2026年高三数学一轮复习之一题多变讲义第2题集合运算与充要条件的确定(一题多变)(学生版+解析)

这是一份2026年高三数学一轮复习之一题多变讲义第2题集合运算与充要条件的确定(一题多变)(学生版+解析)，共26页。学案主要包含了典例展示，思路分析，精细解析，题后反思，追根溯源，变化角度，变换角度等内容，欢迎下载使用。

【典例展示】已知集合M＝{x|x5}，P＝{x|(x－a)(x－8)≤0}．
（1）求实数a的取值范围，使它成为的充要条件．
（2）求实数a的一个值，使它成为的一个充分但不必要条件．
【思路分析】
关于充要关系的判断，有三种方法，即定义法、等价法、 集合关系法.注意到本题条件以集合呈现，故易于从集合关系、集合运算入手.对于（1）首先由，得到，利用“p是q的充要条件等价于A＝B”得解；对于（2），根据“p是q的充分且不必要条件等价于”，就是在集合中取一个值，使成立，而中未必有此数值.
【精细解析】（1）由，得，
因此的充要条件是
（2）求实数a的一个值，使它成为的一个充分但不必要条件，就是在集合中取一个值，如a＝0，此时必有；反之，未必有a＝0．故a＝0是的一个充分不必要条件．
【题后反思】本例是在集合运算的基础上，利用充分条件、必要条件求参数（范围）问题．解答题时注意了把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
一般地，探求某结论成立的充分、必要条件，应把握好以下几个方面：
(1)准确化简条件，也就是求出每个条件对应的充要条件；
(2)注意问题的形式，看清“p是q的……”还是“p的……是q”，如果是第二种形式，要先转化为第一种形式，再判断；
(3)灵活利用各种方法判断两个条件之间的关系，充分、必要条件的判断常通过“⇒”来进行，即转化为两个命题关系的判断，当较难判断时，可借助两个集合之间的关系来判断．
(4)注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的错误．
【追根溯源】
充要关系的几种判断方法
(1)定义法：若 ，则是的充分而不必要条件；若 ，则是的必要而不充分条件；若，则是的充要条件； 若 ，则是的既不充分也不必要条件.
(2)等价法：即利用与；与；与的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．
(3) 集合关系法：从集合观点解释，p所对应的集合为A，q所对应的集合为B．
（1）p是q的充分条件等价于．
（2）p是q的必要条件等价于．
（3）p是q的充要条件等价于A＝B．
（4）p是q的充分且不必要条件等价于．
（5）p是q的必要且不充分条件等价于．
【变化角度】改变命题呈现形式，探寻结论成立的多种条件.
关于x的方程至少有一个非负实数根，求它的：（1）充要条件；（2）充分非必要条件；（3）必要非充分条件；（4）既非充分也非必要条件．
【思路分析】本题涉及一元二次方程至少有一个非负实根，从正面考察，情况比较复杂，可能是两个正根，一个正根，一个负根，两个“0”根，一个“0”根、一个负根，一个“0”根、一个正根，但它的对立面就比较简单，只有一种情况，即两个负根，因此，按照“正难则反”的原则，先求有两个负根的充要条件，然后求它的补集．再根据各个小题的不同要求，利用集合观点写出答案.
【详解】若方程有两个负根，
则
（1）充要条件：取其补集，同时考虑到方程有实根，．
故方程至少有一个非负实根的充要条件是．
（2）充分非必要条件，缩小充要条件的范围就是充分非必要条件，如（答案不唯一）
（3）必要非充分条件：扩大充要条件的范围就是必要非充分条件，如．（答案不唯一）
（4）既非充分也非必要条件：如：．（答案不唯一）
【变换角度】改变集合中元素的性质，与函数的定义域、值域相结合，根据两个集合的运算结果与已知集合加以比较.
（23-24高一上·安徽合肥·阶段练习）已知全集，集合，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【思路分析】根据函数的定义域以及指数函数的性质化简集合，即可由交并补运算以及充要条件的定义求解.
【详解】由可得，解得，
所以或，
故选:.
【变换角度】改变集合中元素性质，由含参二次方程，变更为含参二元不等式；由数集变更为点集，利用数形结合思想求解.
已知集合，，则的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【思路分析】 本题可看成两个点集之间关系的研究，其中集合A表示如图抛物线及其内部的区域，集合表示以为圆心，1为半径的圆及其内部区域.由题知，利用数形结合思想，结合图象，联立方程得解.
利用数形结合思想.
【详解】集合A表示如图抛物线及其内部的区域，集合表示以为圆心，1为半径的圆及其内部区域.
∵，即，联立，
消去得，
由图知，当时，关于的方程至多有一个解，满足，此时.
故选：A.
【变换角度】改变集合中元素的性质，与简单不等式的求解相结合，在集合化简、运算的基础上，分别考察充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件时，参数的范围.
设全集为R，，．
(1)若a=5，求，；
(2)若，且“”是“”的______，求实数a的取值范围．
请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中选一个填在横线上，并解答问题．
【思路分析】（1）确定集合A，B，根据集合的运算即可求得答案；
（2）选①，则，列出不等式组求得实数a的取值范围．
选②，则，列出不等式组求得实数a的取值范围．
选③，则，结合题意判断，确定实数a的取值范围．
【详解】（1）当a=5时，，
因为需满足，解得，所以，
所以，或 ．
（2）若选择①充分不必要条件，则，
因为，故，不等式无解，故，
若选择②必要不充分条件，则，所以，解得，
所以实数a的取值范围为．
若选择③充要条件，则A＝B，由题意，故．
（23-24高一上·山西太原·阶段练习）
1．设，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】分别求解，再根据充分与必要条件的定义判断即可.
【详解】，
因为是的真子集，
故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
2．设集合，若集合，，则的充要条件是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【分析】先根据集合的运算，求得，结合，列出不等式组，即可求解.
【详解】由题意，可得，
因为，所以，解得，反之亦成立，
所以的充要条件是．
故选：A．
3．已知､是非零常数，不等式的解集为，不等式的解集为，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】根据充分条件与必要条件的定义、一元二次不等式的解法以及集合并集的运算进行分析求解即可．
【详解】解：①当时，若，则，此时，,所以；
当，时，此时，，所以，
故“”是“”的充分条件；
②当时，若，此时，
当，此时，不满足题意，
当时，，符合题意，此时；
若，此时，
当时，，不符合题意；
当时，，满足题意，此时，
故“”是“”的必要条件．
综上所述，“”是“”的充要条件．
故选：C
4．已知a、b、c为的三边长，集合，．
(1)若，求；
(2)求的充要条件．
【答案】(1)
(2)的充要条件是
【分析】（1）解方程，由集合的并集运算计算即可；
（2）由集合的交集运算，结合判别式得出，再由，得出.
【详解】（1）由，得，，
从而
（2）当时，，，且存在，使得，．
于是，
又a、b、c为的三边长，得．
从而的充要条件是
②③，并注意到，得．④
将④代入③，得⑤
即由②③消去得到⑤．而⑤满足①，因此的充要条件是．
5．已知集合.
（1）求的取值范围，使它成为的充要条件；
（2）求.
【答案】（1）；（2）答案见解析；
【分析】（1）首先求出，由，得到且，解得即可；
（2）对参数分类讨论，分别求出集合，再根据交集的定义计算可得；
【详解】解：（1）因为
所以或，
因为
所以且，解得，
所以当取值范围是区间时，就是的充要条件；
（2）①当时，，所以
②当时，，所以
③当时，，所以
④当时，，所以
【点睛】本题考查含参一元二次不等式的解法，以及交集的结果求参数的取值范围，考查分类讨论思想，属于中档题.
（22-23高一上·福建泉州·阶段练习）
6．已知集合，，.
(1)求，；
(2)定义，求A-B，B-A.
(3)写出“”的充要条件(要求有详细的推理过程).
【答案】(1)，.
(2)，
(3)见详解
【分析】（1）先化简集合A、B，然后进行集合的运算；
（2）根据题干知，A-B就是从集合A中去掉B中的部分元素；
（3）由已知，可以得到B、C的关系.然后对C分类讨论，即可得到m的取值范围.
【详解】（1）由已知，或，
，
所以，.
又，
所以，.
（2）由已知，或，
（3）由已知得，.
当时，有m-1>2m，即m