第三单元 函数 课件 2026年中考数学一轮专题复习第15课时 二次函数性质综合题

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一、与线段有关的问题(2023.23)
例1 如图①，已知二次函数y=－x2－2x＋3的图象与x 轴相交于A，B两点(A点在B点左侧)，与y轴相交于点C. 点P是直线AC上方 的抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为点D，交直线AC于点 Q. 设点P的横坐标为m.
(1)点P的坐标为 ，点D的坐标为 ，点Q 的坐标为 ；PD的长为 ，QD的长为 ，PQ的长为 ⁠；
(m，－m2－2m＋3)
∵PD⊥x轴，∴点Q横坐标为m，则纵坐标为m＋3，∵PD⊥x轴，∴点D横坐标为m，纵坐标为0.PD的长为－m2－2m＋3，QD的长为m＋3，PQ的长为－m2－3m；
(2)点P到对称轴的距离为 ，CQ的长为 ⁠；(3)如图②，若PQ=DQ，求点P的坐标；
解：(3)由(1)可知QD的长为m＋3，PQ的长为－m2－3m，
∴－m2－3m=m＋3，
解得m=－1或m=－3，∵点P不与点A重合，∴m的值为－1，∴P(－1，4)；
(4)如图③，若AQ=2CQ，求点P的坐标；
解：(4)∵PD∥y轴，
∴AD=2，OD=1，
∴m=－1，此时－m2－2m＋3=4，
(5)如图④，过点P作x轴的平行线，交直线AC于M点，求MQ的最大值；
解：(5)由题易得OA=OC=3，∵PM∥x轴，
∴∠PMQ=∠CAO=45°，
∴∠ADQ=∠QPM=90°，
∴△PMQ为等腰直角三角形，
(1)与x轴垂直的线段的长：线段两端点的纵坐标相减(上减下)；
(2)与y轴垂直的线段的长：线段两端点的横坐标相减(右减左).
2. 线段数量关系问题：
根据所给线段数量关系列方程求解.
3. 利用二次函数性质求线段最值：(1)点M是直线y=mx＋n(m≠0)上方的抛物线上的一个动点，求竖直线段MN 长的最大值(如图①)第一步：设点M(t，at2＋bt＋c)，则N(t，mt＋n)；第二步：表示线段MN的长，MN=at2＋bt＋c－mt－n；第三步：化简MN=at2＋bt＋c－mt－n=at2＋(b－m)t＋c－n，利用二次函数性质求最值；
(2)点M是直线y=mx＋n(m≠0)上方的抛物线上的一个动点，求斜线段MP长 的最大值(如图②)
利用锐角三角函数化斜为直，得MP=MN∙sin∠MNP，再根据(1)的步骤解 题即可.
(1)如图①，F是抛物线上一点，连接AF，BF，若S△ABF=15，求点F 的坐标；
二、与面积有关的问题(4年1考)
例2 已知抛物线y=ax2－bx－4(a≠0)与x轴交于A(－1，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C.
如解图①，过点F作FN⊥x轴于点N.
∴设F(n，n2－3n－4)，则N(n，0)，
∴FN=|n2－3n－4|，
∴|n2－3n－4|=6，
当n2－3n－4=6时，解得n=－2或n=5，
∴F(－2，6)或(5，6)；
当n2－3n－4=－6时，解得n=1或n=2，
∴F(1，－6)或(2，－6).
综上所述，点F的坐标为(－2，6)或(5，6)或(1，－6)或(2，－6)；
(2)如图②，若点P是抛物线上一动点，连接AC，PC，PB，则当点P的横 坐标为1时，求四边形ACPB的面积；
解：(2)如解图②，连接BC，过点P向x轴作垂线，交BC于点E.
∵抛物线的函数解析式为y=x2－3x－4，A(－1，0)，B(4，0)，
令x=0，得y=－4，
∴设直线BC的函数解析式为y=kx－4(k≠0)，
得0=4k－4，解得k=1，
∴直线BC的函数解析式为y=x－4.
∴P(1，－6)，E(1，－3)，
(3)如图③，点G是第四象限内抛物线上一点，点G的横坐标为m，连接 AC，AG，BC，BG，AG与BC交于点H，若△BHG与△AHC的面积差为 1，求m的值；
解：(3)∵点G是第四象限内抛物线上的一点，∴G(m，m2－3m－4)，0＜m＜4.
∵A(－1，0)，B(4，0)，
∵S△BHG=S△ABG－S△ABH，S△AHC=S△ABC－S△ABH，△BHG与△AHC的面积差为1，
①当S△BHG－S△AHC=1时，S△BHG－S△AHC=S△ABG－S△ABH－S△ABC＋ S△ABH=S△ABG－S△ABC=1，
②当S△AHC－S△BHG=1时，S△AHC－S△BHG=S△ABC－S△ABH－S△ABG＋ S△ABH=S△ABC－S△ABG=1，
(4)如图④，点P为第四象限内抛物线上一点，连接PB，过点C作CQ∥BP 交x轴于点Q，连接PQ，求△PBQ面积的最大值及此时点P的坐标；
解：(4)如解图③，连接BC，PC，过点P作PT∥y轴交BC于点T.
由(2)知C(0，－4)，直线BC的函数解析式为y=x－4.
设点P的横坐标为p，则P(p，p2－3p－4)，T(p，p－4)，0＜p＜4，
∴TP=p－4－(p2－3p－4)=－p2＋4p，
∵－2＜0，0＜p＜4，
∴当p=2时，S△BCP有最大值，最大值为8.
综上所述，△PBQ面积的最大值为8，此时点P的坐标为(2，－6)；
∵当p=2时，p2－3p－4=－6，
解：(5)设点P(p，p2－3p－4)，则由(4)知点E(p，p－4)，0＜p＜4，
∴PE=(p－4)－(p2－3p－4)=－p2＋4p，EF=4－p.
∵PF⊥x轴，PQ⊥BC，
∴∠BFE=∠PQE=90°.
∵∠PEQ=∠BEF，
∴△PEQ∽△BEF.
当p=3时，p2－3p－4=－4，
∴点P的坐标为(3，－4).
1. 当三角形的一边在坐标轴上或平行于坐标轴
2. 当三角形的三边均不与坐标轴平行
3. 四边形面积的计算
通过分割法或补形法将四边形面积转化为几个三角形或三角形与特殊四边 形面积之间的和或差.
　
S四边形OBAC=S△OAB＋S△OAC
S四边形OBAC=S四边形BODE－S△ADC－S△ABE
4. 求面积最值的一般步骤(1)用含参数的式子表示出所求图形的面积；(2) 将该式子配方，结合二次函数性质进行最值求解.
三、与含参推理有关的问题(4年2考)
例3 已知抛物线y=ax2－2ax＋4，其中a≠0.
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)当a＜0时，已知点A(d，p)，B(3，q)在抛物线上，且p＞q，求d的取值 范围；
解：(2)∵a＜0，∴抛物线开口向下，由(1)知，该抛物线的对称轴为直线x=1，∴点B关于对称轴的对称点坐标为(－1，q)，∵p＞q，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，∴－1＜d≤1，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，∴1≤d＜3，综上，d的取值范围是－1＜d＜3
抛物线y=ax2－2ax＋4
(3)无论a取任意非零实数，该抛物线都经过C(x1，y1)，D(x2，y2)两个定 点，其中x1＜x2，求x1＋2x2的值；
解：由题意得，y=ax2－2ax＋4=a(x2－2x)＋4，∵无论a取任意非零实数，该抛物线都经过C(x1，y1)，D(x2，y2)两个 定点，∴令x2－2x=0，即x=0或x=2，则y=4.又∵x1＜x2，∴x1=0，x2=2.∴x1＋2x2=0＋2×2=4