2026年中考数学一轮复习电子教案 第三单元 微专题 二次函数的对称性、增减性及最值

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课题
微专题 二次函数的对称性、增减性及最值
学习目标
命题点 ：二次函数的对称性、增减性及最值
1.理解二次函数的图像（抛物线）关于对称轴对称的性质，能够利用对称求点的坐标；
2.掌握二次函数的增减性规律，能够根据开口方向判断函数的单调性，判断图象上的点对应的函数值大小；
3.掌握二次函数的最值（顶点）的求解方法，理解最值与开口方向的关系。
教学重点
1. 对称性：理解对称轴的概念，掌握对称轴的公式 ，理解函数图象的对称性，以及图像上点的对称性。
2.增减性：掌握开口方向与函数单调性的关系，能够根据函数的增减性分析函数的变化趋势。
3.最值：结合函数性质求取值问题，掌握最大、小值的定义和求法.
教学难点
让学生体会数形结合思想，分类转化思想在此类问题中的应用
教学准备
课件ppt
实施教学过程设计
二次备课
一阶 方法训练
角度一 对称性
例1 抛物线y＝x2＋2x－2的对称轴是直线 .
例2 抛物线y＝－ax2＋4ax－c(a≠0)的对称轴是直线 .
例3 若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过点A(1，0)，B(3，0)，则该抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线 .
例4 若抛物线y＝a(x－3)2－3(a≠0)与x轴的一个交点坐标为(1，0)，求该抛物线与x轴的另一个交点坐标.
例5 若抛物线y＝ax2－2ax＋1(a≠0)与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线，交抛物线于点B，求点B的坐标.
角度二 增减性(贵阳2022.24，2021.24)
例6 已知二次函数y＝x2＋4x＋1.
(1)函数值y的取值范围是 ，当0≤x≤5时，函数值y的取值范围是 ；
(2)若二次函数图象经过(－1，y1)和(2，y2)两点，则y1 y2；(填“＞”“＜”或“＝”)
(3)若二次函数图象经过(－3，y1)和(2，y2)两点，则y1 y2；(填“＞”“＜”或“＝”)
(4)若点A(－5，y1)，B(3，y2)，C(4，y3)都在该二次函数图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 ；(用“＜”连接)
(5)若二次函数的函数值的取值范围为1＜y＜2，则x的取值范围是 ；
(6)若点A(－1，y1)和点B(m，y2)都在该二次函数图象上，且y1＜y2，则m的取值范围是 .
角度三 最值(贵州2024.24，2023.24)
例7 已知抛物线y＝－x2＋2x＋3.
(1)如图①，当－2≤x≤0时，函数值y的最大值是 ；
图① 图②
例7题图
(2)如图②，当－2≤x≤2时，函数值y的最大值是 ；
(3)如图③，当0≤x≤3时，函数值y的最小值是 ；
图③ 图④
例7题图
(4)如图④，当2≤x≤4时，函数值y的最大值和最小值之差为 .
例1 x＝－1
例2 x＝2
例3 x＝2
例4 解：∵抛物线的对称轴为直线x＝3，且与x轴的一个交点坐标为(1，0)，点(1，0)关于直线x＝3对称的点的坐标为(5，0)，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(5，0)．
例5 解：令x＝0，则y＝1，
∴点A的坐标为(0，1)，
∵－−2a2a＝1，由题意得，点A与点B关于对称轴直线x＝1对称，
∴点B的坐标为(2，1)．
例6 (1)y≥－3，1≤y≤46
(2)＜；
(3)＜；
(4)y1＜y2＜y3；
(5)－2－5＜x＜－4或0＜x＜－2＋5
(6)m＜－3或m＞－1；
例7 (1)3
(2)4
(3)0
(4)8
二阶 综合训练
1. (2022贵阳24题12分)已知二次函数y＝ax2＋4ax＋b.
(1)求二次函数图象的顶点坐标(用含a，b的代数式表示)；
(2)在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴交于A，B两点，AB＝6，且图象过(1，c)，(3，d)，(－1，e)，(－3，f )四点，判断c，d，e，f的大小，并说明理由；
(3)M(m，n)是二次函数图象上的一个动点，当－2≤m≤1时，n的取值范围是－1≤n≤1，求二次函数的表达式.
1. 解：(1)设顶点坐标为(h，k)，则h＝－4a2a＝－2，k＝4a－8a＋b＝－4a＋b，
∴顶点坐标为(－2，－4a＋b)；
(2)由(1)可知该抛物线的对称轴为直线x＝－2，
①当a＞0时，抛物线上的点到对称轴的距离越大，函数值越大．
∵dc＝1－(－2)＝3，dd＝3－(－2)＝5，de＝－1－(－2)＝1，df＝－2－(－3)＝1，
∴d＞c＞e＝f；
②当a＜0时，抛物线上的点到对称轴的距离越大，函数值越小．
∵dc＝1－(－2)＝3，dd＝3－(－2)＝5，de＝－1－(－2)＝1，df＝－2－(－3)＝1，
∴d＜c＜e＝f；
(3)由(1)可知，该抛物线的对称轴为直线x＝－2，
①当a＞0时，
∵－2≤m≤1，
∴n随m的增大而增大，
∴当m＝－2时，n＝－1，
当m＝1时，n＝1.
∴抛物线过点(－2，－1)，(1，1)，
将点(－2，－1)，(1，1)代入y＝ax2＋4ax＋b中，得4a−8a+b=−1a+4a+b=1，解得a=29b=−19，
∴二次函数的表达式为y＝29x2＋89x－19；
②当a＜0时，
∵－2≤m≤1，
∴n随m的增大而减小，
∴当m＝－2时，n＝1，
当m＝1时，n＝－1.
∴抛物线过点(－2，1)，(1，－1)，
将点(－2，1)，(1，－1)代入y＝ax2＋4ax＋b中，得4a−8a+b=1a+4a+b=−1，
解得a=−29b=19，
∴二次函数的表达式为y＝−29x2－89x＋19.
综上所述，二次函数的表达式为y＝29x2＋89x－19或y＝－29x2－89x＋19.
课后小结
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作业布置
必做：精练本27-28第1—4题 ；
选做：精练本第28页第5题
板书设计
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