2026年高考数学一轮复第01讲导数的概念及其意义、导数的运算(专项训练)(全国通用)(学生版+解析)

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题型01 平均变化率和瞬时变化率
题型02 “在”型切线和“过”型切线
题型03 切线条数
题型04 公切线问题
题型05 距离最值转化问题
题型06 导数运算
\l "_Tc20184" 02 核心突破提升练
\l "_Tc5699" 03 真题溯源通关练
01 平均变化率和瞬时变化率
1．若f(x)=ln2−xex，则limΔx→0f(1+Δx)−f(1)Δx=（ ）
A．0B．2C．－2D．－4
【答案】C
【详解】因为f(x)=ln2−xex，所以f'(x)=2−xex'×ex2−x=−ex−ex2−xe2x×ex2−x=x−32−x，
所以f'1=1−32−1=−2，
则limΔx→0f(1+Δx)−f(1)Δx=f'1=−2.
故选：C.
2．已知函数fx=x，则limΔx→0f1+Δx−f12Δx=（ ）
A．14B．12C．1D．2
【答案】A
【详解】由题f′x=12x−12=12x，
limΔx→0f1+Δx−f12Δx=12limΔx→0f1+Δx−f1Δx=12f′(1)=12×12=14，
故选：A.
3．函数y=x2在x0到x0+Δx之间的平均变化率为k1，在x0−Δx到x0的平均变化为k2，则k1与k2的大小关系是 .(填k1>k2，k1 k2
【详解】因为k1=fx0+Δx−fx0Δx=x0+Δx2−x02Δx=2x0+Δx，
k2=fx0−fx0−ΔxΔx=x02−x0−Δx2Δx=2x0−Δx，
且k1−k2=2Δx>0，则k1>k2.
故答案为：k1>k2
4．函数y=x3在区间0,2的平均变化率与在x=x0(0≤x0≤2)处的瞬时变化率相同，则正数x0= ．
【答案】233/233
【详解】函数y=x3在区间0,2上的平均变化率等于f(2)−f(0)2−0=8−02−0=4，
因为y′=3x2，则y=x3在x=x0时的瞬时变化率为3x02，
则有3x02=4，解得x0=±233，因为0≤x0≤2，所以x0=233，
故答案为：233.
02“在”型切线和“过”型切线
5．函数fx=exlnx在x=1处的切线斜率为（ ）
A．0B．1C．eD．e+1
【答案】C
【详解】f′x=exlnx+ex⋅1x，故f′1=e.
故选：C
6．已知曲线y=lnx+1在点0,0处的切线与曲线y=x2+kx相切，则常数k= ．
【答案】1
【详解】对函数y=lnx+1求导得y′=1x+1，所以曲线y=lnx+1在原点处的切线斜率为1，
故曲线y=lnx+1在点0,0处的切线方程为y=x，
联立y=x2+kxy=x可得x2+k−1x=0，由题意得Δ=k−12=0，解得k=1.
故答案为：1.
7．曲线fx=exx+xlnx在x=1处的切线方程为 .
【答案】y=x+e−1
【详解】f1=e，f′x=x−1exx2+1+lnx，
f′1=1，
所以切线方程为y−e=x−1，
即y=x+e−1.
故答案为：y=x+e−1
8．若函数fx=ax−3x的图象在点1,f1 处的切线过点2,4，则a= ．
【答案】2
【详解】因为fx=ax−3x，所以f′x=a+3x2，则f′1=a+3，又f1=a−3，
所以切线方程为：y−a+3=a+3x−1，
因为切线方程经过点2,4，
所以4−a+3=a+32−1，
解得a=2．
故答案为：2
9．过点0,2可作曲线y=x3−3x+2的切线的条数最多为 .
【答案】1
【详解】设切点坐标为m,m3−3m+2．
因为y=x3−3x+2，所以y′=3x2−3，则切线斜率为3m2−3，
所以切线方程为y−m3−3m+2=3m2−3x−m．
又点0,2在切线上，所以2−m3−3m+2=−m3m2−3，解得m=0，
故过点0,2可作1条切线与曲线y=x3−3x+2相切．
故答案为：1.
10．函数f(x)=x3−3x2的图象上过点(3,0)的切线方程为 ．
【答案】y=0或y=9x−27
【详解】由f(x)=x3−3x2得f′(x)=3x2−6x．设切点为x0,y0，则f′x0=3x02−6x0，
所以切线的方程为y−y0=3x02−6x0⋅x−x0，
又切线过点(3,0)，所以0−y0=3x02−6x0⋅(3−x0)，
又y0=fx0=x03−3x02，得2x03−12x02+18x0=0，所以x0=0或x0=3，
当x0=0时，切线方程为y=0，当x0=3时，切线方程为y=9(x−3)=9x−27．
故答案为：y=0或y=9x−27
11．已知曲线y=ex，则曲线过原点的切线方程为 .
【答案】y=ex
【详解】由y=fx=ex，则f′x=ex，
设切点为x0,y0，
所以ex0=y0−0x0−0=y0x0=ex0x0，解得x0=1，
所以切点为1,e，切线的斜率k=f′1=e
所以过原点的切线方程为：y−e=e×x−1，即y=ex.
故答案为：y=ex
12．过点M1,0且曲线y=x3−x相切的直线的方程为 .
【答案】x+4y−1=0或2x−y−2=0
【详解】设切点为Pt,t3−t，对函数y=x3−x求导得y'=3x2−1，则切线斜率为3t2−1，
所以，曲线y=x3−x在点P处的切线方程为y−t3−t=3t2−1x−t，
因为切线过点M1,0，则有t−t3=3t2−11−t，整理可得2t3−3t2+1=0，
即2t+1t−12=0，
当t=−12时，切线斜率为3×−122−1=−14，切线方程为y=−14x−1，即x+4y−1=0；
当t=1时，切线斜率为3×12−1=2，切线方程为y=2x−1，即2x−y−2=0.
故答案为：x+4y−1=0或2x−y−2=0.
03 切线的条数
13．若曲线y=x+aex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是（ ）
A．−4,0B．−∞,−4∪0,+∞
C．0,4D．−∞,0∪4,+∞
【答案】B
【详解】设切点为Ax0,y0，
由已知可得y′=exx+a+1.
根据导数的几何意义可知，
切线的斜率为k=y′=ex0x0+a+1.
代入切线方程为y−y0=kx−x0，
整理可得y−x0+aex0=ex0x0+a+1x−x0.
又切线经过原点，
所以有0−x0+aex0=ex0x0+a+10−x0，
整理可得x02+ax0−a=0.
因为曲线y=x+aex有两条过坐标原点的切线，
所以方程有两个不相等的实数解，
即有Δ=a2+4a>0，解得a0.
故选：B.
14．已知过点Aa,0作曲线y=xlnx的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围为（ ）
A．0,+∞B．1,+∞
C．1e,+∞D．e,+∞
【答案】B
【详解】设切点为x0,y0，对函数y=xlnx求导得y′=lnx+1，
所以，切线斜率为k=lnx0+1=y0x0−a=x0lnx0x0−a，整理得a=x0lnx0+1，
关于x0的方程a=x0lnx0+1有两个不等的实根.
令函数fx=xlnx+1，由题意可得x>0lnx+1≠0，解得x>0且x≠1e，
所以，函数fx的定义域为0,1e∪1e,+∞，且f′x=lnx1+lnx2，
当x∈0,1e时，fx1时，直线y=a与函数fx的图象有两个交点，
因此，实数a的取值范围是1,+∞.
故选：B.
15．（多选）已知函数fx=4x+ax2，若曲线y=fx过点P1,1的切线有两条，则实数a的值不可能为（ ）
A．−4B．−3C．−2D．1
【答案】BC
【详解】设切点为t,4t+at2，因为fx=4x+ax2，则f′x=2ax+4，
则切线的斜率为f′t=2at+4，故切线方程为y−4t+at2=2at+4x−t，
将点P1,1的坐标代入切线方程得1−4t+at2=2at+41−t，整理得at2−2at−3=0，
因为曲线y=fx过点P1,1的切线有两条，则关于t的方程at2−2at−3=0有两个不等的实根，
所以a≠0Δ=4a2+12a>0，解得a0，
故选：BC.
16．（多选）已知函数fx=x3−x，若过点a,ba>0可作曲线y=fx的切线有三条，则以下有序实数对中符合条件的a,b有（ ）
A．1,−12B．1,0C．2,0D．2,2
【答案】ACD
【详解】设切点为x0,fx0，则f′x0=3x02−1=fx0−bx0−a，化简得2x03−3ax02+a+b=0，
若切线有三条，则以上关于x0的方程至少要有三个不同的解，
（切点个数不能代表切线条数，此例可以验证三个切点必有三条切线）．
构造函数gx=2x3−3ax2+a+b，三次函数gx要有三个零点，
等价于gx的极大值大于0，极小值小于0，而g′x=6xx−aa>0，
当xa时g′x>0，即gx在(−∞,0)、(a,+∞)上单调递增，
当0