
故切线方程为，即，
故答案为：
2．（24-25高三上·江西吉安·期末）过点作曲线的切线的斜率为 ．
【答案】2
【分析】设切点坐标，由导数得几何意义求得切线方程，代入即可求解；
【详解】，设切点横坐标为，
故曲线在处的切线方程为l：，
将，代入，得，
解得，∴，
故答案为：2
高频考点五：已知切线方程（或斜率）求参数
典型例题
例题1．（2025·河南·模拟预测）已知曲线的一条切线的方程为，则实数（ ）
A．0B．1C．-1D．
【答案】B
【分析】首先对函数求导，根据切线斜率1和切点坐标即可求出的值.
【详解】与的图象相切，设切点为，
则，故，
由，即，将代入上式，得，故.
故选：B.
例题2．（2025·安徽合肥·模拟预测）曲线在处的切线与直线平行，则 ．
【答案】1
【分析】根据导数的几何意义以及两直线平行，斜率相等可得结果.
【详解】函数的定义域为，由已知，故，
函数的导函数，所以，
因为函数在处的切线与直线平行，
所以，所以，经验证，此时满足题意．
故答案为：1
精练高频考点
1．（2025·河南许昌·三模）若直线与曲线相切，则的值为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】A
【分析】设切点为，根据导数的几何意义求得，再由切点在直线和曲线上有，即可求.
【详解】设直线与曲线的切点为，
对求导，得，直线的斜率为1，
导数的几何意义知，在切点处，即．
又切点既在直线上又在曲线上，
且，即．
将代入，得：，即．
故选：A
2．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数，曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】求导可得，结合导数的几何意义代入计算，即可得到结果.
【详解】由可得，
则，
因为曲线在点处的切线与直线平行，
且直线的斜率为，即，解得.
故选：A
高频考点六：公切线问题
典型例题
例题1．（2025·河南南阳·三模）已知函数与存在公切线，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设出两切点，由导数的意义求出切线方程，转化为方程组有解问题，消去后构造函数，求导分析单调性可得最值.
【详解】设公切线与函数及函数的切点分别为，，且，，
故两切线方程为，，
即，，
与存在公切线，所以有解，消去后得：，
令，，
易得在上单调递增，且时，；时，，
故在区间上递减，在上递增．
所以，的最小值为，即的最小值为，即实数的最小值为．
故选：B．
例题2．（24-25高三上·河北石家庄·期末）若函数与在公共点处存在公共的切线，则 ．
【答案】
【分析】设公共点坐标为，由题意可得，进而可得.
【详解】函数与的导数分别为与，
设公共点坐标为，则，
所以，又因为，故，，所以．
故答案为：
精练高频考点
1．（2025·湖南长沙·模拟预测）若曲线与有公共的切线，则的最大值为（ ）
A．-2B．2C．-1D．1
【答案】D
【分析】设直线与相切于求出切线方程，直线与相切于求出切线方程，让两条切线方程的斜率、截距相同可得.令，构造函数，利用导数求出最小值可得答案.
【详解】设直线与相切于，
则直线：，
直线与相切于，
则直线：，
因为曲线与有公共的切线，则两条切线方程的斜率、截距相同，
故，
则.
令，，
则在单调递增，且，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，于是有，
即.
故选：D.
2．（2025·湖南·三模）若直线（k为常数）是曲线和曲线的公切线，则实数a的值为（ ）
A．B．C．1D．e
【答案】B
【分析】解法一：先对求导得，设与直线切点为，写出切线方程，根据直线得到关于和的方程组，求出.
再对求导，设其与直线切点为，根据导数等于切线斜率以及切点在切线上列方程，求出.
解法二：设两条曲线的切点分别为，，分别根据切点在曲线上、在切线上以及切线斜率列出方程组，求解得到，，再同理求出，进而得到.
【详解】解法一：令，，则，
设直线与的切点为，
则切线方程为，即，
又因为，所以，解得，，所以切线方程为，
令，则，
设直线与的切点为，所以 ①，
又因为切点在直线上，所以，即 ②，
由①和②可得，所以，解得．
解法二：设切点分别为，，
．∴，．
同理．∴，∴，∴．
故选：B．
高频考点七：与切线有关的转化问题
典型例题
例题1．（24-25高三下·海南海口·阶段练习）函数图象上一点到直线：的最短距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，点是函数上与直线平行的切线的切点，根据斜率求出点坐标，再由点到直线距离公式求得最短距离.
【详解】函数，导数为，
设，则，所以，
带入原函数得，此时到直线：的距离最短，
最短距离.
故选：D.
例题2．（2025·辽宁·模拟预测）已知点，点，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】根据函数关系，找出得轨迹,根据轨迹分析最小值的情况,列出表达式,通过函数导数判断表达式单调性,求出最小值.
【详解】易知点在函数上,
设,化简得,即
则点在以为圆心,半径为1的圆周上,
如图所示,可知两点间的最小值,即为点到圆心得最小值减去半径即可.
设圆心为,可知,
设函数,求导得
易知为单调增函数,且,
所以当时，,在单调递减, 当时，,在单调递增,
在上有最小值,最小值,
所以的最小值为.
故答案为: .
精练高频考点
1．（2025届河南省驻马店市部分学校高二下学期六月摸底考试模拟预测数学试题）已知点为曲线上的动点，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A．B．6C．D．9
【答案】B
【分析】根据曲线的切线与直线平行时，切点到直线的距离最小，求出曲线的切点，再根据点到直线的距离公式计算最小距离即可.
【详解】设曲线在点处的切线与直线平行，
由，得，则或，
则动点到直线的距离的最小值为.
所以点到直线的距离的最小值为，
故选：B.
2．（24-25高二下·浙江·期中）动直线分别交直线和曲线于，两点，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，先求得过曲线上的某点且与直线平行的切线方程，再将的最小值转化为两平行直线的距离，即可得到结果.
【详解】设过曲线上的点的切线方程与直线平行，
则，所以，解得或（舍），
即，则切点为，
切线方程为，化简可得，
则的最小值即为切线与直线的距离，
所以.
故选：C
高频考点八：已知切线条数求参数
典型例题
例题1．（多选）（24-25高三下·山东·阶段练习）过点的曲线的切线有条，则的值可能是 （ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】设切点为，利用导数求出函数在处的切线方程，再将点的坐标代入切线方程，可得，根据题意得出，求出实数的取值范围，即可得出合适的选项.
【详解】设切点为，对函数求导，得，则切线的斜率，
即切线方程为.
因为切线过点，所以，化简得，
因为切线有条，所以，解得或.
故选：AD.
例题2．（2025·河南·模拟预测）已知对于，过点可作曲线的3条不同的切线，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】求出函数的导数，设出切点坐标，求出切线方程，构造函数并利用函数有3个零点求解即可.
【详解】设切点坐标为，则，即，
整理得，令，
依题意，函数有3个不同的零点，求导得
，当时，，在上单调递减，值域为；
当时，，在是单调递增，值域为；
当时，在上单调递减，值域为，
由函数有3个零点，得，即，
解得，又，则，
所以的取值范围为.
故答案为：
精练高频考点
1．（24-25高三下·江西·阶段练习）若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】切点为P，通过导数的几何意义求得过点的切线方程，代入点得，令，由题意得有两个不同的解，结合函数的图像可求得t的范围.
【详解】若过点可以作曲线的两条切线，则，
设切点为P，则切线方程，
由切线过过，得，即，
令，则有两个不同的解，
对称轴为，，
由的图像得t的范围.
故答案为：D.
2．（2025·甘肃定西·模拟预测）若过点只有一条直线与函数的图象相切，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】由导数的几何意义可得切线方程，代入点的坐标可得，然后利用导数研究其图像，结合图像即可得到结果.
【详解】
设过点的切线与的切点为，
因为，则切线的斜率为，
所以切线的方程为，
代入得，
即.
设，则，
由，得或，
当或时，，在，上单调递减；
当时，，在上单调递增.
所以，，
因为，所以，，
作出的大致图象如图所示，
由图象可知只有一条直线与的图象相切时，或.
故答案为：
第四部分：典型易错题型
易错点一：求导时分子公式记错
1．（24-25高二下·广东佛山·期中）函数的导数（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】直接根据诱导公式、函数的求导法则和商的求导公式可得所求.
【详解】，
所以，
故选：B
2．（24-25高二下·天津·期中）函数的导数是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据导数的运算法则计算可得.
【详解】因为，所以.
故选：D
易错点二：复合函数求导容易误用求导法则
1．（24-25高二下·全国·课后作业）的导数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用复合函数的求导法法则求解即可.
【详解】由，求导得.
故选：A
2．（24-25高二下·广东深圳·期中）（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据复合函数的求导公式计算即可.
【详解】，
故选：B.
易错点三：求切线时“过型”容易误把已知点直接当切点
1．（24-25高三下·江苏扬州·阶段练习）已知函数，过原点作曲线的切线，则该切线的方程为 .
【答案】
【分析】设所求切线切点为，利用导数几何意义结合两点间斜率公式求得方程，解方程求出即可求解.
【详解】设所求切线切点为，由题，
所以所求切线斜率为，又切线过原点，
所以，故切点为，切线斜率为，
所以切线方程为.
故答案为：
2．（24-25高三下·北京·阶段练习）已知函数
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求曲线过点处的切线方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由导数的几何意义可知在点处的切线的斜率为，利用导数的运算法则求得，
再利用直线的点斜式即可求得在点处切线方程；
（2）注意是过点，所以首先要设切点坐标，利用直线的点斜式写出切线方程，再结合过点求出切点坐标，
代入即可得过点处的切线方程.
【详解】（1）函数 的导函数为 ，则，
由导数的几何意义可知在点处的切线的斜率为，又，
由直线的点斜式方程可得切线方程为，即；
（2）设切点坐标为，且，由（1）知，
由直线的点斜式方程可得切线方程为 ，
由切线经过点，代入可得，
化简得 解得 或，又，
结合切线过点可得切线的方程为 或 .
基本初等函数
导数
(为常数)
()
()
(，)