专题05 有理数的八大计算技巧（举一反三专项训练）数学人教版2024七年级上册+答案

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专题05 有理数的八大计算技巧（举一反三专项训练） 【人教版2024】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc16606" 【题型1 对消与凑整】  PAGEREF _Toc16606 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc16864" 【题型2 归类与组合】  PAGEREF _Toc16864 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc31917" 【题型3 活用运算律】  PAGEREF _Toc31917 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc31291" 【题型4 裂项相消】  PAGEREF _Toc31291 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc351" 【题型5 错位相消】  PAGEREF _Toc351 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc3966" 【题型6 倒数法】  PAGEREF _Toc3966 \h 4  HYPERLINK \l "_Toc20910" 【题型7 相互转化】  PAGEREF _Toc20910 \h 5  HYPERLINK \l "_Toc32746" 【题型8 图形法】  PAGEREF _Toc32746 \h 5  知识点一 有理数的计算技巧（1）对消与凑整 将相加得零的数结合计算，将和为整数的数结合计算． 知识点二 有理数的计算技巧（2）归类与组合 将同类数（如正数或负数）归类计算，将相反数、分母相同或易于通分的数结合计算． 知识点三 有理数的计算技巧（3）活用运算律 运用运算律改变运算顺序，正难则反，利用运算律改变次序，将复杂的数拆开来算． 知识点四 有理数的计算技巧（4）裂项 常见的裂项一般是将一项拆分成两项或多项的和或差，使拆分后的项可前后抵消或凑整，其 中分数的裂项是重点． 知识点五 相互转化法 根据算式特点，将式子中的分数转化为小数，或小数转化为分数，统一后再进行运算． 【题型1 对消与凑整】 【例1】（24-25七年级上·湖南·阶段练习）计算+34−+6+−23−−14+−113； 【变式1-1】（24-25六年级上·山东威海·期中）计算123+−18−−13+−18 【变式1-2】（23-24七年级·上海普陀·期中）计算：−3.19+21921+−6.81−−2221 【变式1-3】（2024秋·广西崇左·七年级校考阶段练习）计算： −218++5+−312++1.125++412； 【题型2 归类与组合】 【例2】计算： (1)+3579+−2349； (2)−201856+−201723+−112+4036． 【变式2-1】用简便方法计算：−16+24+635−18+445+18−6.8−3.2． 【变式2-2】（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）计算．−334−−212+−416−−523−1 【变式2-3】计算：(−214)−(−412)−(+418)+(−578)； 【题型3 活用运算律】 【例3】计算：−0.25×−3×8×−40×−13×−12.5． 【变式3-1】（24-25七年级上·江西赣州·期中）用简便方法计算：29−13−227×−27． 【变式3-2】算：−91213×12 【变式3-3】（23-24七年级·河南开封·开学考试）怎样简便怎样算 (1)2021×20222022−2022×20212021； (2)112+214+318+4116+5132+6164 (3)2015+2016×20142016×2015−1 (4)920−1130+1342−1556+1772×121212131313 【题型4 裂项相消】 【例4】阅读下列材料： 计算：11×2+12×3+13×4+…+12021×2022 解：原式=1−12+12−13+13−14+…+12021−12022=1−12022=20212022 这种求和方法称为“裂项相消法”，请你参照此法计算：222−1+232−1+242−1+…+21002−1= ． 【变式4-1】计算： 11×3+13×5+15×7+17×9+19×11+111×13+……+197×99． 【变式4-2】（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）计算：11×2×3+12×3×4+13×4×5+...+19×10×11． 【变式4-3】（24-25九年级下·安徽阜阳·阶段练习）数学家基斯顿·卡曼于1808年发明了一种运算符号叫阶乘，用“!”表示．它的意思是：一个正整数的阶乘是所有小于及等于该数的正整数的积，如1!=1，5!=5×4×3×2×1．正整数N的阶乘记作N!，即N!=1×2×3×⋯×N．裂项相消法可以和阶乘结合起来研究，例如，我们可以把910!拆分为两个分母含有阶乘形式的分子为1的分数的差，即910!=10−110!=1010!−110!=19!−110!． 根据以上规律，解答下列问题： (1)填空：5!=________； (2)将67!+78!化简为两个分母含有阶乘形式的分子为1的分数的差的形式为________； (3)计算：12!+23!+34!+45!+⋯+1819!+1920!． 【题型5 错位相消】 【例5】（2025·海南三亚·二模）阅读与思考：请阅读下列材料，并完成下列问题． 【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成：a1,a2,a3,⋯,an,⋯，一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用q表示．如：数列1,2,4,8,⋯为等比数列，其中a1=1,a2=2，公比为q=2． 根据以上材料，解答下列问题： （1）等比数列3,9,27,…的公比q为_____，第5项是_____． 【公式推导】 如果一个数列a1,a2,a3,…,an,…，是等比数列，且公比为q，那么根据定义可得到：a2a1=q, a3a2=q, a4a3=q, …, an+1an=q. 所以a2=a1⋅q,a3=a2⋅q=a1q⋅q=a1⋅q2,a4=a3⋅q=a2⋅q2=a1⋅q3,… （2）由此，请你填空完成等比数列的通项公式：an=a1⋅_____． 【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．下面是小明为了计算1+2+22+…+22019+22020的值，采用的方法： 设S=1+2+22+…+22019+22020①， 则2S=2+22+…+22020+22021②， ②－①得2S−S=S=22021−1， ∴S=1+2+22+…+22019+22020=22021−1． 【解决问题】（3）请仿照小明的方法求3+32+33+…+32025的值． 【变式5-1】求11+112+113+…+112024的值． 【变式5-2】计算：14+142+143+⋅⋅⋅+14n 【变式5-3】解决下列问题： (1)计算：12+(12)2+(12)3+(12)4+…+(12)8 (2)化简：M=5+2×52+3×53+4×54+…+8×58． 【题型6 倒数法】 【例6】（24-25七年级上·河南商丘·期中）请你先认真阅读材料： 计算：−130÷23−110+16−25． 解：原式的倒数是23−110+16−25÷−130 =23−110+16−25×−30 =23×−30−110×−30+16×−30−25×−30 =−20−−3+−5−−12 =−20+3−5+12 =−10． 故原式=−110． 再根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：−170÷310−514+835−27． 【变式6-1】（24-25七年级上·河北邯郸·期中）简便计算：−142÷16−314+23−27． 【变式6-2】（24-25七年级上·福建福州·期中）计算：−136÷116−79+512 【变式6-3】计算：−156÷18−514+928−−142×6． 【题型7 相互转化】 【例7】计算： (1)−3÷−134×75%÷−37×−6； (2)−15×−0.1÷125×−10； 【变式7-1】计算：+0.125−−334+−318−+1.75； 【变式7-2】利用运算律简便运算： −3.61×0.75+0.61×34+−0.2×75%． 【变式7-3】计算：38×14+17×0.25+45×25% 【题型8 图形法】 【例8】）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法． 材料一：欲求1+2+4+8+16+⋯+230的值，可以按照如下步骤进行： 令S=1+2+4+8+16+⋯+230……① 等式两边同时乘以2，得2S=2+4+8+16+32+⋯+231……② 由②式减去①式，得S=231−1，∴1+2+4+8+16+⋯+230=231−1． 材料二：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①的面积是正方形面积的一半，部分②的面积是部分①的面积的一半，依此类推126=164，∴12+122+123+124+125+126=1−126． 阅读材料，解决问题： (1)利用材料一提供的方法，请你求出1+5+52+53+54+⋯+520的值． (2)如图2，若按这样的方式继续分割下去，受材料二的启发12+122+123+124+⋯+122023的值为______． (3)通过学习材料一、材料二，选择你喜欢的方法解决问题：13+132+133+⋯+13n ______．（用含有n的式子表示） 【变式8-1】如图，正方形的边长为1，第一次取出正方形的一半，第二次取出剩下图形的一半……以此类推，每一次都取出剩下图形的一半，共进行n次这样的操作． (1)请将上表填写完整． (2)请利用这个几何图形求12+122+123+⋯+12n的值：　 　．(用含n的代数式表示) 【变式8-2】在数学习题课中，同学们为了求12+122+123+124+125+…+12n的值，进行了如下探索： （1）某同学设计如图1所示的几何图形，将一个面积为1的长方形纸片对折． （I）求图1中部分④的面积； （II）请你利用图形求12+122+123+124+125的值； （2）请你利用备用图，再设计一个能求与12+122+123+124+125的值的几何图形． 【变式8-3】数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用． 如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推．    (1)图中阴影部分的面积为　　； (2)受此启发，得到12+14+18+⋯+126＝　　； (3)迁移应用：得到23+13×23+132×23+133×23+⋯+132023×23＝　　（直接写出答案即可）．进行的次数123n剩下图形的面积12____________