2026年中考数学二轮专题复习电子教案 专题二 二次函数综合题

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课题
二次函数综合题
学习目标
类型一 二次函数图象的增减性与区间范围（含最值）
1.理解二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴与系数a,b,c的关系；
2.掌握函数在对称轴两侧的增减性规律,开口向上时左减右增，开口向下时左增右减；
3.分析给定区间内二次函数的最值问题,顶点是否在区间内，端点值比较；
4.结合图象解决含参数的最值问题,如区间端点含变量时的分类讨论.
类型二 二次函数的实际应用
1.从实际问题中抽象出二次函数模型:抛物线轨迹、利润最大化、面积最值等；
2.确定实际问题中自变量的取值范围:物理意义限制、几何图形边长非负性；
3.利用顶点公式或配方法求解实际问题的最值；
4.结合函数图象验证解的合理性，并解释实际意义:抛物线最高点对应最大高度.
教学重点
1.含参数问题时最值位置的讨论；
2.将数学解转化为实际问题的合理解释；
3.从实际问题抽象出二次函数模型.
教学难点
1.顶点是否在区间内的分类讨论；
2.含参数问题：参数变化对最值位置的影响（如区间端点含变量时的讨论）;
3.结合实际意义确定自变量的取值范围;
4.利用顶点公式或配方法求解最值，并验证合理性.
教学准备
课件ppt
实施教学过程设计
二次备课
专题二 二次函数综合题
类型一 二次函数图象的增减性与区间范围(含最值)
1. 在平面直角坐标系xOy中，已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)是抛物线y＝ax2－2ax－2(a＞0)上的三个点.
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)若对于－2＜x1＜－1，2＜x2＜3，都有y1y2＜0，求证：3a－2＝0；
(3)若对于2＜x2＜3，m＜x3＜m＋1，都有y3＞y2，求m的取值范围.
1. (1)解：由题意得，抛物线y＝ax2－2ax－2(a＞0)的对称轴为直线x＝－−2a2a＝1；
(2)证明：设点B(x2，y2)关于对称轴的对称点为B′(x'2，y2)，
∵抛物线的对称轴是直线x＝1，且2＜x2＜3，
∴－1＜x'2＜0.
∵点A，B′在对称轴左侧，a＞0，且－2＜x1＜－1＜x'2＜0，
根据二次函数的性质，x＜1时，y随x的增大而减小，
∴y1＞y2.
∵y1y2＜0，
∴y1＞0，y2＜0，
∴当x＝－1时，y＝0，
把(－1，0)代入函数表达式，
∴3a－2＝0；
(3)解：∵抛物线的对称轴是直线x＝1，2＜x2＜3，
∴B(x2，y2)在对称轴右侧．
①当点C在对称轴右侧时，
∵m＜x3＜m＋1时，y3＞y2，
根据二次函数的性质，x＞1时，y随x的增大而增大，
∴m≥3；
②当点C在对称轴左侧时，
设点C关于对称轴的对称点为C′(x'3，y)，
∵m＜x3＜m＋1，
由对称的性质，得1－m＜x'3＜2－m，
根据二次函数性质，x＞1时，y随x的增大而增大，
∴1－m≥3，解得m≤－2.
综上所述，m≤－2或m≥3.
2. 万唯原创 已知抛物线的函数表达式为y＝x2－6mx＋9m2－4＋4m.
(1)求该抛物线的对称轴(用含m的式子表示)；
(2)点(3m－1，y1)，(3m＋3，y2)在抛物线上，比较y1，y2的大小，并说明理由；
(3)当0≤x≤4时，y有最小值2，求m的值.
2. 解：(1)由题意得，抛物线的对称轴为直线x＝－b2a＝－−6m2＝3m；
(2)y2＞y1，理由如下：
由(1)得抛物线的对称轴为直线x＝3m.
∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上，
∴抛物线上距离对称轴越近的点的纵坐标的值越小，
∵|3m－1－3m|＝1，|3m＋3－3m|＝3，
∵1＜3，∴y2＞y1；
(3)由(1)得抛物线的对称轴为直线x＝3m，
①当x＝0和x＝4都在对称轴左侧时，则4≤3m，解得m≥43.
∵当0≤x≤4时，y有最小值2，∴当x＝4时有最小值，代入，得42－24m＋9m2－4＋4m＝2，
解得m1＝10+109，m2＝10−109(不符合题意，舍去)；
②当x＝0和x＝4分别在对称轴两侧时，得0＜3m＜4，解得0＜m＜43.
∵当0≤x≤4时，y有最小值2，∴当x＝3m时有最小值，代入，得(3m)2－18m2＋9m2－4＋4m＝2，
解得m3＝32(不符合题意，舍去)；
③当x＝0和x＝4都在对称轴右侧时，得3m≤0，解得m≤0.
∵当0≤x≤4时，y有最小值2，∴当x＝0时有最小值，代入，得9m2－4＋4m＝2，
解得m4＝−2+589(不符合题意，舍去)，m5＝−2−589；
综上所述，m的值为10+109或−2−589.
3. (2023花溪区模拟)已知二次函数y＝x2－2ax＋a2＋4a(a为常数).
(1)求该二次函数图象的对称轴(用含a的代数式表示)；
(2)当a＝1时，若－1≤x≤m时，4≤y≤8，求m的取值范围；
(3)当x≤2a时，若函数y＝x2－2ax＋a2＋4a(a为常数)的图象的最低点到直线y＝1的距离为2，求a的值.
3. 解：(1)∵y＝x2－2ax＋a2＋4a，
∴该二次函数图象的对称轴为x＝－−2a2＝a；
(2)当a＝1时，二次函数表达式为y＝x2－2x＋5＝(x−1)2＋4，
∴顶点坐标为(1，4)，
当y＝8时，即(x−1)2＋4＝8，解得x1＝3，x2＝－1，
∵－1≤x≤m时，4≤y≤8，且二次函数图象开口向上，
∴1≤m≤3，
∴m的取值范围为1≤m≤3；
(3)由(1)中可得，二次函数图象的对称轴为直线x＝a，顶点坐标为(a，4a)，
①当a＝0时，此时顶点坐标为(0，0)，
当x≤0时的最低点为(0，0)，到y＝1的距离为1，不符合题意，舍去；
②当a＞0时，则2a＞a，且二次函数图象开口向上，
当x≤2a时，此时最低点为顶点(a，4a)，
∵最低点到直线y＝1的距离为2，
∴|4a－1|＝2，解得a＝34或a＝－14(舍去)；
③当a＜0时，则2a＜a，且二次函数图象开口向上，
当x≤2a时，x＝2a时，有最小值y＝a2＋4a，即最低点为(2a，a2＋4a)，
∵最低点到直线y＝1的距离为2，
∴|a2＋4a－1|＝2，解得a＝7－2(舍去)或a＝－7－2或a＝3－2或a＝－3－2；
综上所述，a的值为34或－7－2或3－2或－3－2.
4. 万唯原创 已知抛物线y＝x2＋bx＋c(b＜0)与x轴交点的坐标分别为(x1，0)，(x2，0)，且x1＜x2.
(1)若抛物线y1＝x2＋bx＋c＋1(b＜0)与x轴交点的坐标分别为(x3，0)，(x4，0)，且x3＜x4.试判断下列每组数据的大小(填写“＜”“＝”或“＞”)；
①x1＋x2 x3＋x4；②x1－x3 x2－x4；③x2＋x3 x1＋x4.
(2)若抛物线与y轴交于点(0，－3)，且x1＋x2＝1，求抛物线的表达式；
(3)在(2)的条件下，当－1≤x≤n时，抛物线y＝x2＋bx＋c(b＜0)的最大值与最小值的差为94，求n的取值范围；
(4)当0≤x≤1时，y＝x2＋bx＋c(b＜0)最大值与最小值的差为916，求b的值.
4. 解：(1)＝，＜，＞；
【解法提示】∵抛物线y＝x2＋bx＋c(b＜0)与x轴交点的坐标分别为(x1，0)，(x2，0)，且x1＜x2，∴x1＋x2＝－b，且抛物线开口向上，∵抛物线y1＝x2＋bx＋c＋1(b＜0)与x轴交点的坐标分别为(x3，0)，(x4，0)，且x3＜x4，即y＝x2＋bx＋c(b＜0)向上平移1个单位，∴x1＜x3＜x4＜x2，且x3＋x4＝－b，∴①x1＋x2＝x3＋x4；∵x2－x1＞x4－x3，∴x2－x4＞x1－x3，即②x1－x3＜x2－x4；∴x2＋x3＞x1＋x4，即③x2＋x3＞x1＋x4.
(2)由题意知，抛物线的对称轴为直线x＝x1+x22＝12，
∴－b2＝12，解得b＝－1.
∵抛物线与y轴交于点(0，－3)，∴c＝－3，
∴抛物线的表达式为y＝x2－x－3；
(3)由(2)可知，抛物线的表达式为y＝x2－x－3＝(x－12)2－134，
∴当x＝12时，y取最小值，最小值为－134，
①当－1≤n＜12时，y随x的增大而减小，∴当x＝－1时，y取最大值为－1，
当x＝n时，y取最小值为n2－n－3，
又∵最大值与最小值的差为94，∴－1－(n2－n－3)＝94，
解得n＝12，不符合题意，舍去；
②当12≤n＜2时，
∴当x＝12时，y取最小值为－134，
当x＝－1时，y取最大值为－1，
∴最大值与最小值的差为－1－(－134)＝94，符合题意；
③当n≥2时，
当x＝n时，y取最大值为n2－n－3，
又∵最大值与最小值的差为94，∴n2－n－3－(－134)＝94，
解得n＝2或n＝－1(不符合题意，舍去)．
综上所述，n的取值范围为12≤n≤2；
(4)抛物线y＝x2＋bx＋c(b＜0)顶点坐标为(－b2，4c−b24)，对称轴为直线x＝−b2＞0，
当x＝0时，y＝c，
当x＝1时，y＝1＋b＋c，
①当在x＝0取得最大值，在x＝1取得最小值时，有c－(1＋b＋c)＝916，
解得b＝－2516，∴－b2＝2532＜1，不符合题意，舍去；
②当在x＝0取得最大值，在顶点取得最小值时，
有c－4c−b24＝916，解得b＝32(舍去)或b＝－32；
③当在x＝1取得最大值，在顶点取得最小值时，
有1＋b＋c－4c−b24＝916，解得b＝－72(舍去)或b＝－12；
综上所述，b的值为－32或－12.
5. 万唯原创 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)与x轴交于A(－1，0)，B两点，交y轴于点C，直线y＝mx＋12交抛物线于A，D(52，n)两点.
(1)求抛物线的表达式；
(2)当0≤x≤k时，抛物线对应的函数的最小值为3，最大值为4，求出k的取值范围；
(3)P是x轴的上方抛物线上一点，点P与点D不重合，设点P的横坐标为x，过点P作PM∥y轴，交直线AD于点M，设PM的长为h.当h随x的增大而增大时，求x的取值范围.
第5题图
5. 解：(1)∵直线y＝mx＋12交抛物线于点A(－1，0)，
∴0＝－m＋12，解得m＝12，
∴直线AD的表达式为y＝12x＋12，
∵点D(52，n)在直线y＝12x＋12上，
∴n＝12×52+12＝74，
∴点D的坐标为(52，74)，
∵抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)过A(－1，0)，D(52，74)两点，
∴a−b+3=0254a+52b+3=74，解得a=−1b=2，
∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3；
(2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－（x−1）2＋4，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，4)，点C坐标为(0，3)，
∴当x＝1时，函数最大值为4，
∵抛物线过点(0，3)，
∴抛物线过点(2，3)，
∵当0≤x≤k时，抛物线对应的函数的最小值为3，最大值为4，
∴k的取值范围为1≤k≤2；
(3)设P(x，－x2＋2x＋3)，则M(x，12x＋12)，
①当点P在点D左侧时，PM＝h＝－x2＋2x＋3－(12x＋12)＝－x2＋32x＋52(－1＜x＜52)，对称轴为直线x＝－32−2＝34，
∵－1＜0，且－1＜34，∴－1＜x≤34时，h随x的增大而增大；
②当点P在点D的右侧时，抛物线y＝－x2＋2x＋3，令y＝0，则0＝－x2＋2x＋3，解得x＝－1或x＝3，
∴B(3，0)，
∴PM＝h＝12x＋12－(－x2＋2x＋3)＝x2－32x－52(52＜x＜3)，对称轴为直线x＝－−322＝34，
∵1＞0，且52＞34，∴52＜x＜3时，h随x的增大而增大．
综上所述，x的取值范围为－1＜x≤34或52＜x＜3.
6. 全国视野 (2024广西)课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数y＝x2＋2ax＋a－3的最值问题展开探究.
【经典回顾】二次函数求最值的方法.
(1)老师给出a＝－4，求二次函数y＝x2＋2ax＋a－3的最小值.
①请你写出对应的函数解析式；
②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值；
【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值.记录结果，并整理成下表：
a
…
－4
－2
0
2
4
…
x
…
*
2
0
－2
－4
…
y的最小值
…
*
－9
－3
－5
－15
…
注：*为②的计算结果.
【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现.”
甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取x＝－a，就能得到y的最小值.”
乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值.”
(2)请结合函数解析式y＝x2＋2ax＋a－3，解释甲同学的说法是否合理？
(3)你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由.
6. 解：(1)①当a＝－4时，y＝x2＋2ax＋a－3＝x2－8x－7；
②当x＝－b2a＝4时，y取得最小值为16－32－7＝－23；
(2)甲同学的说法合理，
∵1＞0，∴抛物线开口向上，函数有最小值，
当x＝－b2a＝－a时，y取得最小值，
故甲同学的说法合理；
(3)乙同学的猜想正确．
当x＝－a时，y＝x2＋2ax＋a－3＝－a2＋a－3，
∵－1＜0，故抛物线开口向下，函数有最大值，
∴当a＝－b2a＝12时，y取得最大值，
y的最大值为－(12)2＋12－3＝－114.
7. 全国视野 (2023江西)综合与实践
问题提出
某兴趣小组开展综合实践活动：在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，CD＝2.动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF.设点P的运动时间为t s，正方形DPEF的面积为S，探究S与t的关系.
初步感知
(1)如图①，当点P由点C运动到点B时.
①当t＝1时，S＝ ；
②S关于t的函数解析式为 .
(2)当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图②所示的图象，请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段AB的长；
延伸探究
(3)若存在3个时刻t1，t2，t3(t1＜t2＜t3)对应的正方形DPEF的面积均相等.
①t1＋t2＝ ；
②当t3＝4t1时，求正方形DPEF的面积.
第7题图
7. 解：(1)① 3；
【解法提示】当t＝1时，∵点P的运动速度为每秒1个单位长度， ∴CP＝1×1＝1，∵CD＝2，∴PD2＝CD2＋CP2＝3，∴S＝PD2＝3.
②S＝t2＋2；
【解法提示】当点P在BC上运动时，∵点P的运动速度为每秒1个单位长度，运动时间为t, ∴CP＝1×t＝t，∴PD2＝CD2＋CP2＝t2＋2，即S＝t2＋2.
(2)当点P运动到点B时，由题图②知S＝6，
∴t2＋2＝6 ，∴t ＝2(负值已舍去)，
由题图②知二次函数顶点坐标为(4，2)，
∴可设S＝a(t－4)2＋2，
把(2，6)代入，得a＝1，
∴S＝(t－4)2＋2＝t2－8t＋18.
当S＝18时，
t2－8t＋18＝18，
∴t1＝0(舍去)，t2＝8，
∴AB ＝(8－2)×1＝6；
(3)①4；
【解法提示】如解图，当2