2026年高三数学一轮复习之一题多变讲义第3函数的值域与最值(一题多变)(学生版+解析)

这是一份2026年高三数学一轮复习之一题多变讲义第3函数的值域与最值(一题多变)(学生版+解析)，共26页。学案主要包含了典例展示，思路分析，精细解析，题后反思，追根溯源，变化角度，变换角度等内容，欢迎下载使用。

【典例展示】（1）已知关于x的函数的定义域为D，若存在区间，使得的值域也是，则当t变化时，的最大值是______．
（2）已知，，且，求的最值．
【思路分析】
解答（1）题，应通过确定函数的值域，结合已知条件，确定的表达式，进一步求其最值.具体的，由于函数的单调性较为明确，故根据函数的单调性寻求定义域与值域的对应得出a、b满足的方程．此方程有两个相异实根，由且得出t的取值范围，由韦达定理得到关于t的二次函数，运用配方法求最值．
对于第（2）题，求二元函数的最值，常用消元法化归为一元函数来处理.思路一，利用代入法，将转化成二次函数在指定范围的值域；思路二，利用数形结合思想，把可看作线段上的点与原点的距离，
【精细解析】（1）是，上单调递增函数，有或．
由单调性及题设得即a、b是方程在或上的两个不相等的实数根．
即满足且，得且，
∴．
当时，取得最大值，，又，故
（2）解法一由．
∴，
在内递减，在内递增，显然有，．
解法二（几何法）可看作线段上的点与原点的距离，
易得，故，．
【题后反思】本题均与“二次”问题相关，易于使人联想配方法、判别式法，但对于（1）题，需首先根据函数的单调性寻求定义域与值域的对应得出a、b满足的方程．再由且得出t的取值范围，由韦达定理得到关于t的二次函数，运用配方法求最值．
对于第（2）题，从数的角度出发，易于想到代入消元法.而对于解法二，则需牢固树立数形结合的转化意识，从“形”的角度出发，化数的问题为“形”的问题，化抽象为直观.
【追根溯源】
一、在函数中，自变量x对应的函数值的集合叫做函数的值域．
二、函数在处的函数值是，如果对于定义域内任意x，不等式恒成立，那么就是函数的最小值，记作；如果对于定义域内任意x，不等式恒成立，那么就是函数的最大值，记作．
三、求函数的值域与求函数的最值是有其内在联系的，解法也是相通的．这类数学问题的技巧性较强，且常常可以一题多解，解题的关键在于变更问题和构造模型，常用的方法主要有以下几种：
1．配方法
适用于二次函数或可转化为二次函数型的函数，要特别注意自变量的取值范围．
2．判别式法
适用于可化为关于x的二次方程的函数，由，求出y的取值范围，要检验函数的这个最值在定义域内是否有相应的x值．
3．均值不等式法
利用均值不等式求函数值域或最值时，一定要注意满足“一正二定三相等”的原则．
4．换元法
根据函数解析式的特点常用三角换元、整体代换，常可以使解析式复杂的问题转化为简单易求解的问题．当然，用换元法求函数值域或最值时，要注意新变量的取值范围．
5．数形结合法
从理解或构造函数的几何意义着手，看能否与距离、斜率及对称问题等相通．
6．函数单调性质法
利用函数在相应区间上的单调性，由于值域或最值是对函数的总体而言．若需对问题分段讨论，最后必须加以整合．
7．导数法
设的导数为，由的符号确定区间上的单调性，由可求得极值点坐标，若函数定义域为，则最值必定为极值点和区间端点中函数值的最大值和最小值．
在实际数学问题中，求函数的最值或值域，提问的角度不同，解答方式也会有所差异，求函数最值时也要注意函数的定义域，若定义域为开区间，则在区间端点不可能出现最值．
【变化角度】改变函数的表达形式，通过等价变形“构造”二次型函数，应用配方法求解.
求函数的值域.
【思路分析】本题是分式函数，分子分母是“同次”的，因此可以通过分子、分母同除以x，是分子为常数，只需讨论分母的“值域”，如解法一；另外注意到分母为根式，且可以变形为，联想同角三角函数公式，而运用“三角换元法”，将问题转化成求三角函数的值域，即解法二.
【详解】解法一（分类讨论法）当时；
当时，，由知
，∴；
当时，．
∵．∴．
综上所述，函数的值域为．
解法二（换元法）∵，
故可设，．
于是．
由，知．∴
【变换角度】改变所求二元表达式的结构，利用均值不等式求函数的最值.
已知，，且，求xy的最小值．
【思路分析】根据限制条件，有两种思路，思路一直接从限制条件入手，应用均值不等式，求得最小值.
思路二，从限制条件出发，应用代入消元的方法，将问题转化成“一元函数”--分式函数，利用“分离常数法”，创造应用均值不等式的条件求最值.如果在“分离常数”后，应用“对勾函数”的单调性，也是一种可行的方法.
思路三，代入消元转化成一元分式函数后，应用判别式法.
【详解】解法一：（圴值不等式法），，，∴，解得，当且仅当且，即，时，xy有最小值6．
解法二：（消元后配凑运用均值不等式）由得， ∴．
即．
∵，∴，当且仅当，即为时等号成立，此时．
解法三：（判别式法）由解法二知，令，整理得，
此方程有大于1的根的必要条件是．
∵，．反之当时，方程的两根都大于1．故（此时，）．
【变换角度】改变分式函数分子、分母的次数，应用“化部分分式法”转化求解.
设为常数，求函数的最小值．
【思路分析】 本题分子参数高于分母次数，因此采用“化部分分式法”，转化应用均值不等式或“对勾函数”的单调性求解.
【详解】，
当且仅当，即时等号成立．
当时，，时，，
当时，不成立．此时，令，．由单调性的定义可以证
明是上的增函数．∴当，即时，．
综上，当时，；当时，．
【变换角度】变具体函数为抽象函数关系式，与求函数解析式与求函数值域综合考查.
已知函数满足，求的值域．
【思路分析】首先利用函数方程法，将f(x)作为一个未知数来考虑，通过给自变量“赋值”，建立方程（组），消去另外的未知数得到．接下来可采用判别式法或基本不等式法求其值域．
【详解】． ①
用替代，得．②
①×2+②，得，整理得．③
（ⅰ）用判别式法求③的值域：令．∵且．
故．
∴或，的值域为．
（ⅱ）用基本不等式求③的值域：当时， ∵，∴，即；
当时， ，，则．∴，即．
∴的值域为．
（2024高三·全国·专题练习）
1．函数的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
（2024·湖南岳阳·三模）
2．已知函数，不存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
（22-23高一上·陕西西安·期末）
3．已知正实数满足则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
（2024高三·全国·专题练习）
4．(多选)若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为[－，－4]，则实数m的取值范围可以是（ ）
A．[0，4]B．[，2]
C．[，2]D．[1，2]
（2024高三·全国·专题练习）
5．已知函数在上的最大值比最小值大，则 .
（2021高三·全国·专题练习）
6．若x，y为实数且满足，试分别求x、y的最值.