2026年高三数学一轮复习之一题多变讲义第12题均值不等式与不等式综合问题(一题多变)(学生版+解析)

这是一份2026年高三数学一轮复习之一题多变讲义第12题均值不等式与不等式综合问题(一题多变)(学生版+解析)，共22页。学案主要包含了典例展示，思路分析，精细解析，题后反思，追根溯源，变化角度，整体点评，变换角度等内容，欢迎下载使用。

【典例展示】（1）已知，且，则的最小值为______．
（2）设x、y为实数，若，则的最大值为______．
（3）已知，，，则的最小值是（ ）．
A．3 B．4 C． D．
【思路分析】 第（1）小题，有四种不同的思路：①直接法，从出发，应用均值不等式得到，通过解不等式来完成；②直接法，从出发，变换得到，解出来完成．③消元法，从出发解出x或y，代入xy化为分式函数进一步转化求解.④令，，转化成三角问题.
第（2）小题，有三种不同的思路：①对两边平方后用xy表示，从已知条件解出xy范围；②令，使之与已知方程联立，根据方程组有解求t范围．③ 利用配方变形化为，利用完全平方非负.
第（3）小题，有两种不同的思路：①由．转化成关于的“一元二次不等式”问题.②利用消元法.
【精细解析】（1）解法一（直接法一）∵，，∴，∴，
即，当且仅当，即当，时，有最小值64．
解法二（直接法二）∵，，且．
∴，∴，即，
当且仅当且时，即当，时，有最小值64．
解法三（消元法）∵，∴，∴．
又∵，，∴，∴．
∴
．
当且仅当，即当，时，有最小值64．
解法四（三角换元法）∵，，∴，，
∵，∴，∴．
∴，当且仅当，即，时，有最小值64．
（2）解法一 ∵．
∴，
∴，即，当时，等号成立．
∴的最大值是．
解法二 令，则原问题转化为求t的最大值．
∴有解，消去y，得关于x的一元二次方程有解，
∴，解得．
∴的最大值是，此时，．
解法三 利用配方变形得到，
故有，由，可知．
当时等号成立．∴的最大值是．
（3）解法一 ∵．
∴，∴或．
又∵，，∴．∴，故选B．
解法二 ∵，∴，∴．
∴，此时，，故选B．
【题后反思】
这是一组运用均值不等式求最值的题目，也是求最值常用的一种“通法”，因为“积定和最小、和定积最大”，所以，若求和的最小值则要分析其积是否为定值，若求积的最大值就要分析其和是否为定值．
利用均值不等式求最值，必须牢记“一正二定三相等”的原则，任何一个条件不能忽略，一旦忽略必导致解题错误，应引起足够的重视，在具体问题中，“正数”这个条件一般由已知条件容易获得，“相等”这个条件也易确定，而获得“定值”则往往被设计为一个难点，它需要一定的灵活性，因此，“定值”的获得是运用均值不等式求最值的关键．解题时应根据题设适当进行“拆”“拼”“凑”“合”“变形”，创造运用均值不等式及等号成立的条件，使定值突现．当连续运用均值不等式时，各不等式取等号的条件应互不冲突，否则也不能求出最值．作为均值不等式，考查的方式主要有三种，一是独立考查其应用于不等式的证明之中；二是运用均值不等式求函数或代数式的最值，这是一种最为基本也最易于与其它知识交汇的题型；三是应用于某些求参数问题中.在下面的变式及训练题中，将展示在与其它知识交汇问题中的应用，注意体会多种方法的灵活妙用.
【追根溯源】
1．均值不等式
（1）若a，，则，，当且仅当时取“等号”．
（2）若a，，则，当且仅当时取“等号”．
（3）若a，b，，则，当且仅当时取“等号”．
（4）均值不等式的一般形式：
若，，，…，，则，当且仅当时取“等号”，其中为，，，…，的算术平均数，为，，，…，的几何平均数．
（5）若a，，则．
若a，b，，则（三元均值不等式）
2．均值定理：已知x，，，，则①如果P是定值，那么当且仅当时，S的值最小；②如果S是定值，那么当且仅当时，P的值最大．
用均值定理求代数式的最值可简化为“和定积最大，积定和最小”；
即两正数之和为定值时，其积可求最大值；两正数之积为定值时，其和可求最小值．
3．不等式的综合应用
不等式的综合应用主要体现在不等式内容自身的综合，以及不等式数学知识与其他数学知识的综合上．通常有以下几种命题形式．
（1）利用均值不等式比较代数式的大小．
（2）灵活运用不等式的性质与均值不等式求函数的定义域、值域．
（3）运用均值不等式求最值．在运用公式时应严格按照“一正二定三相等”的原则实施，有时还要进行灵活配凑，创造条件加以运用．
（4）利用均值不等式证明不等式、求解不等式恒成立问题．
（5）利用均值不等式解决实际应用问题．
（6）考查均值不等式在与函数、数列、解析几何、解三角形等知识交叉的综合题中的应用，尤其是3个“二次”间的转化，方程根的分布，数列的最大项、最小项，解析几何中的最值问题等，体现了在学科知识网络交汇点上设计试题这一思想．
【变化角度】变为应用均值不等式证明不等式、确定“变量”的最值.
（2020·全国·高考真题）设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1．
（1）证明：ab+bc+ca