2026年高考数学复习举一反三讲义(全国通用)专题3.1导数的概念及其意义、导数的运算(学生版+解析)

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\l "_Tc17868" 【题型1 导数的定义及其应用】 PAGEREF _Tc17868 \h 2
\l "_Tc5705" 【题型2 （复合）函数的运算】 PAGEREF _Tc5705 \h 4
\l "_Tc7699" 【题型3 求曲线切线的斜率（倾斜角）】 PAGEREF _Tc7699 \h 6
\l "_Tc24935" 【题型4 求曲线的切线方程】 PAGEREF _Tc24935 \h 8
\l "_Tc29696" 【题型5 与切线有关的参数问题】 PAGEREF _Tc29696 \h 9
\l "_Tc8293" 【题型6 切线的条数问题】 PAGEREF _Tc8293 \h 11
\l "_Tc16603" 【题型7 两条切线平行、垂直、公切线问题】 PAGEREF _Tc16603 \h 13
\l "_Tc14333" 【题型8 与切线有关的最值问题】 PAGEREF _Tc14333 \h 15
1、导数的概念及其意义、导数的运算
知识点1 导数的运算的方法技巧
1．导数的运算的方法技巧
(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.
(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.
(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
知识点2 复合函数的导数
1．复合函数的定义
一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)).
2．复合函数的求导法则
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 =，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
3．求复合函数导数的步骤
第一步：分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数；
第二步：分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数；
第三步：相乘：把上述求导的结果相乘；
第四步：变量回代：把中间变量代回.
知识点3 切线问题及其解题策略
1．求曲线“在”某点的切线方程的解题策略：
(1)求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率；
(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f'(x0)(x-x0).
2．求曲线“过”某点的切线方程的解题通法：
(1)设出切点坐标T(x0,f(x0))(不出现y0)；
(2)利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)；
(3)将已知条件代入②中的切线方程求解.
3．与切线有关的参数问题的解题策略：
(1)处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数：
①切点处的导数是切线的斜率；
②切点在切线上，故满足切线方程；
③切点在曲线上，故满足曲线方程.
(2)利用导数的几何意义求参数问题时，注意利用数形结合，化归与转化的思想方法.
4．公切线问题的解题思路
求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法.
【题型1 导数的定义及其应用】
【例1】（24-25高二下·河南·期末）已知函数fx=x2−2x−3，则fx从1到1+Δx的平均变化率为（ ）
A．Δx+3B．2Δx−1C．ΔxD．(Δx)2−Δx
【答案】C
【解题思路】根据平均变化率的定义计算可得.
【解答过程】f1+Δx−f1Δx=1+Δx2−21+Δx−3−1−2−3Δx=Δx2Δx=Δx.
故选：C.
【变式1-1】（24-25高二下·海南海口·期中）一物体做直线运动，其位移y（单位：m）与时间t（单位：s）的关系是yt=t2+4t，则物体在t=2s时的瞬时速度为（ ）
A．2m/sB．6m/sC．8m/sD．12m/s
【答案】C
【解题思路】根据导数的运算公式，求得y′t=2t+4，得到y′2的值，即可求解.
【解答过程】由题意知，位移y与时间t的关系是yt=t2+4t，可得y′t=2t+4，
可得y′2=2×2+4=8m/s.
故选：C.
【变式1-2】（24-25高二下·湖北十堰·期末）已知函数fx在x=x0处可导，若limΔx→0fx0+2Δx−fx0−ΔxΔx=12，则f′x0=（ ）
A．4B．6C．−6D．−4
【答案】A
【解题思路】应用导数定义计算求解.
【解答过程】因为limΔx→0fx0+2Δx−fx0−ΔxΔx=limΔx→0fx0+2Δx−fx0+fx0−fx0−2ΔxΔx
=2limΔx→0fx0+2Δx−fx02Δx+lim−Δx→0fx0−Δx−fx0−Δx=3f′x0=12，所以f′x0=4.
故选：A.
【变式1-3】（24-25高二下·北京·期中）物体甲、乙在时间0到t1范围内，路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是（ ）

A．在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B．在0到t0范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度
C．在t=t0时，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度
D．在t=t0时，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度
【答案】C
【解题思路】利用平均速度、瞬时速度的定义逐项判断即可.
【解答过程】在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为s0t0，故A、B错误；
因为甲对应的曲线在t=t0处的切线的斜率大于乙对应的曲线在t=t0处的切线的斜率
故在t=t0处，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度，故C正确，D错误.
故选：C.
【题型2 （复合）函数的运算】
【例2】（2025·湖北·模拟预测）已知函数fx和它的导函数f′x的定义域均为R，且fx+2+f−x=2，f′x+2为奇函数．若f0=0，则i=12025f(i)=（ ）
A．1B．2C．2025D．2026
【答案】C
【解题思路】根据虚拟函数的对称性，可知函数fx关于1,1中心对称，f′2=0，得出函数的规律，分别求出x为整数是函数的值，求出前2025项的和即可.
【解答过程】∵fx+2+f−x=2，∴fx+2=2−f−x，即fx关于1,1中心对称，
∵f′x+2为奇函数，且定义域为R,
∴f′x+2关于0,0所中心对称，根据换元法则有f′(x)关于2,0中心对称，
则f(x)关于直线x=2轴对称，则有f(x)=f(4−x)，
可知f(x+2)+f(−x)=2f(−x)=f(4+x),作差得f(x+2)+f(x+4)=2，换元得f(x)+f(x+2)=2
再作差[f(x+2)+f(x+4)]−[f(x)+f(x+2)]=0，化简得f(x+4)−f(x)=0，
即f(x+4)=f(x)，函数f(x)周期为4.
当x=−1时，f(1)+f(1)=2，解得f(1)=1，
当x=0时，f(2)+f(0)=2，解得f(2)=2，
由fx+2+f−x=2，可知f3+f−1=2，结合f3=f−1
可知f(3)=1，又f(4)=f(0)=0，
故i=12025f(i)=（1+2+1+0）×506+f(2025)=2024+1=2025，
故选：C.
【变式2-1】（2025·陕西安康·三模）已知函数fx及其导函数f′x的定义域均为R，若f′x为奇函数，fx+1+x为偶函数，则f′101=（ ）
A．−101B．101C．0D．−1
【答案】A
【解题思路】由已知可得f′−x=−f′x，f−x+1−x=fx+1+x，求导得f′−x+1=−f′x−1，进而可得f′x−f′x−2=−2，累加可求得f′101.
【解答过程】因为函数fx及其导函数f′x为奇函数，所以f′−x=−f′x，
又函数fx+1+x为偶函数，所以f−x+1−x=fx+1+x，
对两边求导，得−f′−x+1−1=f′x+1+1，所以−f′−x+1−f′x+1=2，
又f′−x=−f′x，所以f′−x+1=−f′x−1，
所以f′x−1−f′x+1=2，所以f′x−f′x−2=−2，
所以f′101−f′99=−2，f′99−f′97=−2，⋯，f′3−f′1=−2，
所以f′101−f′1=−2×50=−100，又f′1−f′−1=−2，所以f′1+f′1=−2，所以f′1=−1，所以f′101=−101.
故选：A.
【变式2-2】（2025·山东潍坊·模拟预测）已知函数fx及其导函数f′x的定义域均为(0,+∞)，fx2+1=f2(x)+f2(1)+x2，且f(1)=1，f′(1)=12，则f′(5)=（ ）
A．94B．114C．134D．154
【答案】C
【解题思路】先应用赋值法计算f2，再结合复合函数求导得出 f′2=32，最后赋值计算即可.
【解答过程】因为fx2+1=f2(x)+f2(1)+x2，且f(1)=1，令x=1，得f2=f2(1)+f2(1)+1=3.
对fx2+1=f2(x)+f2(1)+x2两边同时求导，得2xf'x2+1=2f'(x)f(x)+2x，即xf'x2+1=f'(x)f(x)+x.
令x=1，得f'2=f'(1)f(1)+1=12+1=32.
令x=2，得2f'5=f'(2)f(2)+2=32·3+2=132，故f'5=134.
故选：C.
【变式2-3】（2025·江西·一模）已知可导函数fx的定义域为R，f′x是fx的导函数，且f2x−1为偶函数f′2x+1为奇函数，f′0=1，则f′2024+f′2025+f′2026=（ ）
A．−2B．−1C．0D．1
【答案】C
【解题思路】由题意可得f′1−t+f′1+t=0，由函数奇偶性的定义得出f−t−1=ft−1，求导得出−f′−t−1=f′t−1，进而可推出函数f′x是周期为4的周期函数，以及函数f′x的对称中心为1,0，求出f′1、f′0+f′2的值，结合函数周期性可求得f′2024+f′2025+f′2026的值.
【解答过程】因为函数f′2x+1为奇函数，则f′−2x+1=−f′2x+1，
即f′−2x+1+f′2x+1=0，令t=2x，则f′1−t+f′1+t=0，
所以，函数f′x的对称中心为1,0，且f′2−t+f′t=0，①
在等式①中，令t=1可得2f′1=0，解得f′1=0，
在等式①中，令t=0可得f′0+f′2=0,
因为函数f2x−1为偶函数，则f−2x−1=f2x−1，
令t=2x，可得f−t−1=ft−1，求导得−f′−t−1=f′t−1，
则f′t+f′−2−t=0，②
由①②可得f′2−t=f′−2−t，令s=−2−t，则f′4+s=f′s，
所以，函数f′x是周期为4的周期函数，
所以，f′2024+f′2025+f′2026=f′0+f′1+f′2=0.
故选：C.
【题型3 求曲线切线的斜率（倾斜角）】
【例3】（2024·福建厦门·一模）已知直线l与曲线y=x3−x在原点处相切，则l的倾斜角为（ ）
A．π6B．π4C．3π4D．5π6
【答案】C
【解题思路】利用导数几何意义求直线的斜率，进而确定倾斜角.
【解答过程】由y′=3x2−1，则y′|x=0=−1，即直线l的斜率为−1，
根据倾斜角与斜率关系及其范围知：l的倾斜角为3π4.
故选：C.
【变式3-1】（2025·福建泉州·模拟预测）如图是函数fx的部分图象，记fx的导数为f′x，则下列选项中值最大的是（ ）
A．f3B．3f′3C．f−14D．f′8
【答案】A
【解题思路】由函数fx的图象，结合导数的几何意义，即可判断.
【解答过程】
由图可知，f−14,f′8为负数，f3,3f′3为正数，故不选f−14,f′8，
设fx在x=3处的点为A，显然OA的斜率kOA大于f′3，
则f3−03−0>f′3，可转化为f3>3f′3，
所以f3的值最大.
故选：A．
【变式3-2】（24-25高二下·福建福州·期中）设fx为R上的可导函数，且limΔx→0f1−f1+2ΔxΔx=1，则曲线y=fx在点1,f1处的切线斜率为（ ）
A．−2B．−1C．1D．−12
【答案】D
【解题思路】利用导数定义以及导数的几何意义计算即可.
【解答过程】易知曲线y=fx在点1,f1处的切线斜率为f′1，
所以f′1=limΔx→0f1−f1+2Δx−2Δx=−12limΔx→0f1−f1+2ΔxΔx=−12.
故选：D.
【变式3-3】（24-25高二下·陕西西安·阶段练习）已知函数fx的导函数为f′x，fx的图象如图所示，则（ ）
A．f′x1>f′x3>f′x2B．f′x2>f′x1>f′x3
C．f′x3>f′x1>f′x2D．f′x1>f′x2>f′x3
【答案】A
【解题思路】根据导数的几何意义，结合图象即可求解.
【解答过程】根据导数的几何意义，结合图象可得f'x1>0,f'x3=0,f'x2f'x2.
故选：A.
【题型4 求曲线的切线方程】
【例4】（2025·广东肇庆·一模）曲线y=xx2−1在x=1处的切线方程为（ ）
A．x=1B．y=1
C．y=2x+1D．y=2x−2
【答案】D
【解题思路】利用导数的几何意义求出斜率，再代入直线的点斜式方程化简即可
【解答过程】令fx=xx2−1，则f′x=3x2−1，即f′1=2，f1=0，
所以曲线y=xx2−1在x=1处的切线方程为y−0=2x−1，即y=2x−2，
故选：D.
【变式4-1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数fx=x2f′13+lnx−9，则函数在x=1处的切线方程是（ ）
A．y=92x−9B．y=19x−19C．y=19x−292D．y=92x+472
【答案】B
【解题思路】对f(x)求导，注意f′(13)是常数，令x=13代入导函数中，可求得f′(13)，进而可求f′(1),f(1)，可得f(x)在x=1处的切线方程.
【解答过程】∵f′(x)=2f′(13)x+1x，令x=13，可得f′(13)=9，
∴f(1)=9+0−9=0，f′(1)=19，
所以f(x)在x=1处的切线方程为y=19x−19.
故选：B.
【变式4-2】（2025·江西景德镇·一模）过点A(0,1)且与曲线f(x)=x3+2x−1相切的直线方程是（ ）
A．y=5x+1B．y=2x+1
C．y=x+1D．y=−2x+1
【答案】A
【解题思路】根据导数几何意义以及斜率公式，计算可得切点坐标，即可求得切线方程.
【解答过程】f′x=3x2+2，点A不在曲线上，
设切点为(x0,x03+2x0−1)，则f′x0=3x02+2=x03+2x0−1−1x0，
解得：x0=−1，得切点−1,−4，则k=f′(−1)=5
切线方程为：y=5x+1，
故选：A．
【变式4-3】（2025·重庆·模拟预测）已知抛物线C:x2=3y和圆O:x2+y2=4在第一象限内的交点为P，则以P为切点的C的切线方程为（ ）
A．2x−3y−3=0B．3x−2y−1=0
C．2x+3y−33=0D．3x+2y−4=0
【答案】A
【解题思路】先根据联立得出点P，再求导函数得出切线斜率，最后点斜式写出直线方程.
【解答过程】联立抛物线C:x2=3y和圆O:x2+y2=4，可得y2+3y−4=0，y=−4（舍），则y=1,x=3，
在第一象限内的交点为P3,1，
由抛物线C:x2=3y，则y'=23x，所以在P3,1处切线斜率为k=233，
所以切线方程为y−1=233x−3，即得2x−3y−3=0.
故选：A.
【题型5 与切线有关的参数问题】
【例5】（2025·重庆·三模）已知直线y＝ax－a与曲线y=x+ax相切，则实数a＝（ ）
A．0B．12C．45D．32
【答案】C
【解题思路】根据导数的几何意义可得y0=ax0−ay0=x0+ax01−ax02=a，求解即可.
【解答过程】由y=x+ax且x不为0，得y′=1−ax2
设切点为x0,y0，则y0=ax0−ay0=x0+ax01−ax02=a，即ax0−a=x0+ax0a=x02x02+1，
所以x03x02+1−x02x02+1=x0+x0x02+1，可得x0=−2,a=45.
故选：C.
【变式5-1】（2025·山西·模拟预测）已知函数f(x)=(x−a)(x−2)(x−3)(x−4)，若f(x)的图象在x=2处的切线方程为y=6x+b，则a+b=（ ）
A．−11B．−12C．−13D．−14
【答案】C
【解题思路】利用导数的几何意义，列方程组求解即可.
【解答过程】由题意知f(2)=(2−a)×(2−2)×(2−3)×(2−4)=0，
所以0=6×2+b，解得b=−12，
又f′(x) =(x−a)(x−3)(x−4)+(x−2)[(x−a)(x−3)(x−4)]′，
所以f′(2)=(2−a)×(2−3)× (2−4)=6，解得a=−1，所以a+b=−1+(−12)=−13.
故选：C.
【变式5-2】（2025·全国一卷·高考真题）若直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的切线，则a= .
【答案】4
【解题思路】法一：利用导数的几何性质与导数的四则运算求得切点，进而代入曲线方程即可得解；法二：利用导数的几何性质与导数的四则运算得到关于切点x0,y0与a的方程组，解之即可得解.
【解答过程】法一：对于y=ex+x+a，其导数为y′=ex+1，
因为直线y=2x+5是曲线的切线，直线的斜率为2，
令y′=ex+1=2，即ex=1，解得x=0，
将x=0代入切线方程y=2x+5，可得y=2×0+5=5，
所以切点坐标为(0,5)，
因为切点(0,5)在曲线y=ex+x+a上，
所以5=e0+0+a，即5=1+a，解得a=4.
故答案为：4.
法二：对于y=ex+x+a，其导数为y′=ex+1，
假设y=2x+5与y=ex+x+a的切点为x0,y0，
则ex0+1=2y0=2x0+5y0=ex0+x0+a，解得a=4.
故答案为：4.
【变式5-3】（2025·山东泰安·二模）若函数fx=ex−ax与直线y=x相切，则实数a的值为 .
【答案】e−1
【解题思路】设切点坐标，求导数表示斜率，结合切线过原点可计算切点横坐标，进而算出a的值.
【解答过程】设切点为x0,ex0−ax0，
由fx=ex−ax得，f′x=ex−a，故切线斜率1=ex0−a，
由直线y=x可知切线过(0,0)，故ex0−ax0x0=1，
∴ex0−ax0x0=ex0−a，解得x0=1，
∴a=e−1.
故答案为：e−1.
【题型6 切线的条数问题】
【例6】（2025·河南·模拟预测）过原点且与曲线y=xsinx相切的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】C
【解题思路】先求出导函数，再设切点，根据导函数得出切线斜率再应用两点求斜率计算求参进而得出切线即可.
【解答过程】设切点x0,x0sinx0，因为曲线y=xsinx，所以y'=sinx+xcsx，
所以x0sinx0x0=sinx0+x0csx0，所以x0csx0=0，
所以x0=0或csx0=0，
当x0=0时，所以k=0，所以切线方程为y−0=0x−0，即y=0；
当x0=π2时，所以k=1，所以切线方程为y−0=1x−0，即y=x；
当x0=−π2时，所以k=−1，所以切线方程为y−0=−1x−0，即y=−x；
所以切线有3条.
故选：C.
【变式6-1】（2025·全国·模拟预测）若曲线y=1−xex有两条过点Aa,0的切线，则a的取值范围是（ ）
A．−∞,−1∪3,+∞B．−3,1
C．−∞,−3D．−∞,−3∪1,+∞
【答案】D
【解题思路】根据题意，由导数的几何意义表示出切线方程，然后列出不等式代入计算，即可得到结果.
【解答过程】设切点为x0,1−x0ex0，由已知得y′=−xex，则切线斜率k=−x0ex0，
切线方程为y−1−x0ex0=−x0ex0x−x0．
∵直线过点Aa,0，∴−1−x0ex0=−x0ex0a−x0，
化简得x02−a+1x0+1=0．∵切线有2条，
∴Δ=a+12−4>0，则a的取值范围是−∞,−3∪1,+∞，
故选：D.
【变式6-2】（2025·全国·一模）函数f(x)=4xsinxcsx过原点的切线条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解题思路】利用二倍角的正弦公式变形后设切点为x0,fx0，利用导数的意义得到切线方程，再对解的情况进行讨论可得.
【解答过程】f(x)=4xsinxcsx=2xsin2x，
f′x=2sin2x+4xcs2x，
设切点为x0,fx0，切线方程为y=f′x0x−x0+fx0，
将原点代入切线方程可得0=f′x00−x0+fx0，
所以2sin2x0+4x0cs2x0−x0+2x0sin2x0=0，
化简可得−4x02cs2x0=0，解得x0=0或cs2x0=0，
当x0=0时，f0=0，f′0=0，切线方程为y=0；
当cs2x0=0时，解得x0=π4+12kπ,k∈Z，当k为偶数时，x0=π4+12kπ,k∈Z对应的切线方程为y=2x；当k为奇数时，x0=π4+12kπ,k∈Z对应的切线方程为y=−2x；
所以共有3条不同的切线.
故选：C.
【变式6-3】（24-25高三上·陕西·阶段练习）函数fx=x−alnx在区间1,6的图象上存在两条相互垂直的切线，则a的取值范围（ ）
A．1,6B．1,3C．3,4D．4,6
【答案】C
【解题思路】由导数的几何意义求解即可.
【解答过程】设切点横坐标为x0，所作切线斜率为k，则k=f′x0=1−ax0，
当a≤0时，k=1−ax0>0，故不存在k1k2=−1；
当a>0时，满足：1−a01−a1−a60)，则y0=x012y0=ax0，即ax0=x012，
所以x0lna=12lnx0，所以lna=12x0lnx0，
由y1′=12x−12，y2′=axlna，所以y1′|x=x0=12x0−12，y2′|x=x0=ax0lna，
又在公共点处有相同的切线，所以ax0lna=12x0−12，即x012·12x0·lnx0=12x0−12，
所以lnx0=1，则x0=e，所以y0=e，
所以公共点坐标为(e,e).
故答案为：(e,e).
【题型8 与切线有关的最值问题】
【例8】（24-25高二下·山东枣庄·阶段练习）点P是曲线y=x2−lnx上任意一点，则点P到直线y=x−4的距离的最小值是（ ）
A．1B．2C．2D．22
【答案】D
【解题思路】问题转化为过点P的切线与直线y=x−4平行时，点P到直线y=x−4的距离最小，利用导数的几何意义求得点P的坐标，再用点到直线的距离公式即可求得答案.
【解答过程】因为点P是曲线y=x2−lnx上任意一点，
所以当点P处的切线和直线y=x−4平行时，点P到直线y=x−4的距离最小．
因为直线y=x−4的斜率等于1，曲线y=x2−lnx的导数y′=2x−1x，
令y′=1，可得x=1或x=−12(舍去)，
所以在曲线y=x2−lnx上与直线y=x−4平行的切线经过的切点坐标为1,1，
所以点P到直线y=x−4的最小距离为|1−1−4|1+1=22.
故选：D.
【变式8-1】（2025·广东佛山·一模）若直线y=x+a与曲线y=lnx+b相切，则a2+b2的最小值为（ ）
A．12B．1C．32D．2
【答案】A
【解题思路】通过设切点，利用导数的几何意义列出等式，再利用二次函数的性质求其最小值.
【解答过程】设直线y=x+a与曲线y=ln(x+b)的切点为(x0,y0).
对y=ln(x+b)求导，根据(lnu)′=1uu′，可得y′=1x+b.
因为直线y=x+a的斜率为1，由导数的几何意义可知，
在切点处1x0+b=1，即x0=1−b.
又因为切点(x0,y0)既在直线上又在曲线上，
所以y0=x0+a且y0=ln(x0+b)，即ln(x0+b)=x0+a.
将x0=1−b代入ln(x0+b)=x0+a可得：ln(1−b+b)=1−b+a，即a=b−1.
将a=b−1代入a2+b2可得：
a2+b2=(b−1)2+b2=2b2−2b+1=2b−122+12，
所以当b=12，a=−12时，a2+b2取得最小值为12.
故选：A.
【变式8-2】（2025·全国·模拟预测）若函数fx=x2+3x−4lnx，点P是曲线y=fx上任意一点，则点P到直线l:x−y−3=0的距离的最小值为（ ）
A．42B．322C．32D．62
【答案】C
【解题思路】利用导数的几何意义求出与直线l平行且与曲线y=fx相切的直线与曲线y=fx相切的切点坐标，利用点到直线的距离公式即可求解.
【解答过程】fx=x2+3x−4lnx的定义域为0,+∞，
由函数fx=x2+3x−4lnx，可得f′x=2x+3−4x，
令2x+3−4x=1，可得x=1，负值舍去，
又f1=4，
所以平行于直线l且与曲线y=fx相切的直线与曲线y=fx的切点坐标为1,4．
点1,4到直线l的距离d=1−4−32=32，即点P到直线l的距离的最小值为32.
故选：C．
【变式8-3】（2025·陕西汉中·模拟预测）已知Ax1,y1,Bx2,y2为曲线y=ex上两个不同的点，曲线y=ex在点A,B处的切线相交于点Cx0,y0，且这两条切线的斜率之积为1，则x0+1y0−y24的最小值为（ ）
A．ln22B．22C．eD．ln24
【答案】B
【解题思路】根据题意设Ax1,y1,Bx2,y2，表示出切线方程，由两条切线的斜率之积为1，得到x2=−x1，联立求出x0，y0，对x0+1y0−y24化简，利用基本不等式可求其最小值.
【解答过程】设Ax1,y1,Bx2,y2，
∵y′=ex，∴在Ax1,y1处的切线方程l1:y=ex1x−x1+ex1，
在Bx2,y2处的切线方程l2:y=ex2x−x2+ex2，
∵这两条切线的斜率之积为1，∴ex1⋅ex2=ex1+x2=1⇒x2=−x1，
∵切线相交于点Cx0,y0，
∴联立解得，x0=x1ex1−x2ex2ex1−ex2−1=x1e2x1+x1e2x1−1−1，
y0=ex1(x1e2x1+x1e2x1−1−1−x1)+ex1=2x1ex1e2x1−1，
即x0+1y0−y24=e2x1+12ex1−e−x14=ex12+14ex1≥2ex12⋅14ex1=22，
当ex12=14ex1=24时取等，
故选：B.
一、单选题
1．（2025·甘肃白银·三模）如果质点按规律st=2t2−t（距离单位：m，时间单位：s）运动，则质点在2s末的瞬时速度为（ ）
A．8 m/s B．7m/s C．6 m/s D．5 m/s
【答案】B
【解题思路】利用瞬时变化率的定义即可求得该质点在2s末的瞬时速度.
【解答过程】limΔt→0ΔsΔt=limΔt→022+Δt2−2+Δt−2×4−2Δt=limΔt→07+2Δt=7，
则质点在2s末的瞬时速度为7m/s.
故选：B.
2．（2025·湖北·一模）下列求导运算正确的是（ ）
A．(sina)′=csa(a为常数)B．(sin2x)′=2cs2x
C．(3x)′=3xlg3eD．(x+1)′ =2x+1
【答案】B
【解题思路】根据求导公式和简单复合函数的求导，依次计算即可判断选项.
【解答过程】A：因为a为常数，所以(sina)′=0，故A错误；
B：(sin2x)′=cs2x⋅(2x)′=2cs2x，故B正确；
C：(3x)′=3xln3，故C错误；
D：(x+1)′=[(x+1)12]′=12(x+1)−12⋅(x+1)′=12x+1，故D错误.
故选：B.
3．（2025·湖南郴州·三模）曲线y=lnx在点e,1处的切线方程为（ ）
A．x−y=0B．x−ey=0
C．x−y+1−e=0D．ex−y=0
【答案】B
【解题思路】由导数的几何意义求解即可.
【解答过程】根据题意可得y′=1x，所以所求切线的斜率k=1e，
所以所求切线的方程为y−1=1ex−e，即x−ey=0.
故选：B.
4．（2025·甘肃兰州·一模）若函数y=ex+e−x2（e为自然对数的底）的一条切线与x轴平行，则切点的坐标为（ ）
A．(1,0)B．(0,1)C．(1,1)D．(1,e)
【答案】B
【解题思路】设出切点x0,y0，利用在切点处的斜率等于0即可求得结果.
【解答过程】设切点坐标为x0,y0，函数y=ex+e−x2，所以y′=ex−e−x2，
因为切线与x轴平行，所以y'|x=x0=ex0−e−x02=0，解得x0=0，y0=ex0+e−x02=1+12=1，故切点坐标为(0,1)
故选：B.
5．（2025·山东聊城·三模）已知fx是定义域为R的可导函数，设其导函数为gx．若fx+1−2x为偶函数，且gx=g4−x，则i=120gi=（ ）
A．60B．40C．20D．8
【答案】B
【解题思路】根据函数的奇偶性结合求导数，得出函数周期，应用周期计算求解函数值即可.
【解答过程】因为fx+1−2x为偶函数，所以fx+1−2x=f−x+1+2x，
所以f′x+1−2=−f′−x+1+2，所以f′x+1+f′−x+1=4，
所以gx+1+g−x+1=4，且gx=g4−x，
所以gx+g−x+2=4，g−x+4+gx−2=4，所以gx−2=g2−x，
所以gx=g−x=g4−x，所以gx的周期为4，
因为gx+1+g−x+1=4，令x=0,g1+g1=4，可得g1=2，
令x=1,g2+g0=4，
所以g1+g2+g3+g4=g1+g2+g−1+g0=8
所以i=120gi=g1+g2+g3+⋯+g20=5×8=40.
故选：B.
6．（2025·湖南·三模）若直线y=kx+1（k为常数）是曲线y=lnx+1和曲线y=aex+1的公切线，则实数a的值为（ ）
A．1eB．1e2C．1D．e
【答案】B
【解题思路】解法一：先对f(x)=lnx+1求导得f′(x)=1x，设与直线y=kx+1切点为(x1,lnx1+1)，写出切线方程，根据直线y=kx+1得到关于x1和k的方程组，求出k.
再对g(x)=aex+1求导，设其与直线y=1ex+1切点为(x0,aex0+1)，根据导数等于切线斜率以及切点在切线上列方程，求出a.
解法二：设两条曲线的切点分别为P(x1,y1)，Q(x2,y2)，分别根据切点在曲线上、在切线上以及切线斜率列出方程组，求解得到x1，k，再同理求出x2，进而得到a.
【解答过程】解法一：令fx=lnx+1，x∈0,+∞，则f′x=1x，
设直线y=kx+1与y=lnx+1的切点为x1,lnx1+1，
则切线方程为y−lnx1−1=1x1x−x1，即y=1x1x+lnx1，
又因为y=kx+1，所以1x1=klnx1=1，解得x1=e，k=1e，所以切线方程为y=1ex+1，
令gx=aex+1，则g′x=aex，
设直线y=1ex+1与y=aex+1的切点为x0,aex0+1，所以g′x0=aex0=1e ①，
又因为切点x0,aex0+1在直线y=1ex+1上，所以aex0+1=1ex0+1，即aex0=1ex0 ②，
由①和②可得x0=1，所以ae=1e，解得a=1e2．
解法二：设切点分别为Px1,y1，Qx2,y2，
y1=kx1+1y1=lnx1+11x1=k⇒lnx1=kx1=1．∴x1=e，k=1e．
同理y2=kx2+1,y2=aex2+1,aex2=k⇒aex2=kx2=k．∴x2=1，∴k=ae=1e，∴a=1e2．
故选：B．
7．（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数fx是定义在R上的可导函数，且fx满足f2−x=fx，fx+2=−fx，当x∈0,1时，fx=2x，则f′10112=（ ）
A．2B．−2C．22D．−22
【答案】B
【解题思路】先判断函数的周期性，从而得到导数的周期性，再根据导函数的对称性和周期性可求f′10112 .
【解答过程】由fx+2=−fx可得fx+4=−fx+2=fx，
所以函数fx周期是4，且f′x的周期也是4.
因为f2−x=fx，故−f′2−x=f′x，
故f′x的图象关于直线1,0对称.
对fx=2x求导得f′x=1x，f′12=2.
则f′10112=f′3+126×82=f′4×126+32=f′32=−f′12=−2
故选：B.
8．（2025·甘肃·二模）若函数fx=lnx−1+x2+ax的图象上存在两个不同点，使得fx在这两点的切线与直线y=−12x垂直，则a的取值范围是（ ）
A．−∞,−22B．−∞,−22∪4,+∞
C．−∞,3D．R
【答案】A
【解题思路】由存在两个不同的点满足条件，可得出f'(x)=2存在两个大于1的解，结合根的分布讨论得出a的取值范围.
【解答过程】由题意，函数的定义域为x∈1,+∞，f'x=1x−1+2x+a．
因为函数fx图象上存在两点处的切线与直线y=−12x垂直，
故f'x=1x−1+2x+a=2有两个不同的大于1的解，
即2x2+a−4x−a+3=0有两个不同的大于1的根．
令gx=2x2+a−4x−a+3，
则g(1)>0,Δ=(a−4)2+8(a−3)>0−a−44>1.，即a∈R,a22a0，所以13−ex