初中数学人教版（2024）七年级上册（2024）实际问题与一元一次方程学案设计

这是一份初中数学人教版（2024）七年级上册（2024）实际问题与一元一次方程学案设计，共5页。学案主要包含了人教版2024，题型1 配套问题，题型2 工程问题，题型3 营销问题，题型6 行程问题，题型7 利息问题，题型8 年龄问题，变式1-1等内容，欢迎下载使用。
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\l "_Tc19971" 【题型1 配套问题】 PAGEREF _Tc19971 \h 3
\l "_Tc609" 【题型2 工程问题】 PAGEREF _Tc609 \h 4
\l "_Tc21258" 【题型3 营销问题】 PAGEREF _Tc21258 \h 5
\l "_Tc120" 【题型4 分段计费问题】 PAGEREF _Tc120 \h 7
\l "_Tc8163" 【题型5 球赛积分问题】 PAGEREF _Tc8163 \h 8
\l "_Tc30894" 【题型6 行程问题】 PAGEREF _Tc30894 \h 10
\l "_Tc32402" 【题型7 利息问题】 PAGEREF _Tc32402 \h 11
\l "_Tc23500" 【题型8 年龄问题】 PAGEREF _Tc23500 \h 12
\l "_Tc22626" 【题型9 古代数学问题】 PAGEREF _Tc22626 \h 13
\l "_Tc17150" 【题型10 方案决策问题】 PAGEREF _Tc17150 \h 14
知识点1 列方程解应用题的步骤
审：弄清已知什么，求什么及其数量关系；
找：找出能表示题目全部含义的一个数量关系；
设：设未知数，可根据已知和所求选择直接假设或间接假设；
列：根据相等关系列出方程；
解：解方程；
检：检验求得的解是否正确及其是否符合实际意义；
答：写出答案．
知识点2 分析问题中的等量关系
1. 逐步列式法：例如，x+2的2倍比3x−6大5．首先写出“x+2的2倍”，即2(x+2)，它比3x−6大5，那么“大－小＝5”，即2(x+2)−(3x−6)=5．
2. 列表分析法：用行（或列）表示不同的项目或种类，用列（或行）表示相应的数量．
3. 画图分析法：用图形表示题目中的数量关系．例如，行程问题中常用线段示意图帮助分析相等关系．
知识点3 常见问题中的等量关系
1. 配套问题
相等关系：加工总量成比例，若一件产品需要A，B两种配件配成，A，B两种配件的数量比是a∶b，则A种配件总数量×b＝B种配件总数量×a．
2. 工程问题
（1）基本相等关系：工作量＝工作效率×工作时间，工作时间＝工作量工作效率，工作效率＝工作量工作时间；
（2）当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，要把总工作量看作整体1；
（3）常见的相等关系为总工作量＝各部分工作量之和．
3. 营销问题
（1）相等关系：①利润＝售价－进价；②利润率=利润进价×100%；③售价＝进价×（1＋利润率）．
（2）打折：n折即标价的n10，如7折即标价的710（或70%），其中n叫折数．实际售价＝标价×折数10．
4. 分段计费问题
常见类型：我国公民个人所得税按分段累进税制计算；社会医疗保险实行分段累进按比例报销制度；为鼓励节约用水、用电、用气，水费、电费、煤气费实行分段价格收费标准；某些运营商的话费、出租车费实
行分段计费；商家为促销商品，实行分段优惠销售等．解决这些分段讨论问题的关键是理顺部分与整体的关系：①各段费用之和=总费用；②每一段的计费标准不同．
5. 球赛积分问题
点相等关系：（1）比赛总场数＝胜场数＋平场数＋负场数；
（2）比赛总得分＝胜场总得分＋平场总得分＋负场总得分．
6. 行程问题
基本相等关系：路程＝速度×时间；速度＝路程÷时间；时间＝路程÷速度．
（1）直线形相遇问题：甲走的路程＋乙走的路程＝两地之间的路程．
（2）直线形追及问题：快者走的路程＝慢者走的路程＋两人初始路程差；
快者走的路程＝慢者先走的路程＋慢者后走的路程．
（3）环形相遇问题：同起点、同时间、背向出发，首次相遇时，等量关系是二者合走了1圈；从出发到相遇所用时间＝环形周长二者速度和；第 n次相遇时，二者合走了n圈．
（4）环形追及问题：同起点、同时间、同向出发，首次相遇时，等量关系是快者比慢者多走1圈；追及所用时间＝环形周长二者速度差；第n次相遇时，快者比慢者多走n圈．
7. 利息问题
（1）本金×利率×期数＝利息（若未特别说明，银行定期存款的利率是指年利率，期数是年数)．
（2）本金＋利息＝本息和；本息和＝本金×（1＋利率×期数）．
8. 年龄问题
“年龄问题”的基本规律是不管时间如何变化，两人的年龄差总是不变的，抓住“年龄差”是解答年龄问题的关键．
9. 方案决策问题
方案决策问题是实际生活中常见的问题，用一元一次方程解最佳方案问题的一般步骤：（1）列代数式；
（2）列方程；（3）取特殊值试解；（4）决策．
【题型1 配套问题】
【例1】在手工制作课上，老师组织七年级（2）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七年级（2）班共有学生50人，其中男生人数比女生人数少2人，并且每名学生每小时可以剪筒身40个或剪筒底120个．
(1)七年级（2）班有男生、女生各多少人？
(2)原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，要求一个筒身配两个筒底，那么每小时剪出的筒身与筒底能配套吗？如果不配套，那么如何进行人员调配，才能使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套？
【变式1-1】（24-25七年级上·辽宁盘锦·期中）制作一张餐桌要用一个桌面和4条桌腿．某家具公司的木工师傅用1m3木材可制作15个桌面或300个桌腿，公司现有18m3的木材．
(1)应怎样安排用料才能使制作的桌面和桌腿配套？
(2)家具公司欲将制作餐桌全部出售，一张餐桌可获利28%，全部出售后销售额为144000元．求每张餐桌的进价是多少？
【变式1-2】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）列方程解应用题：有一批生产桌椅的木料，每块木料均相同．已知一块该木料可以生产桌子2张或椅子5把，如何分配78块这样的木料，可使生产的桌子和椅子恰好配套（一张桌子配4把椅子）？
【变式1-3】（24-25七年级上·云南昭通·期末）某工厂需要生产一批太空漫步器（如图），每套设备由一个架子和两套脚踏板组装而成；工厂现共有50名工人，每人每天平均生产65个支架或120套脚踏板．应如何分配工人才能使每天的生产的架子和脚踏板恰好配套？每天生产多少套太空漫步器？
【题型2 工程问题】
【例2】（24-25七年级上·全国·期末）某市道路改造工程，如果让甲工程队单独工作，需要45天完成，如果让乙工程队单独工作，需要90天完成．甲工程队施工每天需付工费2.5万元，乙工程队施工每天需付费1.3万元．
(1)甲、乙两个工程队一起合作多少天就可以完成此项工程？
(2)甲、乙两个工程队一起合作15天后，甲工程队因另有任务调离，剩下的部分由乙工程队单独做，问共需多少天才能完成此项工程？
(3)如果工程必需要在36天内（含36天）完成，如何安排两个工程队施工，才能使施工费最少？请说出你的安排方法，并求出所需要的施工费．
【变式2-1】（24-25七年级下·四川内江·期中）市中区欲将四方块打造成内江的“太古里”，现一期工程已基本完工，即将进入道路施工阶段．该工程由甲队单独完成需要24天，由乙队单独完成需要16天．甲、乙两队合作施工一段时间后，由于乙队另有任务离开，剩下的工程由甲队单独施工完成．甲队单独施工完成剩余工程的时间比两队合作施工的时间少4天．
(1)求甲、乙两队合作施工的时间．
(2)施工完成后，两队共获得工程款30万元，若按每队所完成的工程量进行分配，甲、乙两队各获得工程款多少万元？
【变式2-2】（24-25七年级上·山东日照·期末）为打造安全环保的某河流公园，某市设立若干河流排污治理点（每个治理点需安装相同长度的排污治理管道）．一天，甲队3名工人去完成5个治理点的管道铺设，但还有60米管道没有完成；同一天，乙队4名工人完成5个治理点的管道铺设后，还多铺设了40米管道．已知每名甲队工人比每名乙队工人每天多铺设20米管道．
(1)若设每个排污治理点需铺设的管道长度为x米，
①则甲队共铺设管道________米，乙队共铺设管道________米．（用含x的式子表示）
②求每个排污治理点需铺设的管道长度；
(2)已知每名甲队工人每天需支付费用500元，每名乙队工人每天需支付400元，该市某处共设立27个排污治理点，现有甲队3名工人，乙队4名工人来安装管道，
方案一：全部由甲队安装；
方案二：全部由乙队安装；（不到一天需按一天费用算）．
请通过计算说明选择哪种方案可使总费用最少？
【变式2-3】（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）甲、乙公司一起竞标了一项工程．若甲、乙公司分别单独完成此工程，甲公司需要的天数与乙公司需要的天数的比为2：3，且甲公司需要的天数比乙公司需要的天数少用10天．
(1)如果甲、乙公司同时获批合作完成，需要多少天完成？
(2)若甲、乙公司合作10天后，甲公司有事离开，剩下的工程由乙公司单独完成，则乙公司还需要多少天可以完成此工程？
(3)在（2）的条件下，此施工过程中，每天补助100元，是乙公司每天雇佣费用的10%，且乙公司每天的雇佣费用比甲公司每天雇佣费用的45还少200元，完成此工程的总费用为多少元？
【题型3 营销问题】
【例3】某店用10000元的资金购进A，B两种商品共400件，并在“双十二”期间销售，两种商品的进价和售价如表所示：
(1)求A商品购进的数量．
(2)A商品售出14,B商品售出13后，由于销售情况不理想，该店推出“买一件A商品送一件B商品，单独购买B商品优惠m元”的促销活动．一段时间后，A，B两种商品全部售完．已知剩余的A商品都参加了促销活动，销售A，B两种商品共获利2125元，求m的值．
【变式3-1】（24-25七年级上·全国·期末）某体育用品店在“双十一”期间特别准备篮球和足球进行促销活动，其中每个篮球的进价比每个足球的进价多5元，购进5个篮球和4个足球共需700元．
(1)篮球和足球的进价分别是多少元？
(2)该店购进了篮球和足球共120个，篮球在进价的基础上加价25%进行标价，足球在进价的基础上加价25元进行标价，若按标价售完全部篮球和足球共可获利2600元，求该店购进的篮球和足球分别是多少个？
(3)在（2）的条件下，“双十一”期间，若篮球按标价9.5折出售，足球按标价先卖出14个，余下的部分按标价降价10%出售，若篮球和足球全部售出，该店可获得利润多少元？
【变式3-2】（24-25七年级下·江西赣州·期末）2024年2月下旬，我省各地中小学陆续正常开学．开学之际，学生对书包的需求量增加．某班数学兴趣小组对某商场进行调研后了解到如下信息：
(1)求每个A款书包和B款书包的进价；
(2)在信息二中，B款书包实际销售时打多少折出售？
【变式3-3】（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）为开展好校园足球活动，某些学校计划联合购买一批足球运动装备，经市场调查，甲、乙两商场分别以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球．已知每套队服比每个足球贵20元，购买一套队服和一个足球共需花费180元．
(1)求每套队服和每个足球的售价分别是多少？
(2)甲商场推出的优惠方案是：每购买10套队服，送一个足球；乙商场推出的优惠方案是：若购买队服超过90套，则队服原价，但购买足球打八折．若计划一共购买100套队服和mm>10个足球．
①请用含m的代数式分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花的费用；
②若学校的预算是12000元，选择在哪家商场购买的足球更多？
【题型4 分段计费问题】
【例4】某省公布的居民用电阶梯定价听证方案如下：
例：若某户月用电量400度，则需交电费的计算过程如下
210×0.52+350−210×0.52+0.05+400−350×0.52+0.30=230元．
(1)如果按此方案计算，小华家5月份的电费为160.5元，请你求出小华家5月份的用电量；
(2)依此方案，请你用学过的数学方法说明：若小华家某月的电费为a元，则小华家该月用电量属于第几档？
【变式4-1】（24-25九年级上·福建南平·期中）某小区停车场24小时开放，根据车流量情况和汽车驶入和离开的时段分段收费，如图所示：
(1)小明某日9:00汽车驶入小区停车场a（a为整数）小时，在当日的时间段20:00~24:00内离开，用含a的代数式表示小明汽车的停车费用．
(2)若小明此次的停车费用为95元，请你估计小明的汽车离开的时间？
【变式4-2】某医疗保险产品对住院病人的费用实行分段报销，报销细则如下表．
(1)若某人住院的医疗费是950元，那么此人报销所得金额是多少元?
(2)若某人的住院治疗费用报销所得金额是1580元，求此人住院的医疗费．
【变式4-3】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）某人去水果批发市场采购苹果，他看中了A,B两家苹果．这两家苹果品质一样，零售价都为6元/千克，批发价各不相同．
A家规定：批发数量不超过1000千克，按全部零售价的92%优惠；批发数量超过1000千克不超过2000千克，按全部零售价的90%优惠；超过2000千克的按全部零售价的88%优惠．
B家的规定如下表：
【表格说明：批发价格分段计算，如：某人批发苹果2100千克，则总费用
=6×95%×500+6×85%×1000+6×75%×2100−1500
(1)如果他批发600千克苹果，请计算出他在A家、B家批发各需要多少元？
(2)如果他批发x千克苹果(2000